第2章 一元二次方程 整合复习与对接中考-【众相原创】2025-2026学年九年级全一册数学分层练（湘教版）广西专版

【变式2]相：今y=+标，测由厚方夏.博24-2=0 (计“4的便为符合角件的颜小梦数，4>山，单1，原方0.解：(1)流亮的夏为6m 第2章整合复习与对接中考 整理，裤(-6)(+2)0，辉得，“6.万“-2 程为x-2w+2-1a0.1量该万程的最基日，2山，+2 (》段每个车位的月组鱼上年。无时，得车标们月相金货 当y=6B时，x4红=6，即(E43)[2}0.解得1=-3，-2 4·24■n-【,所得a■2，n年5减■-2.时■-J A为10125元 ①二尤一次方程2分每 5e=0成6=030 当一2时，+#■-1，即'+2=0.恢方程无实数根 当-3时.原方程月了+6t+8=0,期得1-4,1■-2 缘上斯述，值方程的解为，”名=2 不满足想意，敏省去m的值为玉 餐裹E整.博四n(0号025， 114:(213 23一元二次方程根的判别式 1店解：(1}由C维.W△=[-2(m+1)P-4(+5}=8-16 整理.得02-50t625=0,解4，=a,=25 0,解得图2： 答：当每个车位的月根金上素25元时，停车场封月指金牧 (眼为华组的饰水 (4)果分式为程无解 LG2A玉B 4「1)方程有两个相尊的买数根 (山？1：3给好暑对角慢长为6的缸形的相影丙边的 入为10125元 ()方型有两个不相等的实数想 立长， 小专题培优5一元二次方程的应周 2解：(1)①a-1 (3)丝方督天实载用. ,+=(s,41》-2,=「2+1)1-2+51m, 1A12 《21当#=2时.1该方星为2-4一5￥0 车G6C1084-2容案不用一) 重，得5+4n-21=0占角，=3，- 8解：(1}y与年的面数美系式为y=-+1200: 园式分解法 来证用：数巴度得A=(-)-4南-1)×(-3》到-e+16+ 又2m1,且，■2(n+1)20n=3 (力每千克售定为。元时.辱天精售该大未的利饼可达 方程左边园式分解得-9)+11■0， 1》n-2=n2+4m4=《n*2.女(nt2}>0,方隆有 解(， PE 到100无 ☐.-5=0减x+1=0,解得，，为1■-1 两个实数根 配方法： 10G1爱式1G11,31夏式1011-2 (由一元二次方程制与系数的关系得名“？工山一1， 5解(1引恢电同学的人数为0人： 配为得F-4r+4-4-5=0,-21=9 3解()日天T:约一元二次方程2-4x+n■0有考个实 +2+1+-2,与=1 数根.1.（一4-41×0.韩得件所与 -1=2+1.饰得=3三-1 (四线胆#数为子(2(a月表 …广2=士3，解调，-5，马-1.（解法不唯-》 (?)若该方程的两个实数根想等，则斜■4 当p=3时，d=5-4=◆-453 35或5日 (制0号(4c5229像号 放眼方登为4+4=0，(2)3-0，解海玉-2 5三-1封，d-4三-30，龙时原左程无实较银： 7当量小数与最大置的束积为5时，是小数基5 二赖广西中零怡先好 4解：(1)根摇君意得3■(-1利4-w》>0.解厚n>3: =3 8A9-4+12-0 1C2B3.-44B (21,DJ,m30, 2.5一元二次方程的成月 41=247,=27 01.32 1n.解(1)G2) 第1时军均变化宰、傍售：间题 《2)-2,=4 32n+1r3 (5)保边故为：的正方形和立最为2的 304=2,3=- 8(108 1.B223 正方形，外加两个长为2.宽为：的的 (2)任明：一元二次方程？4=0(a0)为和缩方3流纯衡子台3,4两个月销售颜的月平与增长率为10%， 方形，拼合在一起面积就是A+2+1 44,厘上， 2 2 里b=44=44)4-(a-)0, AA 2.即x+4n+4。 一相方程“县有实数根： 5明：(11该生户匠在九月卧霜生产1440离竹摆摆， 4第3，B【竞式1(1》-22)-6象m<1且*0 面由原方程A+4一5=0王形得+ (3)解：一元二武方程a:+心=0(a0》为”南道方 (2山部应保传2元 4+4=9.如铜团，其表尽边长为(x+2引 黄解：1)由题意得4■4+从>0-1： 《2)由厘与第数的关系，评+6第一1，的■-4 的正方形图积为9， 6+,”和楼方程“”++：=0(a01有两个相等 1,解：(1y与s老间的函数表达式为y=-0+0 41(4+1)at1).1-k1 ,(+2■，则演方程的一个正想为4=1， 的实数根， (21应将铺售单价宽为2元 “1e…44w+4-201 11移 6-4￥=a+ej'-+r=《e-o=l,4= 《解：()该网店得受妮的售价是弟元，军菌低柑”的 1e11D216 12解：1)新停车场的长为4相#.宽为0： 1解：(1)95 *2.4一元二次方程根与系数的关系 雪像是50尾1 《最设新序车标的国相可以为1《0，设=ym.则 (21设饰带沃甘的物价降：了n元 (2)日销管量式件与衡价（元/件）的函数关系式为x= K=与.厘摆题意博5+与)(15+柱量1时 LC Z A X D -2+24070es<990 根保超靠，利到-n(1-1国4学+0你 (3)该产品龄价每件这宽本9阳无 41方6"司 新海-5警（不将台据靠备去 〔04受-400整理博a2-4+物-0，耳-o》 ,35+3y■35+3m55038,不符合5意.★去 第3章图形的相似 2m,+=-3531=-1 (e-35)90,解得n,■10,41■35.又：0-传京30,5m≤ .假设不或这. 3.1比例线段 5B63又分该武中 20.n=10 即当E=3G时，新将车场约面积不需为用m, 3.L.1比例的基本性质 意解：机稻酸得与-2“了子 著：每箱沃的警阶海低了旧元 13解(1)由聪，得AQ1,BP=2,.0H,P=6- 1D2323A4C94 第2课别几网问遥 ”L40i26-a1m0 4《1)a=-6E u+a(-2-2-7 1.D (2)x￥9： 上围收因环的恢￥的华长度为20加束 -1力+60.解再1m1攻m4: 2551子21 飞A4C的长为5m5D ,0≤1≤31m不行合题重，则1， 433 51时，△0的离积为64口： 1Bk8生1.1 6期5m7820.5一“宁48r6, (》不存在：使△0为等腰三角无 子-216x子理将-40.得，吗-2 由面意可再0=+-4，AP■6-2,0=4 地架：品号 V=40+P=+6-3 失B10011.B ”A川闭纯角三角形，且为等限三角形、 柱解：)：美于。的方程-2u+-。=0有两个不相得 香，当=2：时6OV的武现为△城面现的 ,0=V.(+4=+6-241,六=4+5-0 31.2成比例线段 约实数相， 1,3821 =(-41-4x1×5=10-0=-4c0,“方程无解 13 d=(-}-42-n4n2-4n+4n0.n0: 象侧具长柄的夏为1红 不养在，使△0为等硬三角形 1解：24=3n.0=2:m,则An=5m 参考答案九上·第 2 章 第 2 章　整合复习与对接中考 一阶　 关联知识整合练 1.与方程有关的概念及解法 类型 一元一次方程 一元二次方程 二元一次方程组 分式方程 概念或一 般形式 ax+b= 0(a≠0) ax2 + bx + c = 0 ( a, b,c 为常数,a≠0) 由两个①　 二元一次 方程　 组成的方程组 叫作二元一次方程组 ②　 分母 　 中含有未知 数的方程叫作分式方程 解法或基 本思想 去分母→去括号→ 移项→合并同类项 →系数化为 1 降次,将一元二次 方程转化为一元一 次方程 消元,将二元一次方 程组转化为一元一次 方程 去分母,化分式方程为 整式方程→解整式方程 →检验→定解 2.一元二次方程的四种解法 方法 理论依据 适用方程 关键步骤 直接开平方法 平方根的意义 (ax+b) 2 =n(a≠0,n≥0)型方程 开平方 因式分解法 若 ab = 0,则③　 a = 0 或 b= 0　 能化为一边为④　 0　 ,另一边为两个因式 乘积的形式的方程 分解因式 配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 配方 公式法 配方 所有一元二次方程 代入求根公式 1. 关联知识练习 解下列方程: (1) -x-1 = 3-2x; 解:移项,得-x+2x= 3+1, 合并同类项,得 x= 4; (2)4x +2 5 -5x-7 10 = 1; 解:去分母,得 2(4x+2)-(5x-7)= 10, 去括号,得 8x+4-5x+7= 10, 移项,得 8x-5x= 10-4-7, 合并同类项,得 3x=-1, 系数化为 1,得 x=- 1 3 ; (3) 2x+3y= 3①, 5x-3y= 18②;{ 解:由①+②得 7x= 21, 解得 x= 3, 把 x= 3 代入①,得 2×3+3y= 3, 解得 y=-1, 所以原方程组的解为 x= 3, y=-1;{ (4)5x -4 x-2 +1 = 4x +10 3x-6 . 解:去分母,得 3(5x-4)+3(x-2)= 4x+10, 去括号,得 15x-12+3x-6= 4x+10, 移项、合并同类项,得 14x= 28, 解得 x= 2, 检验:当 x= 2 时,3(x-2)= 0, 所以原分式方程无解. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 14 广西数学(XJ) 2. 本章知识串练 已知关于 x 的方程 (m - 1) x2 -4x-5 = 0. (1)若该方程为一元二次方程. ①则 m 的取值范围为　 m≠1　 ; ②若该方程有两个不相等的实数根,则 m 的取 值范围是　 　 　 　 　 　 　 ; (2)若 m= 2,请用两种不同的方法解该方程; 解:当 m= 2 时,该方程为 x2-4x-5= 0, 因式分解法: 方程左边因式分解得(x-5)(x+1)= 0, 即 x-5= 0 或 x+1= 0, 解得 x1 = 5,x2 =-1. 配方法: 配方得 x2-4x+4-4-5= 0, (3)若 x= 1 是该一元二次方程的一个根,则 m 的值为　 10　 ,该方程的另一个根为　 　 　 　 . (4)若 m= -3,该方程的根的情况为 ( C ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有一个实数根 (5)当 m= 3 时,方程的两个根为 x1,x2,则 ①x1 +x2 = 　 　 　 　 ; ②x21 +x22 = 　 　 　 　 ; ③ 1 x1 + 1 x2 = 　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 二阶　 广西中考抢先练 考点 1　一元二次方程的有关概念 1. 将方程 3x2 = 5x-1 化为一元二次方程的一般形 式得 ( C ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 3x2 -5x-1 = 0 B. 3x2 +5x-1 = 0 C. 3x2 -5x+1 = 0 D. 3x2 +5x+1 = 0 2. (2024 南宁 37 中模拟) 若 x = 1 是方程 x2 - ax-2 = 0 的一个根,则 a 的值是 ( B ) A. 0 B. -1 C. -2 D. -3 3. (2024 桂林二模)一元二次方程 x2 -4x+2 = 0 的 一次项系数是　 -4　 . 考点 2　一元二次方程的解法 4. (2023 北海模拟)用配方法解方程 x2 +8x-2 = 0,下列变形正确的是 ( B ) A. (x+4) 2 = 12 B. (x+4) 2 = 18 C. (x-4) 2 = -12 D. (x+4) 2 = -18 5. (2024 广西模拟组合练)解下列方程: (1)x2 -4x-3 = 0; 解:移项得 x2-4x= 3, 配方得 x2-4x+4= 3+4, 即(x-2) 2 = 7, 开方得 x-2=± 7, ∴ x1 = 2+ 7,x2 = 2- 7 . (2)x2 -6x+8 = 0; 解:因式分解得(x-2)(x-4)= 0, x-2= 0 或 x-4= 0, ∴ x1 = 2,x2 = 4. (3)x2 -x-2 = 0; 解:因式分解得(x-2)(x+1)= 0, ∴ x-2= 0 或 x+1= 0, ∴ x1 = 2,x2 =-1. (4)x2 -3x-2 = 0. 解:∵ a= 1,b=-3,c=-2, Δ=(-3) 2-4×1×(-2)= 17>0, ∴ x= -(-3)± 17 2×1 , ∴ x1 = 3+ 17 2 ,x2 = 3- 17 2 . 考点 3　一元二次方程根的判别式及根与系数 的关系 6. (2022 梧州)一元二次方程 x2 -3x+1 = 0 的根的 情况 ( B ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 24 九上·第 2 章 7. (2022 贵港) 若 x = - 2 是一元二次方程 x2 + 2x+m= 0 的一个根,则方程的另一个根及 m 的 值分别是 ( B ) A. 0,-2 B. 0,0 C. -2,-2 D. -2,0 【变式】若关于 x 的一元二次方程 x2 +2x+m = 0 有实数根 α,β. (1)α2 +3α+β+αβ= 　 -2　 ; (2)α2 +β2 = 16,则 m 的值是　 -6　 . 8. ( 2021 梧州) 关于 x 的一元二次方程 mx2 - 2x+1 = 0 有两个不相等的实数根,则实数 m 的 取值范围是　 m<1 且 m≠0　 . 9. ( 2020 玉林) 已知关于 x 的一元二次方程 x2 +2x-k= 0 有两个不相等的实数根. (1)求 k 的取值范围; (2) 若方程的两个不相等实数根是 a, b,求 a a+1 - 1 b+1 的值. 解:(1)由题意得 Δ= 4+4k>0,∴ k>-1; (2)由根与系数的关系,得 a+b=-2,ab=-k, ∴ a a+1 - 1 b+1 =a(b+1)-(a+1) (a+1)(b+1) = ab-1 ab+a+b+1 = -k-1 -k-2+1 = 1. 考点 4　一元二次方程的应用 10. (2023 广西)据国家统计局发布的《2022 年国 民经济和社会发展统计公报》显示,2020 年和 2022 年全国居民人均可支配收入分别为 3. 2 万元和 3. 7 万元. 设 2020 年至 2022 年全国居 民人均可支配收入的年平均增长率为 x,依题 意可列方程为 ( B ) A. 3. 2(1-x) 2 = 3. 7 B. 3. 2(1+x) 2 = 3. 7 C. 3. 7(1-x) 2 = 3. 2 D. 3. 7(1+x) 2 = 3. 2 11. (2020 河池)某年级举办篮球友谊赛,参赛的 每两个队之间都要比赛一场,共要比赛 36 场,则参加此次比赛的球队数是 ( D ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 12. (2024 南宁宾阳市期中)如 图是一个三角形点阵,从上 向下数有无数行,其中第一 行有 1 个点,第二行有 2 个 点……第 n 行有 n 个点,容易发现,10 是三角形 点阵中前 4 行的点数和. 若三角形点阵中前 a 行的点数之和为 136,则 a 的值为　 16　 . 13. (2024 贵港三模)某电商响应国家号召,发挥 电商优势,服务乡村振兴,在网络平台上为某 农产品直播带货. 已知该产品的进货价为 70 元 /件,为吸引流量,该电商在直播中承诺商 品价格永远不会超过 99 元 /件,根据一个月 的市场调研,商家发现当售价为 99 元 /件时, 日销售量为 42 件,售价每降低 1 元,日销售 量增加 2 件. (1) 当销售量为 50 件时,产品售价为 　 95 　 元/件; (2)求出日销售量 y(件)与售价 x(元 / 件)的 函数关系式并写出 x 的取值范围; (3)该产品的售价每件定为多少元时,电商每 天可盈利 1 200 元? 解:(2)根据题意得 y= 42+2(99-x)= -2x+240, ∵该产品的进货价为 70 元 /件,且该电商在直播 中承诺自家商品价格永远不会超过 99 元 /件, ∴日销售量 y(件)与售价 x(元 /件)的函数关系 式为 y=-2x+240(70<x<99); (3)根据题意得,(x-70)(-2x+240)= 1 200, 整理得 x2-190x+9 000= 0, 解得 x1 = 90,x2 = 100(不符合题意,舍去) . 答:该产品的售价每件应定为 90 元. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 34