第3章 小专题培优7-8 相似三角形中的常考类型集训 相拟三角形中的内接四边形问题-【众相原创】2025-2026学年九年级全一册数学分层练（湘教版）广西专版

小专题培优6相很三角形的常见核型 am-D=3,=√+-5.san 1解：是长A交中于点G :原4的坐标是(24)4n=2,4N=4 L42器1B2.33ME4C384o :D一△C△AE,+花深 AP BC 。11 行MCE5A 8m多期'■2，亦=64《6,2》 4 4正明略 又，=10米，AFn3米，G■12米 点鼻0的中点，1C5.6 TC 去Gsc=15米).号是 一6“国，即发比例届新约表法大为y一 1)正用路： 2)助=玉6 ,W=50米，042=25.251=6 A上x轴.5，=3r=b m小2安 24 容：成耸共有当解树 明P失号a证明路第法CⅡ子 4A 5C 一营或调点口的室标为6，： 34.2相似三角形的性质 13(1座期：，口边老AD是正方影 6时高0为6m (2A(2.4.B2,0).C(3,6}.06.31.6.12 第1课时相侧三电形的性质 ,A=G=CD=4,∠后-∠C=0P 7.1568.3 及解如解图.试度作状⊥A,并话纪E危星 8&,0人52445-7《6-23-6， (高、角平分线、中线) A⊥.∠A=，∠CN∠=0r. 1A2第 在别△AU中.∠，∠AB=r达∠N=∠ 交切于点名由题壁得.小■5和.非■ 440B'的蓝肌 司雨，W上Y.△程AN四 1旺明略： 爱∠N=∠C,:△An△： D 4A1人264 (21解：：△4U一&￥，△4的周长与△1的蛋 长之4：3，。4想。4,4 △，E西0-”属3 4的正银动宁--r 1UF-Tan 去F=54a,5F=10n,河的宽度为 A南平 I1.解：△AB0B4'C,AD.BE分到暴△A0C的高招中 线，术，r发分附是△C皆商豹中线，四正 山。E 小专题培优7相银三角彩中的常考类型集( D=sa,4Gk。4C44=0 第3章整合复习与对接中考 F=14a.G-k-fG=24L6=0(a, 一粉”关联知识整台塔 4 9 0447a3压=◆m云韩秤E ∠G=∠H,A-△AN 工重合2相等生对应收比例④相等⑤夹角 CC EG 1 8 6先边时边桶等象平行)相数减比同 12解：r=G·DC,六 AC MC 1.任明：：四边形D是见韦。 成比例零夷非两相同影相属不周 BC C ∠10▣LAE=0',B=,4∠AaD#Li=0 6心面-W=4 .AB=N=144+L,6=I6(a). 1相等伊相等)相等相等世桂等分相等 AELD,∠E∠=0∠=∠E ,年校蜜仟A信的高度为16但 等细国比等相微比条相包比雪相微比的平方 ,AG=6,=42,F=2,E,F分用为4C,BC的中点 1∠GL风答案不准一) 长能合些博腿兽 AD OE 3.6位似 福一-成·L-C4-城· 第1课时位图形的根象、柱质及国法 1《1)解：△Am△△0 理由口边彩AC力，.∠AP■LCDP,A■C 这解：（具边毛为是矩形.：H 小专晒培优器相氨三角形中的内接四边形问题 EH AM 1解：设A0与6交于点k 12A3G44博系号 在8W前6中 :日边思ECH为正方形，上6此一D配 AK HG 丘些四写， EF=0H,4,A=4-， 出4国 7解：(11通国路：12)020 《5A5, 64 位正方形，M的立长为。，测A怀=(20-1m,= 发c1M条113口位解侧3（号 《2)E明：△APD国△W∠P=∠aiP,=PL .E-3 上m卖相年 公8AW∠P∠AP,∠P=LF 14解1(1)作图略：(23：1 2以5m-2+241-+a04 厚正方形EH的动长为12 第2课时平面直免坐标系中的位侧 :L刚乙g△一△m岸货即 L B 3C 4D 1【变式没间】-4,12A304(3, P-PEFF. (2当相形EF山为正方无时，手=W 线解：(1)A=理白知下：镜辱个正方形的 k■面好 4(x,n》9(,-y}30-,》-1,y1多( 由1)语4.得一 边长为a, 6画西略 1 5 红解因剩一N= 1(1)[2.4《2){3.-41《-3.4)(3(-1.-41 ·当E思0N为正方时.？的长度为号 AAFAH 《4)-6.-13归 AIf E 1 复解：(1小津立平面直角全标系 二翰广匹中蜜枪无炼 第2粉时相做三角形的性质（面积、因长） 六N87AW=-a 如解西，点丛的坐辉为（一 L C 2 B 3.B A 4C 1G22 4AD和， AVI 三延师暗 (2)如解用，4且，七为周 《《1)证明：球8An,BE8C 4△G的图现为号 G,六△AA△A, 求作： 云∠㎡=乙A,∠D=∠AiF:∠Bc室∠AD EF AV I 应而方8C=3垢=3和=高 (3引如解因，点P为所求作 又，A·∠CF▣∠E 至B6B22 点P-2.1). .w△D 靠4E的用长为 10解：(1)△A想和△4'0退 CD I 生C1aA1ls6 是位三角形，且位仪比是 2解：子面”2 11(1)证商： 35相似三角形的应用 (2解：在脸△BC中，LC=0,A6=3,=4,BD=2 由(1}知.△FC△AD. 1.0218 4 参考答案 广西数学(XJ) 7 相似三角形中的常考类型集训 重 点 强 化 类型 1　利用相似三角形求线段长 1. 如图, 在四边形 ABCD 中, 对角线 BD 平分 ∠ABC,∠A= ∠BDC,已知 AB = 3,BC = 8,那么 BD 的长是　 2 6 　 . 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 第 1 题图 　 　 　 第 2 题图 2. 易错 如图, 在 Rt △ABC 中, ∠ACB = 90°, AC= 4 cm,BC = 3 cm,点 P 由点 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动,速度为 1 cm / s,同时点 Q 由点 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动,速 度为 1 cm / s,连接 PQ. 设运动的时间为 t( s), 其中 0<t<4. 当 t = 　 　 　 　 　 　 时,△APQ 与 △ABC 相似. 类型 2　利用相似三角形求比值 3. 如图,将一副直角三角板按图叠放,则AO OC 的值 为　 　 　 　 　 . 第 3 题图 　 　 　 第 4 题图 4. 如图,在△ABC 中,D 是边 AB 上一点,按以下 步骤作图:①以点 A 为圆心,以适当长为半径 作弧,分别交 AB,AC 于点 M,N;②以点 D 为圆 心,以 AM 的长为半径作弧,交 DB 于点 M′; ③以点 M′为圆心,以 MN 的长为半径作弧,在 ∠BAC 内部交前面的弧于点 N′;④过点 N′作 射线 DN′ 交 BC 于 点 E. 若 △BDE 与 四 边 形 ACED 的面积比为 1 ∶8,则BE CE 的值为　 　 　 . 类型 3　利用相似三角形求角度 5. 如图,四边形 ABEG,GEFH,HFCD 都是正方 形,则∠AFB+∠ACB= 　 45°　 . 第 5 题图 　 　 　 第 6 题图 类型 4　利用相似三角形求面积 6. 如图,在△ABC 中,D,E 分别是边 AB,AC 上的 点,且AD AB =AE AC = 1 3 ,若 S△ADE = 5,则四边形 BDEC 的面积为　 40　 . 类型 5　利用相似三角形证比例式或等积式 7. (2024 上海节选)如图,在矩形 ABCD 中,E 为 边 CD 上一点,且 AE⊥BD. 求证:AD2 =DE·DC. 证明:∵四边形 ABCD 是矩形, ∴ ∠BAD = ∠ADE = 90°, AB =DC, ∴∠ABD+∠ADB= 90°. ∵AE⊥BD,∴∠DAE+∠ADB= 90°, ∴∠ABD=∠DAE. ∵∠BAD=∠ADE= 90°,∴△ADE∽△BAD, ∴AD BA =DE AD ,∴AD2 =DE·BA. ∵AB=DC,∴AD2 =DE·DC. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 46 九上·第 3 章 8 相似三角形中的内接四边形问题 教 材 母 题 变 式 母题溯源 1. (教材 P90 习题 T9)如图,△ABC 为锐角三角 形,AD 是边 BC 上的高,正方形 EFGH 的一边 EF 在 BC 上,顶点 G,H 分别在 AC,AB 上,已知 BC= 30 cm,AD= 20 cm,求这个正方形的边长. 解:设 AD 与 HG 交于点 K, ∵四边形 EFGH 为正方形, ∴HG∥BC,∴AK AD =HG BC . 设正方形 EFGH 的边长为 x cm,则 AK = ( 20 - x)cm,HG=x cm, ∴20 -x 20 = x 30 ,解得 x= 12, 即正方形 EFGH 的边长为 12 cm. 广西真题 2. (2020 北部湾经济区)如图,在△ABC 中,BC = 120,高 AD = 60,正方形 EFGH 一边在 BC 上, 点 E,F 分别在 AB,AC 上,AD 交 EF 于点 N, 则 AN 的长为 ( B ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 第 2 题图 　 第 3 题图 变式训练 3. 数学文化 我国古代数学专著《九章算术》中 记载了这样一个问题:今有勾五步,股十二步, 问勾 中 容 方 几 何. 其 大 意 为: 如 图, 今 有 Rt△ABC,其勾(AB)长为 5 步,股(BC)长为 12 步,则该直角三角形能容纳的正方形 BLMN 的 边长是 ( C ) A. 5 步 B. 30 17 步 C. 60 17 步 D. 13 步 4. 如图,有一块三角形铁片 ABC,∠B = 90°,AB = 4,BC= 3,现要按图中方式把它加工成一个正 方形 DEFG(加工中的损耗忽略不计),则正方 形 DEFG 的边长为 ( D ) A. 6 7 B. 30 37 C. 12 7 D. 60 37 5. (2024 桂林永福县期中)(1)如图 1,若锐角三 角形 ABC 材料可以加工成 3 个相同大小的正 方形零件,请你探究高 AD 与边 BC 的数量关 系,并说明理由; 图 1 　 图 2 　 图 3 【拓展延伸】 ( 2) ①如图 2,若这块锐角三角 形 ABC 材料可以加工成 4 个相同大小的正方形 零件,则AD BC 的值为　 　 　 　 (直接写出结果); ②如图 3,若这块锐角三角形 ABC 材料可以加 工成 n(n≥3)个相同大小的正方形零件,则AD BC 的值为　 　 　 　 (直接写出结果) . 解:(1)AD=BC. 理由如下: 设每个正方形的边长为 a, 如解图,则 EF=MN=a. ∵EF∥GH,∴△AEF∽△AGH. ∴AM AN = EF GH = 1 2 ,∴AM=MN=a, ∴AD= 3a,∴AM AD = 1 3 . ∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC, ∴EF BC =AM AD = 1 3 ,∴BC= 3EF= 3a, ∴AD=BC. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 56