第2章 小专题培优5 一元二次方程的应用-【众相原创】2025-2026学年九年级全一册数学分层练（湘教版）广西专版

广西数学(XJ) 5 一元二次方程的应用 重 点 强 化 类型 1　平均变化率问题 1. (2021 桂林)为执行国家药品降价政策,给人 民群众带来实惠,某药品经过两次降价,每盒 零售价由 16 元降为 9 元,设平均每次降价的 百分率是 x,则根据题意,下列方程正确的是 ( A ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 16(1-x) 2 = 9 B. 9(1+x) 2 = 16 C. 16(1-2x)= 9 D. 9(1+2x)= 16 2. 为了让学生养成热爱图书的习惯,某学校抽出 一部分资金用于购买书籍. 已知 2023 年该学 校用于购买图书的费用为 5 000 元,2025 年用 于购买图书的费用是 7 200 元,则 2023- 2025 年购买图书资金的平均增长率为　 20% 　 . 类型 2　利润问题 3. 某品牌大米远近闻名,深受广大消费者喜爱, 某超市每天购进一批成本价为每千克 4 元的 该大米,以不低于成本价且不超过每千克 7 元 的价格销售. 当每千克售价为 5 元时,每天售 出大米 950 kg;当每千克售价为 6 元时,每天 售出大米 900 kg,通过分析销售数据发现:每 天销售大米的数量 y( kg) 与每千克的售价 x (元)满足一次函数关系. (1)求 y 与 x 的函数关系式; (2)超市将该大米每千克售价定为多少元时, 每天销售该大米的利润可达到 1 800 元? 解 ∶ (1)根据题意可得,该函数的图象经过点(5, 950),(6,900), 设 y 与 x 的函数关系式为 y=kx+b, 将(5,950),(6,900)代入 y=kx+b 得: 950= 5k+b, 900= 6k+b,{ 解得 k=-50, b= 1 200,{ ∴ y 与 x 的函数关系式为 y=-50x+1 200; (2)根据题意可得(x-4)y= 1 800, ∴ (x-4)(-50x+1 200)= 1 800, 整理得 x2-28x+132= 0, 类型 3　传播与握手问题 4. 学校“自然之美”研究小组在野外考察时发现 了一种植物的生长规律,并列出下列问题:植 物的 1 个主干上长出 x 个枝干,每个枝干又长 出 2x 个小分支,现在一个主干上有主干、枝 干、小分支数量之和为 68,根据题意,下列方程 正确的是 ( C ) A. 1+x+(2x) 2 = 68 B. 1+(1+2x) 2 = 68 C. 1+x+2x2 = 68 D. x+(1+2x) 2 = 68 5. 寒假即将开始,为增进同学友谊,某班主任规 定寒假期间本班同学间,每两个人必须相互通 电话 1 次. (1)若同学们共通电话 1 225 次,求该班同学 的人数; (2)王峰同学由打电话问题想到了一个数学问 题:若线段 AB 上共有 m 个点(不含端点 A, B),则 AB 上的线段总数为多少呢? 请直接写 出结论. 解:(1)依题意得 1 2 n(n-1)= 1 225, 整理得 n2-n-2 450= 0, 解得 n1 = 50,n2 =-49(不符合题意,舍去) . 答:该班同学的人数为 50 人; (2)∵线段 AB 上共有 m 个点(不含端点 A,B), ∴该线段上共有(m+2)个点(含端点 A,B), ∴线段总数为 1 2 (m+2)(m+1)条. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 83 九上·第 2 章 类型 4　数字问题 6. 一个两位数,个位与十位上的数字之和为 8,把 这个两位数的个位数字与十位数字对调,得到 一个新的两位数,所得的新两位数与原数的乘 积为 1 855,则原两位数为　 35 或 53　 . 7. (教材 P53 习题 T4 改编)春节是中华民族最隆 重、最热闹的传统节日. 2025 年的春节是 2025 年 1 月 29 日. 在本月日历表上可以用小方框 圈出四个数(如图所示),圈出的四个数中,最 小数与最大数的乘积能否为 33 或 65? 若能, 求出最小数;若不能,请说明理由. 解:设最小的数为 x,则最大的数为(x+8) . 若 x(x+8)= 33, 解得 x1 =-11(舍去),x2 = 3. ∴当最小数与最大数的乘积为 33 时,最小数是 3. 若 x(x+8)= 65, 解得 x1 =-13(舍去),x2 = 5, ∴当最小数与最大数的乘积为 65时,最小数是 5. 类型 5　数学文化问题 8. 《九章算术》中有一题:“今有二人同所立,甲行 率七,乙行率三,乙东行,甲南行十步而斜东北 与乙会. 问甲、乙行各几何?” 大意是说:已知 甲、乙二人同时从同一地点出发,甲的速度为 7,乙的速度为 3. 乙一直向东走,甲先向南走 10 步,后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相 遇. 那么相遇时,甲、乙各走了多少步? 若设 甲、乙二人相遇的时间为 x,根据题意,可列方 程为 ( A ) A. (7x-10) 2 = 102 +(3x) 2 B. 102 = (7x-10) 2 +(3x) 2 C. (3x) 2 = 102 +(7x-10) 2 D. (7x+10) 2 = 102 +(3x) 2 9. 古印度数学家所著的《算法本原》一本中记载 了一个有趣的猴群问题:一群猴子在树林中玩 耍,总数的八分之一的平方只猴子在欢乐地蹦 跳;还有 12 只猴子在啼叫,设这群猴子共有 x 只,根据题意,可列方程为　 　 　 　 　 　 　 . 10. (教材 P59 数学与文化改编)阅读材料,回答 问题:阿尔·花剌子米(约 780~ 约 850),著名 阿拉伯数学家、天文学家、地理学家,是代数 与算术的整理者,被誉为“代数之父” . 他利用 正方形巧妙地解出了一元二次方程 x2 + 2x- 35 = 0 的一个正根. 如图,将边长为 x 的正方 形和边长为 1 的正方形,外加两个长为 x,宽 为 1 的长方形,拼合在一起面积就是 x2 + 2x+1×1,即 x2 +2x+1,而由原方程 x2 +2x-35 = 0 变形得 x2 +2x+1 = 35+1,即边长为(x+1)的 正方形面积为 36. 所以(x+1) 2 = 36,则方程的 一个正根为 x= 5. (1)上述解方程所用的方法与下列哪种方法 是一致的　 　 　 　 . A. 直接开平方法 B. 公式法 C. 配方法 D. 因式分解法 (2)上述过程所用的数学思想方法是　 　 　 　 . A. 分类讨论思想 B. 数形结合思想 C. 转化思想 D. 方程思想 (3)运用上述方法构造出符合方程 x2 +4x-5 = 0 的一个正根的正方形,并求解该正根. 解:将边长为 x 的正方形和边长为 2 的正方形,外 加两个长为 2,宽为 x 的长方形,拼合在一起面积 就是 x2+2×2x+2×2,即 x2+4x+4, 而由原方程 x2+4x-5 = 0 变形得 x2+4x+4 = 9,如 解图,其表示边长为(x+2)的正方形面积为 9, ∴ (x+2) 2 = 9, 则该方程的一个正根为 x= 1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 93 广西数学(XJ) 类型 6　几何问题 11. (教材 P57 复习题 T10 改编)如图为一张方格 纸,纸上有一个灰色四边形,其顶点均位于网 格纸的交点上,若灰色四边形面积为 21 平方 厘米,则此方格纸的面积为　 48　 平方厘米. 12. 项目式学习 项目主题:设计小区停车场扩 建方案 项目背景:随着生活条件的改善,某小区停车 场不能满足业主的需求,某校综合与实践活 动小组以探究“设计小区停车场扩建方案”为 主题开展了项目学习. 数据信息:(如图 1 所示) 信息 1:原停车场的长 AB 为 35 m,宽 AD 为 15 m. 信息 2:扩建后的长 AE 最大为 48 m,宽 AG 最 大为 20 m. 图 1 　 　 图 2 问题解决:(1)如图 1,若将原停车场的长、宽 增加相同的长度后,得到一个面积为 800 m2 的新停车场,求新停车场的长与宽; (2)如图 2,当 BE = 3DG 时,新停车场的面积 可以为 1 000 m2 吗? 请说明理由. 解:(1)设将原停车场的长、宽增加 x m,则新停 车场的长为(35+x)m,宽为(15+x)m, 根据题意,得(35+x)(15+x)= 800, 整理,得 x2+50x-275= 0, 解得 x1 = 5,x2 =-55(不符合题意,舍去), ∴35+x= 35+5= 40(m),15+x= 15+5= 20(m) . 答:新停车场的长为 40 m,宽为 20 m; (2)假设新停车场的面积可以为 1 000 m2,设 DG=y m,则 BE= 3y m, 根据题意得(35+3y)(15+y)= 1 000, 类型 7　动点问题 13. 如图,四边形 ABCD 为矩形,AB = 6 cm,AD = 4 cm,若点 Q 从点 A 出发沿 AD 以 1 cm / s 的 速度向点 D 运动,点 P 从点 B 出发沿 BA 以 2 cm / s 的速度向点 A 运动,如果 P,Q 同时出 发,当一个点到达终点时,另一点也同时停 止. 设运动的时间为 t(s) . (1)当 t 为何值时,△PDQ 的面积为 6 cm2? (2)是否存在 t 使△PDQ 为等腰三角形? 若 存在,求出 t 的值;若不存在,请说明理由. 解: ( 1 ) 由 题 意, 得 AQ = t, BP= 2t, ∴DQ= 4-t,AP= 6-2t, ∵∠A= 90°, ∴ 1 2 (4-t)(6-2t)= 6, ∴ t2-7t+6= 0, 解得 t= 1 或 t= 6; ∵0≤t≤3, ∴ t= 6 不符合题意,则 t= 1, ∴当 t= 1 s 时,△PQD 的面积为 6 cm2; (2)不存在 t 使△PDQ 为等腰三角形. 由题意可得 DQ= 4-t,AP= 6-2t,AQ= t, ∴PQ2 =AQ2+AP2 = t2+(6-2t) 2, ∵△PDQ 为钝角三角形,且为等腰三角形, ∴DQ=PQ,∴ (4-t) 2 = t2+(6-2t) 2, ∴ t2-4t+5= 0, ∴Δ=(-4) 2-4×1×5= 16-20=-4<0, ∴方程无解, ∴不存在 t 使△PDQ 为等腰三角形. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 04 1变式2]朝：令y=2林，测由惊程，得4一2=0 (2少意的值为符合条特骑小整数，30.，=1.六惊方 维朝：(1)道高的宽为6 第2章整合复习与对接中考 整星，每(-6)(+2}=0，解得3,6，为=-2 程为2-2+3-1=0，径孩方程的量是n,34,∴+2= (2)设每个车位的月阳象上深▣元时，停车场的升相金化 一阶关联知识整念练 当=6时，72红=6，(x+3)(=0,解特-33=2 2e4·2e5m-【,解样1，w=3或0宝-2，n年-3， 人为10125元， D二元一次卉程2分月3如=0或-n40 当重-2时.+■一1，耳'+1=0，说方程无买数 与m=-3时原为程为了+6证48=0，解得，=4,5=-2 综上桥进，黄方P时解为工，=一小，玉，2 不海足圆意.位象去.n的物为3 银影题意，a+0-写)5。 23一元二次方程根的判别式 日解：(1题.得3=-2(n+1]-4(+5-16 整月，得2-50+625=0，解补a,=4,=25 0,解得四22： 答：当特个军位的月相金上篷25元时停车场的月相金化 以东程的前为(. (4们惊分式方程走解 LC ZA 3 B 4()方程有两个相等的买数根 (?马爷好路对角性长为6的卸港的相第刺边的 人为0125元 (2)方程有得个不相等的实数根 吉长， 小专题培优5→元二瓷方程的应用 2帽：1)①m*1 3)此方程无实数配. 六++与-24，-2m+)]-2(+-6, I A 22 (2)当me2时.技方程为-45=0， 系C6C70%=-1式容米不雅一 领课.周n+4n-21=0,5解，=3.=-7， 3解：41)y与x的6数关式为，=-0+10 国式分解出 发证用：思已得占=（鲜-4）-4和-1》为1-3)=国一陶+6+ 2ym2,且1+2其n+1020,n=1 《)每干克售肯定为6无时，每天销售该大米的料制可选 水程左边因式分解得(4-5)儿+1)常0， 2m-12“m+4a*4=(n*1,《nt2)°0,4方程0有 4解：(1+ 锅1无 目-5=1友41=0，解限1=5,1-1 两下实数根 4C (2)南一北二次方程粗与系数的关系释名性“工1， 配方法： 10G「变式111,31变式1012-2 5解：(1)该民学的人数为0人： 视方到2-4+4-45=0，p(-2)3=9 1线解：()世美干x售一天二次方程'-4红+m=0有得个岁 4■241.6与}-2，与■41， 数根，11=(-4》-4×n0,解料m可4： 六-2=2+.解周A=3-1 (2线段包数为m+21…12年 4一2士3，解科1+5，，-L解法不性一 (?)若该方程的两个实数根相等，哪身■4 当p3时，3p2-4.9-4500 435我53 (3o号4c《sa2ng 2渠方释为x-4*4=0,期(2)=0，解释，=与=2 当=-1时，d=-4m-50.此时厚左程无实数根： 又当量小数与量大数的乘为适时，酯小数是 二阶广西中考枪先好 14解：1)1据题意得4=-2)-利)>0.解再w>3: =1 1"0 1.C2B3-44B (2,2J,,-30, 2.5一元二次方程的成用 解1I)C(2用 i),=1474--7 n31m1m.332 第1课时平均变化率，骑售利闭问题 (20,1,与=4 3)将边长为的主方形相步长为2的 1.B2% 3),=2,5= 1)D0 正方形.养加两个装为2，宽为年的的 (2)证用：r一元二代方程。入++(，0)方和清方3该感海平台3,4两个月销传潮的川平约增长米为% 方无.排合在一上面肌微是+22，+1 2 4, W”,-b=te..-4o=(ur》2-4=r)20, h 2 x2,即4+4. 系B7B【空式1(1)-2(21-6装c1且m→0 ·一相撞方程“总有实数限： 线解：()该生产氨在九月卧能生产【和套竹置 面由度方程，+4-5i变后得+ (3引解：：一元二次方程4+e=0(年产0)为”响替方 (2)蜂套虫丹价2元 象解：(1由题直1=4+420.k之-1： r+4=9.解丽.八表示边长为(+ (2)由根与不数的关系，得+4=-2心■-4 的正方形面积为9， 6r.:”和情方程”：”++r0(年0》有有个相等 7,解：(11少与x之可的网款表达式为y=-0+0: -4-1 《+2)=9,期线方程的一个正银为，= 的火数限 (2)应将前售单价定为22龙 .4 462 +4w=(at'4r=u-=0.4s 风解(11减网店每自爱银的传骨是30元，对前”沃钳“的 1a0t1.1非1216 2解：(1)斯停项的长为0和发为司： 男像是的元： 1线解：(1的 *2.4一元二次方程根与系数的关系 12)围设新停车场的面积可以为1国m设G=y.则 (2引量每箱“汉相”的售价降其了m元： (2)日镇博址件》与有像（元/作）的网数关系式为 康=.艇据题位得(35+3动)5+y在13， IC 2 A D -2.24070xc991 期钢恩直再(0-n)1-m4经+xo (3)该产品的害价年件中定为用元 41,=了3 期得，5。学（不特合细童，备 (国4宁40.整理群-e+0-,厚(a=0 35+3y35+3505,不行合题意，☆去 第3章图形的相似 201,-3,“= 银不成业。 3.1比例线段 5指65片支*时 (一35)=0，加得4，▣10.m:里5，又分-m加切传国 20=0 群当E3G计，新停车场的的积不镜为100审 3.1,1比例的基本性质 日解：)由意.料A0=,P立，40=1，A=2 本解：根影形特与与2”了 答：好加一纸附”约传竹承其了0元 1028t1A4C名A 第2课时几网同题 24=w2400-=6 6(1a=-6: l-*与4-22- 1.D 12)红=9 2围收圆环竹铁能悔特长度为山阳米 ÷-1+6=0,解m1减m6: 25s1子22 1AG的长为5m互D 0写1写)，5，=6不滑合题宽，刚任1 1303 当=1时.BP的配积为6： 1.B8i象上2 3到，..1a (2)不存在：使△0为等程三角8， 3“3 由题意国得=-(，P=-2,AQ= 0解：(-之，2 上(-21-160}数现，-4-，解得-4-之 y写 W=0+4产=6- 年B1001l.日 爷：考-2：时么0n些积为△世国积子 ?凸0为角已角形.且为等履三角形. 2解：（女关于年的方程-2aw+'-◆=有再个不相等 +0=0(4-=6-}六-4山+5=0. 3.12成比例线段 的实数佩， 73.素26 41=1-4)2-41×5=-20-40,方程无算 1.3 1(-2m)-4[m2-》4n-4n+4n0n>0 象模具长柄的夏为1具 不存在，桂△0为等腰三角 上解：设D=3nm,=2xn,周AB=5多am 参考答密