3.1 比例线段-【众相原创】2025-2026学年九年级全一册数学分层练（湘教版）广西专版

1变式2]朝：令y=2林，测由惊程，得4一2=0 (2少意的值为符合条特骑小整数，30.，=1.六惊方 维朝：(1)道高的宽为6 第2章整合复习与对接中考 整星，每(-6)(+2}=0，解得3,6，为=-2 程为2-2+3-1=0，径孩方程的量是n,34,∴+2= (2)设每个车位的月阳象上深▣元时，停车场的升相金化 一阶关联知识整念练 当=6时，72红=6，(x+3)(=0,解特-33=2 2e4·2e5m-【,解样1，w=3或0宝-2，n年-3， 人为10125元， D二元一次卉程2分月3如=0或-n40 当重-2时.+■一1，耳'+1=0，说方程无买数 与m=-3时原为程为了+6证48=0，解得，=4,5=-2 综上桥进，黄方P时解为工，=一小，玉，2 不海足圆意.位象去.n的物为3 银影题意，a+0-写)5。 23一元二次方程根的判别式 日解：(1题.得3=-2(n+1]-4(+5-16 整月，得2-50+625=0，解补a,=4,=25 0,解得四22： 答：当特个军位的月相金上篷25元时停车场的月相金化 以东程的前为(. (4们惊分式方程走解 LC ZA 3 B 4()方程有两个相等的买数根 (?马爷好路对角性长为6的卸港的相第刺边的 人为0125元 (2)方程有得个不相等的实数根 吉长， 小专题培优5→元二瓷方程的应用 2帽：1)①m*1 3)此方程无实数配. 六++与-24，-2m+)]-2(+-6, I A 22 (2)当me2时.技方程为-45=0， 系C6C70%=-1式容米不雅一 领课.周n+4n-21=0,5解，=3.=-7， 3解：41)y与x的6数关式为，=-0+10 国式分解出 发证用：思已得占=（鲜-4）-4和-1》为1-3)=国一陶+6+ 2ym2,且1+2其n+1020,n=1 《)每干克售肯定为6无时，每天销售该大米的料制可选 水程左边因式分解得(4-5)儿+1)常0， 2m-12“m+4a*4=(n*1,《nt2)°0,4方程0有 4解：(1+ 锅1无 目-5=1友41=0，解限1=5,1-1 两下实数根 4C (2)南一北二次方程粗与系数的关系释名性“工1， 配方法： 10G「变式111,31变式1012-2 5解：(1)该民学的人数为0人： 视方到2-4+4-45=0，p(-2)3=9 1线解：()世美干x售一天二次方程'-4红+m=0有得个岁 4■241.6与}-2，与■41， 数根，11=(-4》-4×n0,解料m可4： 六-2=2+.解周A=3-1 (2线段包数为m+21…12年 4一2士3，解科1+5，，-L解法不性一 (?)若该方程的两个实数根相等，哪身■4 当p3时，3p2-4.9-4500 435我53 (3o号4c《sa2ng 2渠方释为x-4*4=0,期(2)=0，解释，=与=2 当=-1时，d=-4m-50.此时厚左程无实数根： 又当量小数与量大数的乘为适时，酯小数是 二阶广西中考枪先好 14解：1)1据题意得4=-2)-利)>0.解再w>3: =1 1"0 1.C2B3-44B (2,2J,,-30, 2.5一元二次方程的成用 解1I)C(2用 i),=1474--7 n31m1m.332 第1课时平均变化率，骑售利闭问题 (20,1,与=4 3)将边长为的主方形相步长为2的 1.B2% 3),=2,5= 1)D0 正方形.养加两个装为2，宽为年的的 (2)证用：r一元二代方程。入++(，0)方和清方3该感海平台3,4两个月销传潮的川平约增长米为% 方无.排合在一上面肌微是+22，+1 2 4, W”,-b=te..-4o=(ur》2-4=r)20, h 2 x2,即4+4. 系B7B【空式1(1)-2(21-6装c1且m→0 ·一相撞方程“总有实数限： 线解：()该生产氨在九月卧能生产【和套竹置 面由度方程，+4-5i变后得+ (3引解：：一元二次方程4+e=0(年产0)为”响替方 (2)蜂套虫丹价2元 象解：(1由题直1=4+420.k之-1： r+4=9.解丽.八表示边长为(+ (2)由根与不数的关系，得+4=-2心■-4 的正方形面积为9， 6r.:”和情方程”：”++r0(年0》有有个相等 7,解：(11少与x之可的网款表达式为y=-0+0: -4-1 《+2)=9,期线方程的一个正银为，= 的火数限 (2)应将前售单价定为22龙 .4 462 +4w=(at'4r=u-=0.4s 风解(11减网店每自爱银的传骨是30元，对前”沃钳“的 1a0t1.1非1216 2解：(1)斯停项的长为0和发为司： 男像是的元： 1线解：(1的 *2.4一元二次方程根与系数的关系 12)围设新停车场的面积可以为1国m设G=y.则 (2引量每箱“汉相”的售价降其了m元： (2)日镇博址件》与有像（元/作）的网数关系式为 康=.艇据题位得(35+3动)5+y在13， IC 2 A D -2.24070xc991 期钢恩直再(0-n)1-m4经+xo (3)该产品的害价年件中定为用元 41,=了3 期得，5。学（不特合细童，备 (国4宁40.整理群-e+0-,厚(a=0 35+3y35+3505,不行合题意，☆去 第3章图形的相似 201,-3,“= 银不成业。 3.1比例线段 5指65片支*时 (一35)=0，加得4，▣10.m:里5，又分-m加切传国 20=0 群当E3G计，新停车场的的积不镜为100审 3.1,1比例的基本性质 日解：)由意.料A0=,P立，40=1，A=2 本解：根影形特与与2”了 答：好加一纸附”约传竹承其了0元 1028t1A4C名A 第2课时几网同题 24=w2400-=6 6(1a=-6: l-*与4-22- 1.D 12)红=9 2围收圆环竹铁能悔特长度为山阳米 ÷-1+6=0,解m1减m6: 25s1子22 1AG的长为5m互D 0写1写)，5，=6不滑合题宽，刚任1 1303 当=1时.BP的配积为6： 1.B8i象上2 3到，..1a (2)不存在：使△0为等程三角8， 3“3 由题意国得=-(，P=-2,AQ= 0解：(-之，2 上(-21-160}数现，-4-，解得-4-之 y写 W=0+4产=6- 年B1001l.日 爷：考-2：时么0n些积为△世国积子 ?凸0为角已角形.且为等履三角形. 2解：（女关于年的方程-2aw+'-◆=有再个不相等 +0=0(4-=6-}六-4山+5=0. 3.12成比例线段 的实数佩， 73.素26 41=1-4)2-41×5=-20-40,方程无算 1.3 1(-2m)-4[m2-》4n-4n+4n0n>0 象模具长柄的夏为1具 不存在，桂△0为等腰三角 上解：设D=3nm,=2xn,周AB=5多am 参考答密 (为浅段A信的中点 A格CDAD ,A山=5-=k2CF△4G一A4F A'N NC CR A'R 红解：松m"a C-G子国六m-6-m分m n 证用：△4D△4CW -2m,24用6湖-5-动n .GE=DE-G=6-3.6=24 4棒51L52211a3成32 第1保时.相似三角形的判定定理1 心L4wCTm"7名w-Lw aD4C51=500 6A1.(3-1 山超么n侣”哈兰性 1北1cA∠0E-2c3不体-）2a 80D BO CB AD BD 汤Cm"mw"87 装里类.3卫m现2a觉Q5m CC=0-(5+19+消1=0，四注形A边为国 6 nC=L5 又∠AB=∠1'g.△A0△4'春： 边形'B'CBΨ相值.∠C=∠=，厚= T,证引略 这择不能正明么AD一凸A伊： 1幕：在△四中，M7-LA0-2 1反解：(112△AG-△AD.去∠ACD=∠B. 正：：F⊥AE,∠音=∠C-0, 若达不上是0=上4F,正明略 的生AD+下=3. 边平分之A湘，AD厘5" A∠AEB+∠G=∠Er+∠FC.90, 第4课时相國三角形的定定性3 F---1, ∠CD=∠B=∠n-35,∠4DC=3535=0 +L4n=∠C,△…△C: LA2C1A4D发2：IAGm IC AB 六w-0-4=2-(5-10=3-5: (2△A一△A.wa0 AS BE 2C-L. i正：女∠8=，∠4-3r,AC-24出- 《2)明：4W=15-1)3=-23 AC3+5 gD10311.315 4上t.3 b,bw=23-3}=-23,Ar=4D,D 据得4C=2系（直值已含去 12(1》延期：国边形AD是第思， 号0=.04.0=27而25 海w 石A国一伐取，，，W是比倒线反 16万+1 :∠B=2C=∠p=0.5L悬F+∠FB=r 34相似三角形的判定与性质 由那析可得乙：长U影，F, 盖子片授答品aa4@ 3.2平行线分线段成比例 341相似三角形的判定 ,∠AF车LC=0,,上1F=∠ 7整师略. 12心号 第1课时利用平行线定三角形相刷 .△AFn△CE 8《9,21减4.4)g9100 (2)解：”国边E》是矩形，=0，%=0 1.解：设另再条边长为m,An,分为三种情况： 4解：(1)AE=15: 由期旧可周A-0 当边长为4m相边长为2m们边备W成边时，根据们国 (2:AB/CD/EF,由平付线分找爱成比制可罚 在mAAF中，F==b,心F=0-6=4 天赶明精 Alt BF 6 三角形约性质得，宁子会 金超：)过解用所压，直线原博为商末 解得n=25.=3: 12)△4B6一△AE,A=2BD. 13(13 当边长为3和2m的边是对边时，根累相低三角冠 支isG AD AF (1)范明，在△AG中，∠46=知-（∠A+∠门约 云.△A管不是等醒三角无”0平公LAD 426 4C=E+霍=报+号根点A根4 当边长为6m相2重的询是对它边W,根解相位三角影 Dam言 五B发2灯9 六△A动为等额三角形. IL 0-I ∠=2A=,上CD=2A,△△C 12 卫解：)前余品分如下：正a.小着 1)证期：，四边形40方平行国边形 E的另外两条边长是之5m3m成营m号m攻 ∠CD= AABC.pA0CF.△A05n&F元E ∴.D为△AC售定美是料线 第3课时相似三角形的判定定理2 ∠CE.乙n■∠名Ah平登∠是G,∠N0■ 40 2C2E:L=C花 2韩△ADEPCE.+行证“在”子“司 1C2C废号1R t2(1)期：4=5与 于在平动师AD中，能⊥CF3WnC. 。证明略 274D是角平分授，一花m A5 rm.AG=4 cm. (2)是明在E.F分暖显，W的中众一F= ,C=3.六F=从 线(I)∠iC=∠4 (21解：△AE一△00 ca1m吾0指即曾m AE RE 11)旺帮：m9.A△深，六限正 厘由7△AC△4站，∠若=LC. 在a,利么中.：n,: ·CE=5·E: ∠4■C0供对夏角相等).六△4从△ CF EF 1 3.3相似图形 长新：，E0,人∠雀=∠4G, 07△rdm LD2B3449 （21解wE球w,△GF一△0因.小C亏 2 BE B 3想：)△Ac和AF相单程由性下： 反解：(1)△AC-6P4G, AF 3 六石子C级，成A信，F》C,时题可得 T江，玩司， 由树屏得8=V44于=23，C=3,=5, △E△ECm∠DW∠C40' m=V44F=42,W。4里=22F=√年6■ .∠且-=∠4C+∠&=36+117"▣1531 EF,23 (2△A一A4G,相位为3：2，=4n △△试.高而了i:6 ±∠A=”-∠D言=4 1m提二-警acAt 6m 2解：设正方港EFC的长有 1Ba3线号1知n 11 一召边形球G是正方据，六球心G 11证明：Y∠NP=∠WC。 (2)潮图.注接R,PP,△G△严 61G ,∠BF,∠AD=∠+∠A 8解Dg2 ∠AC=∠BG+∠AD.∠AD=∠F+∠AD, 国边影AD一具边果ACW AG=5,G=,==， 参考答常 广西数学(XJ) 第 3 章　图形的相似 3. 1　 比例线段 3. 1. 1　比例的基本性质 一阶 基础巩固对点练 知识点 1　比例及其相关概念 1. 下列各组数中,成比例的是 ( D ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 1,-2,-3,-6 B. 1,4,2,-8 C. 5,6,2,3 D. 2 , 6 ,1, 3 2. 已知 b 是 a 和 c 的比例内项,且 a ∶ b = 3 ∶2,则 b ∶c= 　 3 ∶2　 . 知识点 2　比例的基本性质 3. 若 a 2 = 3 b ,则 ab= ( A ) A. 6 B. 3 2 C. 1 D. 2 3 4. (2024 桂林灌阳县期中)若 a b = 3 2 ,则 a a+b = ( C ) A. 1 3 B. 2 3 C. 3 5 D. 5 3 5. 如果 a ∶b= 4 ∶7,那么下列四个选项中一定正确 的是 ( A ) A. 7a= 4b B. (b-a) ∶a= 3 ∶7 C. 4a= 7b D. b-a= 3 6. (教材 P63 练习 T1 改编) 求下列各式中 x 的值. (1)若-2,3,4,x 成比例,求 x 的值; 解:x=-6; (2)若 3,6,x,18 成比例,求 x 的值; 解:x= 9; (3)已知 1 4 : 1 8 = x: 1 10 ,求 x 的值. 解:x= 1 5 . 二阶 能力提升强化练 7. 已知四个数 a,b,c,d 成比例,且 a = 3,b = 3 , c= 2,那么 d 的值为 ( B ) A. 2 3 B. 2 3 3 C. 3 D. 4 3 8. 已知 x 2 = y 3 = z 4 ≠0,且 x+y+ z = 18,则 z 的值 为　 　 　 　 . 9. 数学文化 《九章算术》中记载,战国时期的铜 衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔,提纽两侧刻有 贯通上、下的十等分线. 用该衡杆称物,可以把 被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线 上,这样,用同一个砝码就可以称出大于它一倍 或几倍重量的物体. 如图为铜衡杆的使用示意 图,此时被称物重量是砝码重量的　 1. 2　 倍. 10. 运算能力 已知 x y = 3 2 ,求下列各式的值: (1) y x+y ; (2)2x -y x+3y . 解:(1)∵ x y = 3 2 ,∴ y x+y = 2 2+3 = 2 5 ; (2)∵ x y = 3 2 ,∴ x= 3y 2 ,2x= 3y, ∴2x -y x+3y = 3y-y 3 2 y+3y = 2y 9 2 y = 4 9 . (解法不唯一) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 44 九上·第 3 章 3. 1. 2　成比例线段 一阶 基础巩固对点练 知识点 1　线段的比 1. 已知线段 AB= 6 cm,CD= 2 cm,则AB CD = 　 3　 . 2. 如图,C 为线段 AB 的中点,点 D 分线段 AB 两 部分 AD 和 DB 的比为 3 ∶2,若 CD = 2 cm,求线 段 AB 的长. 解:设 AD= 3x cm,BD= 2x cm,则 AB= 5x cm, ∵C 为线段 AB 的中点, ∴AC=BC= 5 2 x cm,∴CD=BC-BD= 1 2 x cm. ∵CD= 2 cm,∴ 1 2 x= 2,∴ x= 4 cm, ∴AB= 5x= 20 cm. 知识点 2　比例线段 3. 如果 a= 2,b= 9,c= 6,d= 3,那么 ( D ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. a,b,c,d 成比例 B. a,c,b,d 成比例 C. a,d,b,c 成比例 D. a,c,d,b 成比例 4. (2024 贵港桂平市期末)已知四条线段的长如 下,则是成比例线段的是 ( C ) A. 1,1,2,3 B. 1,2,3,4 C. 1,2,2,4 D. 2,3,4,5 5. (教材 P66 练习 T2 改编)相距 125 千米的两地 在地图上的距离为 25 厘米,则该地图的比例 尺为　 1 ∶500 000　 . 知识点 3　黄金分割 6. 我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出 重要贡献. 优选法中有一种 0. 618 法应用了 ( A ) A. 黄金分割比 B. 平均数 C. 众数 D. 中位数 7. (2024 山西)黄金分割是汉字 结构最基本的规律. 借助如图 的正方形习字格书写的汉字 “晋”端庄稳重、舒展美观. 已 知一条分割线的端点 A,B 分别在习字格的边 MN,PQ 上,且 AB∥NP,“晋”字的笔画“丶”的 位置在 AB 的黄金分割点 C 处,且BC AB = 5 -1 2 , 若 NP= 2 cm,则 BC 的长为　 ( 5 -1) 　 cm(结 果保留根号) . 二阶 能力提升强化练 8. 小红的爸爸是汽车制造厂的工程师. 他要将一 个长 4 毫米、宽 2 毫米的零件画在一张 A3 纸 (42 cm×29. 7 cm)上,适合的比例尺是 ( B ) A. 1 ∶80 B. 80 ∶1 C. 1 ∶800 D. 800 ∶1 9. 易错 已知有三条长度分别为 1 cm,4 cm, 8 cm 的线段,请再添一条线段,使这四条线段 成比例,则所添线段的长度为　 32 cm 或 2 cm 或 0. 5 cm　 . 10. 如图,以长为 2 的线段 AB 为边作正方形 AB- CD,取 AB 的中点 P,连接 PD,在 BA 的延长线 上取点 F, 使 PF = PD, 以 AF 为边作正方 形 AMEF,点 M 在 AD 上. (1)求 AM,DM 的长; (2)求证:线段 AM,AD,DM,AM 是比例线段. (1)解:在 Rt△APD 中, PA= 1 2 AB= 1,AD= 2, ∴PD= AD2+AP2 = 5, ∴AM = AF = PF -PA = PD-PA = 5 -1, ∴DM=AD-AM= 2-( 5 -1)= 3- 5; (2)证明:∵AM2 =( 5 -1) 2 = 6-2 5, AD·DM= 2(3- 5)= 6-2 5, ∴AM2 =AD·DM. 即 AM AD =DM AM , ∴线段 AM,AD,DM,AM是比例线段. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 54