第3章 小专题培优6 相似三角形的常见模型-【众相原创】2025-2026学年九年级全一册数学分层练（湘教版）广西专版

小专题培优6相很三角形的常见核型 am-D=3,=√+-5.san 1解：是长A交中于点G :原4的坐标是(24)4n=2,4N=4 L42器1B2.33ME4C384o :D一△C△AE,+花深 AP BC 。11 行MCE5A 8m多期'■2，亦=64《6,2》 4 4正明略 又，=10米，AFn3米，G■12米 点鼻0的中点，1C5.6 TC 去Gsc=15米).号是 一6“国，即发比例届新约表法大为y一 1)正用路： 2)助=玉6 ,W=50米，042=25.251=6 A上x轴.5，=3r=b m小2安 24 容：成耸共有当解树 明P失号a证明路第法CⅡ子 4A 5C 一营或调点口的室标为6，： 34.2相似三角形的性质 13(1座期：，口边老AD是正方影 6时高0为6m (2A(2.4.B2,0).C(3,6}.06.31.6.12 第1课时相侧三电形的性质 ,A=G=CD=4,∠后-∠C=0P 7.1568.3 及解如解图.试度作状⊥A,并话纪E危星 8&,0人52445-7《6-23-6， (高、角平分线、中线) A⊥.∠A=，∠CN∠=0r. 1A2第 在别△AU中.∠，∠AB=r达∠N=∠ 交切于点名由题壁得.小■5和.非■ 440B'的蓝肌 司雨，W上Y.△程AN四 1旺明略： 爱∠N=∠C,:△An△： D 4A1人264 (21解：：△4U一&￥，△4的周长与△1的蛋 长之4：3，。4想。4,4 △，E西0-”属3 4的正银动宁--r 1UF-Tan 去F=54a,5F=10n,河的宽度为 A南平 I1.解：△AB0B4'C,AD.BE分到暴△A0C的高招中 线，术，r发分附是△C皆商豹中线，四正 山。E 小专题培优7相银三角彩中的常考类型集( D=sa,4Gk。4C44=0 第3章整合复习与对接中考 F=14a.G-k-fG=24L6=0(a, 一粉”关联知识整台塔 4 9 0447a3压=◆m云韩秤E ∠G=∠H,A-△AN 工重合2相等生对应收比例④相等⑤夹角 CC EG 1 8 6先边时边桶等象平行)相数减比同 12解：r=G·DC,六 AC MC 1.任明：：四边形D是见韦。 成比例零夷非两相同影相属不周 BC C ∠10▣LAE=0',B=,4∠AaD#Li=0 6心面-W=4 .AB=N=144+L,6=I6(a). 1相等伊相等)相等相等世桂等分相等 AELD,∠E∠=0∠=∠E ,年校蜜仟A信的高度为16但 等细国比等相微比条相包比雪相微比的平方 ,AG=6,=42,F=2,E,F分用为4C,BC的中点 1∠GL风答案不准一) 长能合些博腿兽 AD OE 3.6位似 福一-成·L-C4-城· 第1课时位图形的根象、柱质及国法 1《1)解：△Am△△0 理由口边彩AC力，.∠AP■LCDP,A■C 这解：（具边毛为是矩形.：H 小专晒培优器相氨三角形中的内接四边形问题 EH AM 1解：设A0与6交于点k 12A3G44博系号 在8W前6中 :日边思ECH为正方形，上6此一D配 AK HG 丘些四写， EF=0H,4,A=4-， 出4国 7解：(11通国路：12)020 《5A5, 64 位正方形，M的立长为。，测A怀=(20-1m,= 发c1M条113口位解侧3（号 《2)E明：△APD国△W∠P=∠aiP,=PL .E-3 上m卖相年 公8AW∠P∠AP,∠P=LF 14解1(1)作图略：(23：1 2以5m-2+241-+a04 厚正方形EH的动长为12 第2课时平面直免坐标系中的位侧 :L刚乙g△一△m岸货即 L B 3C 4D 1【变式没间】-4,12A304(3, P-PEFF. (2当相形EF山为正方无时，手=W 线解：(1)A=理白知下：镜辱个正方形的 k■面好 4(x,n》9(,-y}30-,》-1,y1多( 由1)语4.得一 边长为a, 6画西略 1 5 红解因剩一N= 1(1)[2.4《2){3.-41《-3.4)(3(-1.-41 ·当E思0N为正方时.？的长度为号 AAFAH 《4)-6.-13归 AIf E 1 复解：(1小津立平面直角全标系 二翰广匹中蜜枪无炼 第2粉时相做三角形的性质（面积、因长） 六N87AW=-a 如解西，点丛的坐辉为（一 L C 2 B 3.B A 4C 1G22 4AD和， AVI 三延师暗 (2)如解用，4且，七为周 《《1)证明：球8An,BE8C 4△G的图现为号 G,六△AA△A, 求作： 云∠㎡=乙A,∠D=∠AiF:∠Bc室∠AD EF AV I 应而方8C=3垢=3和=高 (3引如解因，点P为所求作 又，A·∠CF▣∠E 至B6B22 点P-2.1). .w△D 靠4E的用长为 10解：(1)△A想和△4'0退 CD I 生C1aA1ls6 是位三角形，且位仪比是 2解：子面”2 11(1)证商： 35相似三角形的应用 (2解：在脸△BC中，LC=0,A6=3,=4,BD=2 由(1}知.△FC△AD. 1.0218 4 参考答案 广西数学(XJ) 6 相似三角形的常见模型 模 型 构 建 模型 1　A 字型及其变形 条件 DE∥BC ∠1 = ∠2 常见 图形 结论 △ADE∽△①　 　 　 △ADE∽△②　 　 　 1. 在△ABC 中,AB = 4,BC = 6,AC = 5,D 为 BC 边 一点且 BD= 4,若过点 D 作直线截△ABC,使截 得的三角形与原三角形相似,则满足条件的直 线有 ( B ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 2 条 B. 3 条 C. 4 条 D. 5 条 2. (2024 重庆 A 卷)如图,在△ABC 中,延长 AC 至点 D,使 CD=CA,过点 D 作 DE∥CB,且 DE= DC,连接 AE 交 BC 于点 F. 若∠CAB = ∠CFA, CF= 1,则 BF= 　 　 　 　 . 模型 2　8字型及其变形 条件 AB∥CD ∠1 = ∠2 常见 图形 结论 △OAB∽△③　 　 　 △OAB∽△④　 　 　 3. 如图,在▱ABCD 中,AE = 2 3 AD,连接 BE,交 AC 于点 F,AC= 10,则 CF 的长为 ( B ) A. 4 B. 6 C. 7. 2 D. 20 3 4. 如图,DE 是△ABC 的中位线,点 F 在 DB 上, DF= 2BF,连接 EF 并延长,与 CB 的延长线交 于点 M. 若 BC= 8,则线段 CM 的长为　 　 　 . 模型 3　旋转型 条件 △ABC∽△ADE 常见图形 结论 △ABD∽△⑤　 　 　 　 5. 如图, 在 △ABC 与 △ADE 中, ∠ACB = ∠AED = 90°,∠ABC = ∠ADE,连接 BD, CE. 若 AC ∶ BC= 1 ∶2,则BD CE 的值为 ( A ) A. 5 B. 2 C. 1 ∶2 D. 5 5 6. 如图,△ABC 和△CEF 均为等腰直角三角形, 点 E 在△ABC 内,连接 AE,BF. 求证:△CAE∽△CBF. 证明:∵△ABC 和△CEF 均为等 腰直角三角形, ∴AC BC =CE CF = 2, ∴∠ACB=∠ECF= 45°, ∴∠ACE=∠BCF, ∴△CAE∽△CBF. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 85 九上·第 3 章 模型 4　双垂直型（射影型） 条件 ∠ACB= 90°,CD⊥AB 常见 图形 结论 (1)△ADC∽△CDB∽△ACB; (2)CD2 =BD·AD,BC2 =BD·AB, AC2 =AD·AB 7. (2024 德州改编)如图,Rt△ABC 中,∠ABC = 90°,BD ⊥ AC, 垂足为 D. 若 AB ∶ BC = 3 ∶ 4, DC-AD= 14 5 ,则 AC 的长为 ( C ) A. 4 B. 8 C. 10 D. 12 8. 如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC = 90°,AD 是斜边 BC 上的高. (1)证明:△ABD∽△CBA; (2)若 AB= 6,BC= 10,求 BD 的长. (1)证明:∵ AD 是斜边 BC 上的高, ∴∠BDA= 90°. ∵∠BAC= 90°, ∴∠BDA=∠BAC, 又∵∠B 为公共角, ∴△ABD∽△CBA; (2)解:由(1)知△ABD∽△CBA, ∴BD BA =BA BC ,∴BD 6 = 6 10 , ∴BD= 3. 6. 模型 5　一线三等角型 条件 点 A,P,B 共线,∠1 = ∠2 = ∠3 常见 图形 结论 △PAC∽△⑥　 　 　 9. 如图,△ABC 是边长为 3 的等边三角形,D,E 分别是边 BC,AC 上的点, ∠ADE = 60°,如果 BD= 1,那么 CE= 　 　 　 　 . 10. 如图,一块直角三角板的直角顶点 P 放在正 方形 ABCD 的边 BC 上,并且使一条直角边经 过点 D,另一条直角边与边 AB 交于点 Q. 求证:△BPQ∽△CDP. 证明:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴∠B=∠C= 90°, ∵∠QPD= 90°, ∴ ∠BPQ + ∠DPC = 90° = ∠DPC+∠PDC, ∴∠BPQ=∠PDC, ∴△BPQ∽△CDP. 模型 6　对角互补型 条件 ∠AOB+∠DCE= 180° 常见图形 及辅助线 作法 　 结论 △DCM∽△⑧　 　 　 11. 如图,将一个直角的顶点 P 放 在矩形 ABCD 的对角线 BD 上 滑动,并使其一条直角边始终 经过点 A,另一条直角边与边 BC 相交于点 E, 且 AD= 8,DC= 6,则AP PE = 　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 95