3.5 相似三角形的应用-【众相原创】2025-2026学年九年级全一册数学分层练（湘教版）广西专版

广西数学(XJ) 3. 5　 相似三角形的应用 一阶 基础巩固对点练 知识点 1　利用相似三角形测量宽度 1. 如图,在圆形花圃中有两条笔直的小径,分别 记为 AC,BD,设交点为 P,点 C,D 之间有一座 假山,为了测量 C,D 之间的距离,小明已经测 量了线段 AP 和 PD 的长度,及∠BAP= ∠PDC, 只需再测量一条线段的长度就可以计算 C,D 之间的距离. 小明应该测量的是 ( C ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 线段 BP B. 线段 CP C. 线段 AB D. 线段 AD 第 1 题图 　 　 　 第 2 题图 2. 如图,用一个卡钳(AD =BC,OC OB =OD OA = 1 3 )测量 某个零件的内孔直径 AB,量得 CD 的长度为 6 cm,则 AB= 　 18　 cm. 3. (教材 P94T3 改编)如图,某校宣传栏 BC 后面 12 米处种有一排与宣传栏平行的若干棵树,即 BC∥ED,且相邻两棵树的间隔为 2 米,一人站 在距宣传栏前面的 A 处正好看到两端的树干, 其余的树均被宣传栏挡住. 已知 AF⊥BC,AF = 3 米,BC = 10 米,求该宣传栏后 DE 处共有多 少棵树? (不计宣传栏的厚度) 解:延长 AF 交 ED 于点 G. ∵BC∥ED,∴△ABC∽△ADE,∴AF AG =BC DE , 又∵BC= 10 米,AF= 3 米,FG= 12 米, ∴AG=AF+FG= 15(米),即 3 15 = 10 DE , ∴DE= 50 米,50÷2= 25,25+1= 26, 答:DE 处共有 26 棵树. 知识点 2　利用相似三角形测量高度 4. 小明在测量楼高时,先测出楼房落在地面上的 影长 BA 为 15 米(如图),然后在 A 处竖立一根 高 2 米的标杆,测得标杆的影长 AC 为 3 米,则 楼高为 ( A ) A. 10 米 B. 12 米 C. 15 米 D. 22. 5 米 5. 跨学科·物理 (2024 扬州改编)如图 1 是《墨 经》中记载的“小孔成像”实验图,图 2 是示意 图,其中物距 BF= 2 m,像距 CE= 1 m. 若像的高 度 CD 是 0. 9 m,则物体的高度 AB 为 ( C ) 图 1 　 　 　 图 2 A. 1. 2 m B. 1. 5 m C. 1. 8 m D. 2. 4 m 6. 数学文化 《周髀算经》 中记载了“偃矩以望 高”的方法. “矩”在古代指两条边呈直角的曲 尺(即图中的 ABC) . “偃矩以望高”的意思是 把“矩”仰立放,可测量物体的高度. 如图,点 A,B,Q 在同一水平线上, ∠ABC 和 ∠AQP 均为直角,AP 与 BC 相交于点 D. 测 得 AB=0. 4 m,BD=0. 2 m,AQ=12 m,求树高 PQ. 解:∵ 点 A, B, Q 在 同 一 水 平 线 上, ∠ABC 和 ∠AQP 均为直角, ∴BC∥PQ,∴△ABD∽△AQP,∴AB BD =AQ QP , ∵AB= 0. 4 m,BD= 0. 2 m,AQ= 12 m, ∴0. 4 0. 2 = 12 QP ,解得 QP= 6 m, ∴树高 PQ 为 6 m. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 66 九上·第 3 章 二阶 能力提升强化练 7. 如图,刘强桥上散步时,为了测量桥上索塔的 高度,在地面 C 处放一面镜子,通过镜子恰好 看到索塔的顶部 A,测得镜子与索塔的距离 BC= 12 米,他与镜子的距离 CE = 1. 5 米. 已知他的眼睛距离地 面的高度 DE = 1. 7 米,则索塔的 高度 AB 为　 13. 6　 米. 8. 现实情境 一种燕尾夹如图 1 所示,图 2 是在 闭合状态时的示意图,图 3 是在打开状态时的 示意图 (此时 AB∥CD),相关数据如图 (单 位:cm) . 从图 2 闭合状态到图 3 打开状态,点 B,D 之间的距离减少了　 　 　 　 cm. 图 1 　 图 2 　 图 3 9. 如图,一条河的两岸有一段是平行的,在河的 南岸岸边每隔 5 m 有一棵树,小奥站在离南岸 20 m 的点 M 处看北岸,在两棵树之间的空隙 中,恰好看见一条船的船头和船尾(假设船头、 船尾和小奥的眼睛位于同一水平平面内),若 已知船长 CD= 18. 5 m,该船行驶在河的中心, 且船与河岸平行,请你求出河的宽度. 解:如解图,过点 M 作 MF⊥AB,并延长 MF 交 CD 于点 E. 由题意得,AB= 5 m,MF= 20 m,ME⊥CD. ∵AB∥CD, ∴△MAB∽△MCD,∴MF ME =AB CD , ∴ 20 20+EF = 5 18. 5 ,∴EF= 54 m,∴2EF= 108 m, ∴河的宽度为 108 m. 三阶 素养创新综合练 10. 项目式学习 某“综合与实践”小组开展测量 本校旗杆高度的课题活动. 他们制订了测量 方案,并利用课余时间完成了实地测量,测量 报告如下. 课题 测量旗杆的高度 成员 组长:×××　 　 组员:×××,×××,××× 工具 皮尺,标杆 测量 示意 图 说明:在水平地面上直 立一根标杆 EF,观测者 沿着直线 BF 后退到点 D,使眼睛 C、标杆的顶 端 E、旗杆的顶端 A 在 同一直线上 测量 数据 观 测 者 与 标 杆 的 距 离 DF 观 测 者 与 旗 杆 的 距 离 DB 标 杆 EF 的 长 观测者的眼 睛离地面的 距离 CD 1 m 18 m 2. 4 m 1. 6 m 问题 解决 如图,过点 C 作 CH⊥AB 于点 H,交 EF 于点 G…… 请根据以上测量数据及该小组的思路,求学 校旗杆 AB 的高度. 解:由题意得 CD=FG=BH=1. 6 m,CG=DF=1 m, CH=BD= 18 m,∠CGE=∠CHA= 90°. ∵EF= 2. 4 m, ∴EG=EF-FG= 2. 4-1. 6= 0. 8(m) . ∵∠ECG=∠ACH,∴△ECG∽△ACH, ∴CG CH =EG AH ,∴ 1 18 = 0. 8 AH , ∴AH= 14. 4 m, ∴AB=AH+BH= 14. 4+1. 6= 16(m), ∴学校旗杆 AB 的高度为 16 m. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 76 小专题培优6相很三角形的常见核型 am-D=3,=√+-5.san 1解：是长A交中于点G :原4的坐标是(24)4n=2,4N=4 L42器1B2.33ME4C384o :D一△C△AE,+花深 AP BC 。11 行MCE5A 8m多期'■2，亦=64《6,2》 4 4正明略 又，=10米，AFn3米，G■12米 点鼻0的中点，1C5.6 TC 去Gsc=15米).号是 一6“国，即发比例届新约表法大为y一 1)正用路： 2)助=玉6 ,W=50米，042=25.251=6 A上x轴.5，=3r=b m小2安 24 容：成耸共有当解树 明P失号a证明路第法CⅡ子 4A 5C 一营或调点口的室标为6，： 34.2相似三角形的性质 13(1座期：，口边老AD是正方影 6时高0为6m (2A(2.4.B2,0).C(3,6}.06.31.6.12 第1课时相侧三电形的性质 ,A=G=CD=4,∠后-∠C=0P 7.1568.3 及解如解图.试度作状⊥A,并话纪E危星 8&,0人52445-7《6-23-6， (高、角平分线、中线) A⊥.∠A=，∠CN∠=0r. 1A2第 在别△AU中.∠，∠AB=r达∠N=∠ 交切于点名由题壁得.小■5和.非■ 440B'的蓝肌 司雨，W上Y.△程AN四 1旺明略： 爱∠N=∠C,:△An△： D 4A1人264 (21解：：△4U一&￥，△4的周长与△1的蛋 长之4：3，。4想。4,4 △，E西0-”属3 4的正银动宁--r 1UF-Tan 去F=54a,5F=10n,河的宽度为 A南平 I1.解：△AB0B4'C,AD.BE分到暴△A0C的高招中 线，术，r发分附是△C皆商豹中线，四正 山。E 小专题培优7相银三角彩中的常考类型集( D=sa,4Gk。4C44=0 第3章整合复习与对接中考 F=14a.G-k-fG=24L6=0(a, 一粉”关联知识整台塔 4 9 0447a3压=◆m云韩秤E ∠G=∠H,A-△AN 工重合2相等生对应收比例④相等⑤夹角 CC EG 1 8 6先边时边桶等象平行)相数减比同 12解：r=G·DC,六 AC MC 1.任明：：四边形D是见韦。 成比例零夷非两相同影相属不周 BC C ∠10▣LAE=0',B=,4∠AaD#Li=0 6心面-W=4 .AB=N=144+L,6=I6(a). 1相等伊相等)相等相等世桂等分相等 AELD,∠E∠=0∠=∠E ,年校蜜仟A信的高度为16但 等细国比等相微比条相包比雪相微比的平方 ,AG=6,=42,F=2,E,F分用为4C,BC的中点 1∠GL风答案不准一) 长能合些博腿兽 AD OE 3.6位似 福一-成·L-C4-城· 第1课时位图形的根象、柱质及国法 1《1)解：△Am△△0 理由口边彩AC力，.∠AP■LCDP,A■C 这解：（具边毛为是矩形.：H 小专晒培优器相氨三角形中的内接四边形问题 EH AM 1解：设A0与6交于点k 12A3G44博系号 在8W前6中 :日边思ECH为正方形，上6此一D配 AK HG 丘些四写， EF=0H,4,A=4-， 出4国 7解：(11通国路：12)020 《5A5, 64 位正方形，M的立长为。，测A怀=(20-1m,= 发c1M条113口位解侧3（号 《2)E明：△APD国△W∠P=∠aiP,=PL .E-3 上m卖相年 公8AW∠P∠AP,∠P=LF 14解1(1)作图略：(23：1 2以5m-2+241-+a04 厚正方形EH的动长为12 第2课时平面直免坐标系中的位侧 :L刚乙g△一△m岸货即 L B 3C 4D 1【变式没间】-4,12A304(3, P-PEFF. (2当相形EF山为正方无时，手=W 线解：(1)A=理白知下：镜辱个正方形的 k■面好 4(x,n》9(,-y}30-,》-1,y1多( 由1)语4.得一 边长为a, 6画西略 1 5 红解因剩一N= 1(1)[2.4《2){3.-41《-3.4)(3(-1.-41 ·当E思0N为正方时.？的长度为号 AAFAH 《4)-6.-13归 AIf E 1 复解：(1小津立平面直角全标系 二翰广匹中蜜枪无炼 第2粉时相做三角形的性质（面积、因长） 六N87AW=-a 如解西，点丛的坐辉为（一 L C 2 B 3.B A 4C 1G22 4AD和， AVI 三延师暗 (2)如解用，4且，七为周 《《1)证明：球8An,BE8C 4△G的图现为号 G,六△AA△A, 求作： 云∠㎡=乙A,∠D=∠AiF:∠Bc室∠AD EF AV I 应而方8C=3垢=3和=高 (3引如解因，点P为所求作 又，A·∠CF▣∠E 至B6B22 点P-2.1). .w△D 靠4E的用长为 10解：(1)△A想和△4'0退 CD I 生C1aA1ls6 是位三角形，且位仪比是 2解：子面”2 11(1)证商： 35相似三角形的应用 (2解：在脸△BC中，LC=0,A6=3,=4,BD=2 由(1}知.△FC△AD. 1.0218 4 参考答案