3.4.1 第2课时 相似三角形的判定定理1-【众相原创】2025-2026学年九年级全一册数学分层练（湘教版）广西专版

广西数学(XJ) 第 2 课时　 相似三角形的判定定理 1 一阶 基础巩固对点练 知识点　两角分别相等的两个三角形相似 1. 如图,在△ABC 纸片中,∠A= 76°,∠B = 34°. 将 △ABC 纸片沿某处剪开,下列四种方式中剪下 的阴影三角形与原三角形相似的是 ( C ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. ①② B. ②④ C. ①③ D. ③④ 第 1 题图 　 　 　 第 2 题图 2. 如图,在 Rt△ABC 中,∠B = 90°,点 P 在边 AC 上,过点 P 画直线截△ABC,使截得的三角形 与△ABC 相似,这样的直线最多可画 ( C ) A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条 3. 开放性试题 (2024 滨州)如图,在△ABC 中, 点 D,E 分别在边 AB,AC 上. 添加一个条件使 △ADE∽△ACB,则这个条件可以是　 ∠ADE = ∠C(答案不唯一)　 . (写出一种情况即可) 第 3 题图 　 　 　 第 4 题图 4. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,CD⊥AB 于 点 D,若 AD= 1,BD= 4,则 CD= 　 2　 . 5. 如图,已知∠ACD= ∠B,若 AC = 6,AD = 4,BC= 10,则 CD 的长为　 　 　 　 . 6. (2024 贵港桂平期中)如图,BD,AC 相交于点 P,连接 BC,AD,且∠1 = ∠2,AD = 3,DP = 2, CP= 1,求 BC 的长. 解:∵∠1=∠2, ∠DPA=∠CPB, ∴△ADP∽△BCP, ∴AD BC =DP CP = 2. ∵AD= 3,∴BC= 1. 5. 7. 如图,在等腰△ABC 中,AD 是顶角∠BAC 的平 分线,BE 是腰 AC 上的高,垂足为点 E. 求证: △ACD∽△BCE. 证明:∵AD 是等腰△ABC 的顶角∠BAC 的平分线, ∴AD⊥BC,∴∠ADC= 90°, ∵BE 是腰 AC 上的高,∴∠BEC= 90°, ∵∠ACD=∠BCE,∠ADC=∠BEC, ∴△ACD∽△BCE. 8. 如图,在正方形 ABCD 中,E 为 BC 上一点, EF⊥AE,交 CD于点 F,求证:AB ∶CE=BE ∶CF. 证 明: ∵ EF ⊥ AE, ∠B = ∠C = 90°, ∴ ∠AEB + ∠FEC = ∠FEC + ∠EFC= 90°, ∴∠AEB=∠EFC, ∴△AEB∽△EFC, ∴AB CE =BE CF , 即 AB ∶CE=BE ∶CF. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 25 九上·第 3 章 二阶 能力提升强化练 9. 易错 如图,已知∠ADE = ∠ACD = ∠ABC,图 中相似三角形共有 ( D ) A. 1 对 B. 2 对 C. 3 对 D. 4 对 10. 如图,△ABC 为等边三角形,点 D,E 分别在边 BC,AB 上, ∠ADE = 60°. 若 BD = 4DC,DE = 2. 4,则 AD 的长为　 　 　 　 . 第 10 题图 　 　 第 11 题图 11. 数学文化 《九章算术》是中国传统数学最重 要的著作,其中第九卷记载:“今有邑,东西七 里,南北九里,各中开门,出东门一十五里有 木,问:出南门几何步而见木?”译文:“今有一 座长方形小城,东西向城墙长 7 里,南北向城 墙长 9 里,各城墙正中均开一城门. 走出东门 15 里处有棵大树(如图),问走出南门多少步 恰好能望见这棵树?”(注:1 里 = 300 步)你的 计算结果是:出南门　 315　 步而见木. 12. 如图,在矩形 ABCD 中,E 为 DC 边上一点,把 △ADE 沿 AE 翻折,使点 D 恰好落在 BC 边上 的点 F 处. (1)求证:△ABF∽△FCE; (2)若 AB= 8,AD= 10,求 EC 的长. (1) 证明:∵ 四边形 ABCD 是 矩形, ∴∠B=∠C=∠D= 90°, ∴∠BAF+∠AFB= 90°, 由翻折可得∠D=∠AFE=90°, ∴∠AFB+∠EFC= 90°,∴∠BAF=∠EFC. ∴△ABF∽△FCE; (2)解:∵四边形 ABCD 是矩形,AD= 10, ∴BC= 10, 由翻折可得 AF= 10, 在 Rt△ABF 中,BF= AF2-AB2 = 6,∴CF= 三阶 素养创新综合练 13. 新定义问题 从三角形(非等腰三角形)一个 顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点 之间的线段把这个三角形分割成两个小三角 形,如果其中一个为等腰三角形,另一个与原 三角形相似,我们把这条线段叫作这个三角 形的完美分割线. (1) 如图 1, 在 △ABC 中, ∠A = 44°, CD 是 △ABC 的完美分割线,且 AD = CD,则∠ACB 的度数是　 88　 °; (2) 如图 2,在 △ABC 中,CD 为角平分线, ∠A= 40°,∠B = 60°,求证:CD 为△ABC 的完 美分割线. 图 1 　 　 　 图 2 证明: ∵ 在 △ABC 中, ∠ACB = 180° - ( ∠A + ∠B)= 80°,∴△ABC 不是等腰三角形. ∵CD 平分∠ACB, ∴∠ACD=∠BCD= 1 2 ∠ACB= 40°, ∴∠ACD=∠A= 40°, ∴△ACD 为等腰三角形, ∵∠DCB=∠A= 40°,∠CBD=∠ABC, ∴△BCD∽△BAC, ∴CD 为△ABC 的完美分割线. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 35 24　 ∵ C 为线段 AB 的中点, ∴ AC=BC= 5 2 x cm,∴ CD=BC-BD= 1 2 x cm. ∵ CD= 2 cm,∴ 1 2 x= 2,∴ x= 4 cm,∴ AB= 5x= 20 cm. 3. D　 4. C　 5. 1 ∶500 000　 6. A　 7. ( 5 -1)　 8. B　 9. 32 cm 或 2 cm 或 0. 5 cm　 10. (1)解:在 Rt△APD 中,PA= 1 2 AB= 1,AD= 2, ∴ PD= AD2 +AP2 = 5 , ∴ AM=AF=PF-PA=PD-PA= 5 -1, ∴ DM=AD-AM= 2-( 5 -1)= 3- 5 ; (2)证明:∵ AM2 = ( 5 -1) 2 = 6-2 5 , AD·DM= 2(3- 5 )= 6-2 5 ,∴ AM2 =AD·DM. 即 AM AD =DM AM ,∴ 线段 AM,AD,DM,AM 是比例线段. 3. 2　 平行线分线段成比例 1. A　 2. C　 3. 3 2 　 4.解:(1)AE= 15; (2)∵ AB∥CD∥EF,由平行线分线段成比例可得AC CE = BD DF = 1 3 ,∴ BF -DF DF = 1 3 ,∵ BF= 20,∴ DF= 15. 5. B　 6. C　 7. CE AC = 2 3 . 8. D　 9. 1. 2　 10. 1 6 　 11. AD= 10. 12.解:(1) 剩余部分如下: ∵ CE∥DA, ∴ BA EA = BD CD , ∠CAD = ∠ACE, ∠BAD = ∠E. ∵ AD 平 分 ∠BAC, ∴ ∠BAD = ∠CAD,∴ ∠ACE= ∠E,∴ AE=AC,∴ AB AC =BD CD ; (2)∵ AD 是角平分线,∴ AB AC =BD CD . ∵ AB = 5 cm,AC = 4 cm, BC= 7 cm,∴ 5 4 = BD 7-BD ,解得 BD= 35 9 cm. 3. 3　 相似图形 1. D　 2. B　 3. A　 4. 9　 5.解:(1)∵ △ABC∽△DAC, ∴ ∠DAC= ∠B= 36°,∠BAC= ∠D= 117°, ∴ ∠BAD= ∠DAC+∠BAC= 36°+117° = 153°; (2)∵ △ABC∽△DAC,相似比为 3 ∶2,AD= 4 cm, ∴ AB 4 = 3 2 ,∴ AB= 6 cm. 6. B　 7. C　 8.解:(1)102°　 (2) 3 2 　 (3)∵ 四边形 ABCD∽四边形 A′B′C′D′, ∴ AB A′B′ = BC B′C′ = CD C′D′ = AD A′D′ , ∴ BC= 9 6 ×8 = 12,CD= 9 6 ×10 = 15. 9. A　 10. 5　 11. 135°　 12. 2. 1　 13. 3 或 3 2 　 14.解:由题意,得 AD A′D′ = AB A′B′ ,则16 12 = 24 x ,∴ x= 18. ∵ ∠C′= 360°-(63°+129°+78°)= 90°,四边形 ABCD 与四 边形 A′B′C′D′相似,∴ ∠C= ∠C′= 90°,即 α= 90°. 15.解:(1)∵ △ABC∽△ACD,∴ ∠ACD= ∠B, ∵ CD 平分∠ACB,∠ACD= 35°, ∴ ∠ACD= ∠DCB= ∠B= 35°,∴ ∠ADC= 35°+35° = 70°; (2)∵ △ABC∽△ACD,∴ AC AD =AB AC . ∵ AD=3,BD=5,∴ AC 3 = 3+5 AC ,解得 AC=2 6(负值已舍去). 16. 2 +1　 3. 4　 相似三角形的判定与性质 3. 4. 1　相似三角形的判定 第 1 课时　 利用平行线判定三角形相似 1. C　 2. D　 3. 3　 5 8 　 4. 5 2 　 5. 证明略. 6.解:(1)如解图所示,直线 DE 即为所求; (2)∵ △ABC∽△ADE,AD= 2BD, ∴ AD BD = AE CE = 2,∴ CE= 1 2 AE. ∵ AC=AE+CE=AE+ 1 2 AE= 6,∴ AE= 4. 7. B　 8. 2 2 　 9. 4 3 　 10. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 为平行四边形, ∴ AD∥BC,即 AD∥CF,∴ △ADE∽△FCE; (2)解:∵ △ADE∽△FCE,∴ AD CF = DE CE . ∵ DE CE = 1 3 ,∴ AD CF = 1 3 . ∵ 在平行四边形 ABCD 中,AD=BC. ∴ CF= 3AD= 3BC, ∵ BC= 3,∴ CF= 9. 11. (1)证明:∵ CD∥AB,∴ △ABE∽△DCE,∴ AE DE = BE CE ,∴ AE ·CE=DE·BE; (2)解:∵ EF∥AB, ∴ △CEF∽ △CBA, ∴ CF CA = EF BA = 2 5 , ∴ AF CA = 3 5 . ∵ CD∥AB, EF∥AB, ∴ EF∥CD, 同理可得 △AEF∽△ADC,∴ FE CD =AF AC ,∴ 2 CD = 3 5 ,∴ CD= 10 3 . 12.解:设正方形 DEFC 的边长为 x, ∵ 四边形 DEFC 是正方形,∴ DE∥BC, ∴ △ADE∽△ACB,∴ DE CB =AD AC . ∵ AC= 15,BC= 10,DE=DC= x,∴ x 10 = 15-x 15 ,解得 x= 6, ∴ AD= 15-6 = 9. ∵ DG∥CF,∴ △ADG∽△ACF, ∴ DG CF =AD AC ,即DG 6 = 9 15 ,解得 DG= 3. 6, ∴ GE=DE-DG= 6-3. 6 = 2. 4. 第 2 课时　 相似三角形的判定定理 1 1. C　 2. C　 3. ∠ADE= ∠C(答案不唯一)　 4. 2　 5. 20 3 　 6. BC= 1. 5. 7. 证明略. 8.证明:∵ EF⊥AE,∠B= ∠C= 90°, ∴ ∠AEB+∠FEC= ∠FEC+∠EFC= 90°, ∴ ∠AEB= ∠EFC,∴ △AEB∽△EFC, ∴ AB CE =BE CF ,即 AB ∶CE=BE ∶CF. 9. D　 10. 3　 11. 315　 12. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ ∠B= ∠C= ∠D= 90°,∴ ∠BAF+∠AFB= 90°, 由翻折可得∠D= ∠AFE= 90°, ∴ ∠AFB+∠EFC= 90°,∴ ∠BAF= ∠EFC. ∴ △ABF∽△FCE; (2)解:∵ 四边形 ABCD 是矩形,AD= 10,∴ BC= 10, 由翻折可得 AF= 10, 在 Rt△ABF 中,BF= AF2 -AB2 = 6,∴ CF= 10-6 = 4, ∵ △ABF∽△FCE,∴ AB FC =BF CE ,∴ 8 4 = 6 CE ,∴ CE= 3. 13. (1)88　 (2)证明:∵ 在△ABC 中,∠ACB= 180°-(∠A+∠B)= 80°, ∴ △ABC 不是等腰三角形. ∵ CD 平分∠ACB, ∴ ∠ACD= ∠BCD= 1 2 ∠ACB= 40°,∴ ∠ACD= ∠A= 40°, ∴ △ACD 为等腰三角形, ∵ ∠DCB= ∠A= 40°,∠CBD= ∠ABC,∴ △BCD∽△BAC, ∴ CD 为△ABC 的完美分割线. 第 3 课时　 相似三角形的判定定理 2 1. C　 2. C　 【变式】 9 2 　 3. P4 　 4. 证明略. 5. (1)∠BAC= ∠DAE　 (2)解:△AOE∽△DOC, 理由:∵ △ABC∽△ADE,∴ ∠E= ∠C, ∵ ∠AOE= ∠COD(对顶角相等),∴ △AOE∽△DOC. 6.解:∵ CE∥BD,∴ ∠B= ∠AEC, ∵ BE= 3EC,BD= 3EA,∴ BE EC =DB EA = 3, ∴ △BDE∽△EAC. 则∠DEB= ∠C= 40°, ∴ ∠AED= 180°-∠DEB= 140°. 7. B　 8. 4. 8 或64 11 　 9. 90°　 10. 4 5 　 11.证明:∵ ∠BAF= ∠DBC, ∴ ∠BAF+∠ABD= ∠DBC+∠ABD. ∵ ∠ABC= ∠DBC+∠ABD,∠AFD= ∠BAF+∠ABD, ∴ ∠ABC= ∠AFD. ∵ AB AF =BC FD ,∴ △ABC∽△AFD. 12.解:若选①BD CD =B′D′ C′D′ , 证明:∵ △ACD∽△A′C′D′, ∴ ∠ADC= ∠A′D′C′, AD A′D′ = CD C′D′ ,∴ ∠ADB= ∠A′D′B′. ∵ BD CD =B′D′ C′D′ ,∴ BD B′D′ = CD C′D′ ,∴ AD A′D′ = BD B′D′ . 又∵ ∠ADB= ∠A′D′B′,∴ △ABD∽△A′B′D′; 选择②不能证明△ABD∽△A′B′D′; 若选③∠BAD= ∠B′A′D′,证明略. 第 4 课时　 相似三角形的判定定理 3 1. A　 2. C　 3. A　 4. D　 5. 2 ∶1　 A′C′B′　 6.证明:∵ ∠B = 90°,∠ACB = 30°,AC = 2,∴ AB = 1 2 AC = 1, BC= 3 2 AC= 3 . ∵ AD = 4,DC = 2 3 . ∴ AB AC = 1 2 ,BC CD = 3 2 3 = 1 2 ,AC AD = 2 4 = 1 2 ,∴ AB AC =BC CD = AC AD ,∴ △ABC∽△ACD. 7. 证明略. 8. (5,2)或(4,4)　 9. ②　 10. 10　 11.解:设另两条边长为 a cm,b cm,分为三种情况: 当边长为 4 cm 和边长为 2 cm 的边是对应边时,根据相似 三角形的性质得, 4 2 = 5 a = 6 b , 解得 a= 2. 5,b= 3; 当边长为 5 cm 和 2 cm 的边是对应边时,根据相似三角形 的性质得, 4 a = 5 2 = 6 b ,解得 a= 8 5 ,b= 12 5 ; 当边长为 6 cm 和 2 cm 的边是对应边时,根据相似三角形 的性质得, 4 a = 5 b = 6 2 ,解得 a= 4 3 ,b= 5 3 . 即它的另外两条边长是 2. 5 cm,3 cm 或 8 5 cm,12 5 cm 或 4 3 cm, 5 3 cm. 12. (1)解:AD= 5 ; (2)证明:∵ 点 E,F 分别是 AD,AB 的中点,∴ EF = 1 2 BD. 在 Rt△ADC,Rt△ABC 中,CE = 1 2 AD,CF = 1 2 AB. ∴ CE AD = CF AB =EF BD = 1 2 ,∴ △CEF∽△ADB. 13.解:(1)△ABC 和△DEF 相似. 理由如下: 由网格得 AB= 42 +22 = 2 5 ,AC= 5 ,BC= 5, DE= 42 +42 = 4 2 ,DF = 22 +22 = 2 2 ,EF = 22 +62 = 2 10 . ∵ AB DE = AC DF =BC EF = 10 4 ,∴ △ABC∽△DEF; (2)如解图,连接 P2P5 ,P2P4 ,P4P5 ,△ABC∽△P4P5P2 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 参考答案