3.4.2 第1课时 相似三角形的性质(高、角平分线、中线)-【众相原创】2025-2026学年九年级全一册数学分层练（湘教版）广西专版

小专通培优6机似三角形的常见校型 mmc-m-3,wnC+C✉5，ǒ2=*n 3解：基长F交D于点公 ,点4前坐标是2,4月，，格=2,48=4 ①42 ACR LB23 SOC COCD3B40 AF BC CE 5A C0。△△A城.-G7 六高广品rn0w66, 4 秦用略 △mEAA指C5。 又：B▣0米，F=3家，G=12深， 点G是0的中点，∴C(36) 1,G a6nc彩利日提 之一6：民，博以北例属数的表达大为一丹 装(1)旺明降 12)D=1.n 减=知米，如42=25.541=指. A8上年精，=，=自 5小话 暮客：娠处失有当棵牌 看P失号性明品.男CNL子 4A 5C 34.2相似三角形的性质 13(1)定铺国边形A功是E本聚， 6相角？为6国 242.41.r2,0.C(3.4).B6.31.4'(6.12). 第1课的相似三尾形的性因 :ABC=CD4,∠re∠C=0 7.136&3 失解：解阁，过点W作FLA唇，并延F r6.0154w-2445623-6 (高、角平分线、中找) ⊥X,.∠A94∠作+∠=0 在△AW中.∠导+∠AW=T,去∠x=∠ 交D于点尾确框意得，A0=5n,F= 142n △40馆的能队为号 6236 又：∠N=∠G,:△4I△N: 2耐，5⊥(An,去△根 人证明解 4453244 (》解：T△Af中△x,△4nW的项长与△WT的风 HF AN △A功的衡积为 *2- 2 1.CF-7 mn 长之比是4：3.4加.4.44 ac.E远小+k3 凸F▣34中，12EF=16n.属的宽理为 系C只4度251M24m.0m 25 14 1得 11.解：△4B0一A4',AD,能分倒是△AC的高有中 1 ：由直得==16，=f, 线A,含分彩是△的商到中线六T四” AD E 小专缓培优7相但三角思的常考类型集 0=体m,球=(4=0 第3章整合复习与对接中考 2FF=上4m.,G=EF-G=24=L,h=且积m 一阶关联知识显合练 46 0=4.4re,6m不邮聘r:子 ∠EG=∠H,.△CG△AW, 1由重个陆等号成境比钢用等客丸角 7.证明：：四边用B是师形， CC EG I Q 8 你表边⑦对边零相等夏平行)相日域比例 1h解C=4CC.六度 AC RC 产国相=44n B成比例)复构15和间相间不可 ∠10=∠A极=0AB-E.4A的：∠Aw=0 ÷n=A:别=44+L.6=1m1. 信稻等9时等秀相等相等松相等相零 又4G年∠，AUn△ ,学粒自杆A格的在度为6匹 非短过比茶用叙比相以比香用氨性的平方 :AG=6,B以=42，时=2，，F分同为4C,的中直 1a4AE-0,,△AEn△D, 1∠C=(答军不一小D ·瓷然名鳄兴 面西r-成：线机x,二A=城· AD DE 3.6位似 上(1M:△AaAa 第1课时位图形的概老、性质及酒速 国边AD为表惠.∠A=∠，A=C队 A期：(1用边形H是更惠.六，C 小专题培优8相银三角彩中的内接四边形问题 AD-C0. EH AM 1.解：设AD与环交于点K, LB玉A3G44博及号 在△P0和△W中，LAW"=∠P,△D≌△ 在同 DP=BP. E=0,04,44-室，4 别4- ~具边表为正方用，断配一0配 7.解：1)腾图略：(216210 设正方形E的立长为含n.州A林=(20-m,% 装G多1m名L192日0k(写 (2)E明：AAPa△CPW.∠P=∠BP,P℃=PL (4-1. 宁卖限B G8A银.∠GP∠FP,LP∠AP 14解11)作用路：(253 博正方港EFC酒的边长为2m 第2课时：平面直角坐标系中的位心 :上-匹aaE…0-你 Z H 3C 4D LB【宝式授间1(-4，)2AaC43.1月 =W·W, (2)形EF好为正方E即利，EFaW 感解：()=C理由如下：设每个正方无的 5商图略 易(，士w）9(,一y) 国(-1，y)海(-，-y）国( 边长为. 4西路 如解图则去作= 3112.4)812)(3.-4》(-3.4)(3)(-3,-4y ·当版用为正方时时，的长夏为号 ,F前.+△4△40 {41-6,-)2 AM K 1 第2课时相三角形的性质（南积，透长） “Gm7之=a 9解：(1)建立平雀直角生存屑 二阶广西中考抽先练 如解闲，点：的卡标为（一2， 1C 2B 3B A 4C 1G2A2 上40-3…0写 AM I -51 ￡证明停 《2)如解m,△An,CG:为 长(I证明：FAR.DC 本c特西积为号 EFG.,△AHFA64 求0： ∠FAF,AD∠AF名∠=A EF AM 1 名事617.2 之子3站仙- (3)如解西，点P为所求作 点1-2,1 素△C的同长为 橡制11)△AOB样△AB 失G1n11L56 备位饭三角形，且位山比是 上〔山期魔， 3.5相似三角形的应用 1。Am1 (2算：在△4r中，∠C=0,AC-3,=4,D=2, 由1)妇，△DFC△4ED, 1.C218 参考答案 广西数学(XJ) 3. 4. 2　相似三角形的性质 第 1 课时　 相似三角形的性质(高、角平分线、中线) 一阶 基础巩固对点练 知识点 1　相似三角形对应高的比等于相似比 1. (2024 北海合浦县月考)如图,已知△ADE∽ △ABC,相似比为 1 ∶3,则 AF ∶AG= ( A ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 1 ∶3 B. 3 ∶1 C. 1 ∶9 D. 9 ∶1 第 1 题图 　 　 　 第 2 题图 2. 如图,小明在横格作业纸(横线等距)上画了个 “ ×”,与横格线交于 A,B,C,D,O 五点,如果线 段 AB= 6 cm,那么线段 CD 的长等于 ( B ) A. 8 cm B. 9 cm C. 10 cm D. 12 cm 3. 如图,△ABC 与△A′B′C′相似,AD,BE 是△ABC 的高, A′ D′, B′ E′ 是 △A′ B′ C′ 的 高, 求 证: AD A′D′ = BE B′E′ . 　 　 证明:∵△ABC∽A′B′C′, ∴∠ABD=∠A′B′D′. ∵AD 和 A′D′是高, ∴∠ADB=∠A′D′B′, ∴△ABD∽△A′B′D′, ∴ AB A′B′ = AD A′D′ , 同理可得,△ABE∽△A′B′E′,∴ AB A′B′ = BE B′E′ , ∴ AD A′D′ = BE B′E′ . 知识点 2　相似三角形对应角平分线的比等于 相似比 4. 如果两个相似三角形对应角平分线之比是 2 ∶3,那么这两个三角形的相似比是 ( A ) A. 2 ∶3 B. 4 ∶9 C. 16 ∶81 D. 2 ∶ 3 5. 已 知 △ABC ∽ △A1B1C1, AD, A1D1 分 别 是 △ABC, △A1B1C1 的角平分线, BC = 6 cm, B1C1 = 4 cm, AD = 4. 8 cm, 则 A1D1 的 长 为　 3. 2　 cm. 知识点 3　相似三角形对应边上的中线的比等 于相似比 6. 已知△ABC∽△A′B′C′,顶点 A,B,C 分别与顶 点 A′,B′,C′对应,AD,A′D′分别是 BC,B′C′边 上的中线,如果 BC = 3,AD = 6,B′C′ = 2,那么 A′D′的长是　 　 　 　 . 7. 如 图, 在 △ABC 中, D, E 分 别 是 △ABC 的 边 AB, AC 上的点,DE∥BC,CF,EG 分别是 △ABC 与△ADE 的中线,已知 AD ∶ AB = 4 ∶ 7, EG= 4 cm,求 CF 的长. 解:∵DE∥BC, ∴△ABC∽△ADE. ∵CF,EG 分别是△ABC 与 △ADE 的中线, ∴CF EG =AB AD = 7 4 , ∵EG= 4 cm, ∴CF= 7 cm. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 06 九上·第 3 章 二阶 能力提升强化练 8. 如图,已知 AB∥PQ,AB = 90 m,PQ = 120 m. 点 P,A,C 在一条直线上,点 Q,B,C 也在一条直 线上. 若 AB 与 PQ 的距离是 30 m,则点 C 到直 线 PQ 的距离为 ( C ) A. 90 m B. 100 m C. 120 m D. 140 m 9. 易错 两个相似三角形的相似比是 2 ∶5,已知 其中一个三角形的一条高线为 10,那么另一个 三角形对应的高线长度是　 4 或 25　 . 10. 已知两个相似三角形对应角平分线的比为 3 ∶10,且这两个三角形的一对对应高之差为 56 cm, 则这两个三角形对应高的长分别 为　 24 cm,80 cm　 . 11. 如图, △ABC ∽ △A′ B′ C′, AD, BE 分别是 △ABC 的高和中线,A′D′,B′E′分别是△A′B′C′ 的高和中线,且 AD = 4,A′D′ = 3,BE = 6,求 B′E′的长. 　 　 解:∵△ABC∽△A′B′C′,AD,BE 分别是△ABC 的高和中线,A′D′,B′E′分别是△A′B′C′的高和 中线, ∴ AD A′D′ = BE B′E′ , ∵AD= 4,A′D′= 3,BE= 6, ∴ 4 3 = 6 B′E′ , 解得 B′E′= 9 2 . 12. 如图,E,F 分别为 AC,BC 的中点,D 是 EC 上 一点,且 BC2 = AC·DC. 若 AC = 6,BC = 4. 2, DF= 2,求 BE 的长. 解:∵BC2 =AC·DC, ∴AC BC =BC DC , 又∵∠C=∠C, ∴△ABC∽△BDC, ∵AC= 6,BC = 4. 2,DF = 2,E,F 分别为 AC,BC 的中点, ∴AC BC =BE DF ,∴ 6 4. 2 =BE 2 , 解得 BE= 20 7 . 三阶 素养创新综合练 13. 如图,已知在△ABC 中,AD 是 BC 上的高,且 BC= 6,AD = 4,矩形 EFGH 的顶点 F,G 在边 BC 上,顶点 E,H 分别在边 AB,AC 上,AD 与 EH 交于点 M. (1)设 EF = x(0<x<4),矩形 EFGH 的周长为 y,求 y 关于 x 的函数表达式; (2) 当矩形 EFGH 为正方形时, 求 EF 的 长度. 解:(1)∵四边形 EFGH 是矩形, ∴EH∥BC, ∴△AEH∽△ABC, ∴EH BC =AM AD . ∵EF=DM=x,AD= 4, ∴AM= 4-x,∴EH 6 = 4-x 4 , ∴EH= 3 2 (4-x), ∴ y= 2(EF+EH)= 2[x+ 3 2 (4-x)] = -x+12(0<x <4); (2)当矩形 EFGH 为正方形时,EF=EH, 由(1)得,x= 3 2 (4-x),解得 x= 12 5 , ∴当矩形 EFGH 为正方形时,EF 的长度为12 5 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 16