1.4 二次函数与一元二次方程的联系&小专题培优23 二次函数图象与系数a，b，c的关系-【众相原创】2025-2026学年九年级全一册数学分层练（湘教版）广西专版

广西数学(XJ) 1. 4　 二次函数与一元二次方程的联系 一阶 基础巩固对点练 知识点 1　二次函数与一元二次方程的联系 1. 已知关于 x 的一元二次方程 x2 +bx+c = 3 的解 为 x1 = 4,x2 = 2,则抛物线 y= x2 +bx+c-3 与 x 轴 的交点坐标为 ( B ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. ( -4,0)和( -2,0) B. (4,0)和(2,0) C. ( -4,0)和(2,0) D. (4,0)和( -2,0) 2. 已知抛物线 y=ax2 +bx+c 与 x 轴有两个不同的 交点,则关于 x 的一元二次方程 ax2 +bx+c= 0 的根的情况是 ( A ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 3. (2024 贵港桂平市期末)已知关于 x 的一元二 次方程 x2 = bx-c 的解为 x1 = -1,x2 = 3,则二次 函数 y= x2 -bx+c 的图象的对称轴是 ( C ) A. 直线 x= -1 B. 直线 x= 0 C. 直线 x= 1 D. 直线 x= 2 4. (2024 长春)若抛物线 y= x2 -x+c( c 是常数)与 x 轴没有交点,则 c 的取值范围是　 　 　 　 . 知识点 2　利用二次函数求一元二次方程的近 似根 5. 如图,以( 1, - 4) 为顶点的二次函数 y = ax2 + bx+c 的图象与 x 轴负半轴交于 A 点,则一元二 次方程 ax2 +bx+c= 0 的正根的取值范围是 ( C ) A. 2<x<3 B. 3<x<4 C. 4<x<5 D. 5<x<6 6. 下表是二次函数 y = x2 +3x-5 的自变量 x 与函 数值 y 的几组对应值: x 1 1. 1 1. 2 1. 3 1. 4 y -1 -0. 49 0. 04 0. 59 1. 16 那么方程 x2+3x-5=0 的一个近似根是　 1. 2　 . 知识点 3　二次函数与一元二次方程结合的实 际应用 7. 应用意识 要在一个圆形广场中央修建一个 音乐喷泉,在广场中央竖直安装一根水管. 在 水管的顶点装一个喷水头,使喷出的抛物线水 柱在与广场中央的水平距离为 1 m 处达到最 高,且最高为 3 m,水柱落地处离广场中央 3 m,建立如图所示的平面直角坐标系. (1)求抛物线的表达式; (2)当音乐喷泉开始喷水时,在广场中央有一 名身高为 1. 5 m 的男孩未及时跑到喷泉外,问 该男孩离广场中央的距离 m 的取值范围为多 少时,才不会淋湿衣裳? 解:(1)设抛物线的表达式为 y=a(x-1) 2+3, ∵点(3,0)在此抛物线上, ∴0=a(3-1) 2+3,解得 a=- 3 4 , 解得 x1 = 1+ 2,x2 = 1- 2(舍去), ∴当 0<m<1+ 2时,才不会淋湿衣裳. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 631 九下·第 1 章 二阶 能力提升强化练 8. 一个球从地面竖直向上弹起时的速度为 10 米 /秒,经过 t(秒)时球距离地面的高度 h (米)适用公式 h= 10t-5t2,那么球弹起后又回 到地面所花的时间 t(秒)是 ( D ) A. 5 B. 10 C. 1 D. 2 9. (2024 南宁青秀区期中)下表是用计算器探索 函数 y= x2 +5x-3 时所得的部分数值: x 0 0. 25 0. 5 0. 75 1 y -3 -1. 6875 -0. 25 1. 3125 3 则方程 x2 +5x-3 = 0 的一个解 x 的取值范围为 ( C ) A. 0<x<0. 25 B. 0. 25<x<0. 5 C. 0. 5<x<0. 75 D. 0. 75<x<1 10. (2024 达州)抛物线 y = -x2 +bx+c 与 x 轴交于 两点,其中一个交点的横坐标大于 1,另一个 交点的横坐标小于 1,则下列结论正确的是 ( A ) A. b+c>1 B. b= 2 C. b2 +4c<0 D. c<0 11. 如图,抛物线 y=ax2 与直线 y= bx+c 的两个交 点坐标分别为 A( -2,4),B(1,1),则关于 x 的 方程 ax2 -bx-c= 0 的解为　 x1=-2,x2= 1　 . 【拓展设问】关于 x 的不等式 ax2 -bx-c≥0 的 解集为　 x≤-2 或 x≥1　 . 12. 开放性试题 二次函数 y= x2 +3x+n 的图象与 x 轴有一个交点在 y 轴右侧,则 n 的值可以 是　 　 　 　 . (填一个值即可) 13. 如图,一名学生推铅球,铅球行进高度 y(单 位:m)与水平距离 x(单位:m)之间的关系是 y= - 1 12 ( x - 10) ( x + 4),则铅球推出的距离 OA= 　 10　 m. 14. 已知二次函数 y = ax2 +bx+c 中函数值 y 与自 变量 x 的部分对应值如下表: x … -3 -2 -1 0 3 … y … -39 -11 9 21 9 … 根据表格填空: (1)该函数图象的开口方向为　 向下　 ,对称 轴为　 直线 x= 1　 ; (2) 方程 ax2 + bx + c = 0 的正根 x 的范围 为　 3<x<4　 ; (3)不等式 ax2 +bx+c>21 的解集是　 　 　 　 . 三阶 素养创新综合练 15. 拓展 小颖利用计算机画出了函数 y = x3 - 3x2 -x+4 的图象(如图),根据图象,你能求得 方程 x3 -3x2 -x+4 = 0 的近似根吗? 请写出你 的结果,并说出你的理由. (结果保留小数点 后一位) 解:能,方程的近似 根 为 -1. 2, 1. 2, 2. 8. 理由如下:函数 y=x3-3x2-x+4 的图 象与 x 轴交点的横 坐 标 是 方 程 x3 - 3x2-x+4= 0 的解, 观察图象与 x 轴的 交点坐标近似是(-1. 2,0),(1. 2,0),(2. 8,0), ∴方程 x3-3x2 -x+4 = 0 的近似根是 x1 ≈ -1. 2, x2≈1. 2,x3≈2. 8. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 731 广西数学(XJ) 23 二次函数图象与系数 a,b,c 的关系 方 法 技 巧 【方法总结】二次函数 y= ax2 +bx+c 的图象与系数的 相关关系如下: 系数 图象性质 a (1)a>0,开口向上;a<0,开口向下; (2) | a | 越大,抛物线的开口越小 b 若 b 与 a 同号,则对称轴在 y 轴的左边; 若 b 与 a 异号,则对称轴在 y 轴的右边 c c>0,抛物线与 y 轴交于正半轴; c<0,抛物线与 y 轴交于负半轴; c= 0,抛物线过原点 b2-4ac 大于 0,抛物线与 x 轴有 2 个不同的交 点;等于 0,抛物线与 x 轴有 1 个交点; 小于 0,抛物线与 x 轴没有交点 a+b+c 当 x= 1 时,①若 y>0,则 a+b+c>0; ②若 y<0,则 a+b+c<0 a-b+c 当 x=-1 时,①若 y>0,则 a-b+c>0; ②若 y<0,则 a-b+c<0 拓展:x= 2,y= 4a+2b+c;x= -2,y = 4a-2b+c;x = 3, y= 9a+3b+c;x= -3,y= 9a-3b+c 【链接】根据图象与系数的关系判断函数图象 见本册 P135 小专题培优 22. 例　 一题串练 二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象如 图所示,根据图象填空:(填“>”“<”或“ =”) (1)a　 >　 0; (2)b　 <　 0; (3)abc　 >　 0; (4)b2 -4ac　 >　 0; (5) - b 2a 　 <　 1; (6)2a+b　 >　 0; (7)a+b+c　 <　 0; (8)a-b+c　 = 　 0; (9)4a-2b+c　 >　 0; (10)4a+2b+c　 =　 0. 类型 1　图象与系数关系的结论判断 1. 如图,直线 l 为二次函数 y=ax2 +bx+c(a≠0)的 图象的对称轴,则下列说法正确的是 ( C ) A. b 恒大于 0 B. a,b 同号 C. a,b 异号 D. 以上说法都不对 第 1 题图 　 　 　 第 2 题图 2. 如图,二次函数 y = ax2 +bx+c 的图象与 x 轴的 一个交点为(3,0),对称轴是直线 x = 1,下列结 论正确的是 ( B ) A. abc<0 B. 2a+b= 0 C. 4ac>b2 D. 点(-2,0)在图象上 类型 2　根据图象与系数的关系进行计算 3. 如图,抛物线 y = ax2 +c 经过正方形 OABC 的三 个顶点 A,B,C,点 B 在 y 轴上,则 ac 的值为 ( B ) A. -1 B. -2 C. -3 D. -4 第 3 题图 　 　 第 4 题图 4. (2024 青岛)二次函数 y = ax2 +bx+c 的图象如 图所示,对称轴是直线 x = - 1,则过点 M( c, 2a-b)和点 N(b2 -4ac,a-b+c)的直线一定不经 过 ( C ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 一个二次函数 y=ax2 +bx+c 图象的顶点在 y 轴 正半轴上,且其对称轴左侧的部分是上升的, 那么这个二次函数的表达式可以是　 y=+1　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 831 宁子2厚抛物线肉上平体74个单位。 L4二次函数与一元二次方程的联系 第2议时几何形酒积与售 (2÷1临r3025.0 使点伊的型除一宁子2，州点心的鱼际为一 LU 2A AC 40 5C 412 利润的最值问题 1.B ,当：=知时，三国例养望的占笔总套相最大，是大密积为 3 225m2 宁子+2，出题建得高心的坐标为@子 1解()抛将线的表达式为子-+3： 2解：(1}，=-1，+4t+6 (1E的长为2米 1解：没中的长为A则以的长方(16-+ 闭s,1515- 1C48 如解置.过点A作AG4于点 以伊P伊Q, 反解：(1)y与：之写的函数关聚式为方-2'+340：-1200 DC,∠C=0 1 期得，=14万，41=1万（舍去）， (山巧绿前的情售价是5元千克时，该蒂住这种绿茶在 T135 871宁7+22相41,74完 古当0<n×1万时.才不会淋湿求我 这2时间内的糖售刺训景大，量大料国是240尤 6不会T.(11250(2)48D.17510.h4 ,.四边形无鼻矩形. 成”的出际子-7，点的宝标为-子常或B多Cm 11,-2,与，1【英属慢均小《-1度，1 11.318 =AGd年，·AG10-2) 点r的坐怀为子骨，点心坐标为 12-5(若案不t一y30 12解：41)y=3+3年1 14(11将下直线x■12)3cc4(J10e2 (2)者每件黄南犀价5元，则往铺售利国为700元 小专题培优2引图形中的二次厨数阿型 1线解：能，为程的对饭根为-1.2,12,2&座巾如下：函数一 (5》设日精零利阔为事元 0,当，得场的面积大，量大国职集 L解：1)辽明路： 。-3h-士+4的图象与，自交点的横坐标是方程-3 额能虹意得F=《闭--50（止+0）·-(x=o)4 3000 129 (2r△rN一△W话 4+=山的解 现家函象与3随的交点坐标听饭最(-L2,0),(L2,0川 -0,当0时.，=80000=0元 (18.0),方程-32-+4=0的近做根是与=-1.2 容：每件售什为0无时，可使日精售和溪极大，量大利园 4解：(1)楚掉脑小正方形的直长为2e: +-.GN-,-4,h-0-.L 为8m无 (2)出(1)W0-2写5(6-21且30. 4与=12高，=2 小专题培优23二次函数图象与系数 量制你封长方林容器作在收积为5量 m,6,c的关系 H都：1230≥m: (2)1板这位专业户性人种值花齐x万元《0《《参)，能庆 %=(10-21(62)=43-32+0=4-4'-4 例1)>2e32(4》2(5》(6>(7)× 得的利闻是万元，则段人种恤树木（长》万元 430,4当x一25时，制作的长方体容善的质工雪积最 (8)=(9)>《10)= 小，.8，#=4x25-4)-4=5到2 0当宁，大最大为品 1.(2B3B405=-+1以答案不一 程野华得28宁宁-2,16宁 解：《1)当轴雪单价足为知元时每月的解售量为阅件： 1.5二次函数的应用 (2》白因象易棒y==0:+10,相屠题意年.F=( 内由1之c,月e2 第1课别建立二火还数模解决实际问题 以，一0当=2时有量小重4 1.B .乌0≤62时：随年的增大圈蓝个与 =→10：+14-40=-0-0)+9 由2得存在AH是直角三角形，日A+DW=A行 ”一0e0..当x=0时，利国农博题大值，是大料科为 本《+)+6-)+1，位里得-虹+=0，附孩方 工解：（瓶物液的表达式为子： 当2心≤8时，：精的增大而望大 :04写8.8-2力2-0. 900元 醒有实数极 1 ,当一8时：有大盖.异大害为32 《5)◆-10410r-4的=s00.解得车=0，马-0自 41=6-'=(+白20，得b24.缘上得6=1 3当14时，了6水升 苦，至少笔民博14万无的利闲，能铁农的量大利闲是 哥意得0：65，径每月的成幸力S元，侧S=例-0 2翻：【1)证用降 56o551. 2万元 100)■-0：+40m,“-00s随4的增大有减个 2)班解四.分科甘点C,F作N上AW :这铜雾运卡车不距从正中间港过该能道 14解：(1)由U重得，4指4m.-《塔-41m 5时有量小面，最小值为川00 G⊥A6,垂足分到为高M.G,在 3rm-01h2+L.1+L3 (2》花图势应积德为92m 答：每月的成本异少需经00无 △中.C=C045 《解：()蓝球行进过程中E调趋置的量大真度为3了如： 今(28-)=以2.解得=12攻世6（不特合超意，奢 长解：①4球飞行降线的二收西数的表达式为y一子 20.通子05。 去1.，花圈的面视笔为192m,七时，的值为： 《35=2w-g1=+(-14)196 436 石5nn.W4vA0-.则c-A4 +蓝球出手高跑离地位时高度为3必m 世点P与CD,AD的E离分别暴35m和6n +4 15 5G6.C ,1w-15m13.56Gx611 联立 ,6-w0- T.解：()y关于：的函直表5式为三-+2：+10： 以-1无0，抛物试的时将轴为直线▣14. =0 15 (21在y=-￥+2+10中，今=0得，0=-342+10 ,商66xG13时，8周玉的增大打增大 4).由易任.6BDe△0FESw5e5aw“ 朝得等√川+1境两-门+（舍表》， 5=15时.3是大.量大为-(13-14)+96=19项 2·8日 子(45e-38w4g 品动风强到人发水离得的款机)n 小专题培优24二次函数的实际度用集调 矣解：(1555 1解1》由想意，裤F=《4的-30-)(500+01=-50+ 2--高 154+45: (21由(1》知，抛物线关干直线=15.对将，民6=a(: a0,+9k (3)由2)可句二次函数图象约时称轴为直线4一1，开口向 15)'+3.把(2.48)代入得12-15)+5=48.解得= 0 上，且06164 （2一00.当一4时，套有县大速为90 一c0当一后时了有餐大道最大值为写 答：当每千克降骨4元时，工厂每天的再得量大，异大判测 ；当2≤4时，6WF的面积宽A小的增大面增大.当0 1《2时，AEF的面积周山的增大面藏小 (3引这次守门风不箱守域项.理由如下：当4=4时，k一 为90无 工解代1)怀扶所在菊物成的表诗式为yE 小专题培优2根据性腰分析并判所商数图象 2解：(1小提摆起重年w+云《00-”-子+1，自变星 《2e=为 1G2C3B4非系D6n1,G 成动 的原重或医为01640： (3),抛物找与原新携所在箱物性的开日为月大相具， 参考答案