2.5 第2课时 几何问题-【众相原创】2025-2026学年九年级全一册数学分层练（湘教版）广西专版

广西数学(XJ) 第 2 课时　 几何问题 一阶 基础巩固对点练 知识点 1　常见几何图形问题 1. 数学文化 《九章算术》是我国古代最重要的 数学著作之一,在《勾股》章中记载了一道“折 竹抵地”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去本 三尺,问折者高几何?” 翻译成数学问题:在 △ABC 中, ∠ACB = 90°,AB +AC = 10,BC = 3, 求 AC 的长. 若设 AC= x,则可列方程为 ( D ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. x2 +(10-x) 2 = 32 B. x2 +32 = (10+x) 2 C. (10-x) 2 +32 = x2 D. x2 +32 = (10-x) 2 2. 如图,圆环(图中阴影部分)的内外圈用铁丝围 成,其中大圆半径比小圆半径的 2 倍多 1 米, 如果圆环的面积等于 40π 平方米,求围成圆环 的铁丝的总长度. 解:设小圆的半径为 r 米,则大圆的半径为(2r+1) 米,由题图可得,S圆环 =S大圆-S小圆, 即 π(2r+1) 2-π r2 = 40π, 解得 r1 =- 13 3 (舍),r2 = 3, ∴2r+1= 2×3+1= 7(米), ∴2π×3+2π×7= 20π(米), 答:围成圆环的铁丝的总长度为 20π米. 知识点 2　边框及面积问题 3. 如图,在长为 100 m,宽为 50 m 的矩形空地上 修筑四条宽度相等的小路,若余下的部分全部 种上花卉,且花圃的面积是 3 600 m2,则小路 的宽是 ( A ) A. 5 m B. 70 m C. 5 m 或 70 m D. 10 m 4. (2024 通辽改编) 如图,小程的爸爸用一段 10 m 长的铁丝网围成一个一边靠墙 ( 墙长 5. 5 m)的矩形鸭舍,其面积为 15 m2,在鸭舍侧 面中间位置留一个 1 m 宽的门(由其他材料制 成),求 BC 的长. 解:设 BC 的长为 x m,则 AB 的长为 1 2 (10+1-x)m, 根据题意得 1 2 (10+1-x)x= 15, 解得 x= 5 或 x= 6(舍去), 答:BC 的长为 5 m. 知识点 3　容积问题 5. 将一块正方形铁皮的四个角各剪去一个边长 为 3 cm 的小正方形,做成一个无盖的盒子,已 知盒子的容积为 300 cm3,则原铁皮的边长为 ( D ) A. 10 cm B. 13 cm C. 14 cm D. 16 cm 知识点 4　动点问题 6. (2024 南宁江南区月考) 如图,在△ABC 中, ∠C= 90°,AC= 8 cm,BC= 4 cm,一动点 P 从点 C 出发沿着 CB 方向以 1 cm / s 的速度运动,另 一动 点 Q 从 点 A 出 发 沿 着 AC 方 向 以 2 cm / s 的速度运动,P,Q 两点同时出发,运动 时间为t(s) . 若△PCQ 的面积是△ABC 面积的 1 4 ,求t 的值. 解:∵S△PCQ = 1 2 t(8-2t), S△ABC = 1 2 ×4×8= 16, ∴ 1 2 t(8-2t)= 16× 1 4 , 整理,得 t2-4t+4= 0, 解得 t1 = t2 = 2. 答:当 t= 2 s 时△PCQ 的面积为△ABC 面积的 1 4 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 63 九上·第 2 章 二阶 能力提升强化练 7. 空间观念 如图 1,有一张长为 32 cm,宽为 16 cm 的长方形硬纸片,裁去角上的 2 个小正 方形和 2 个小长方形(图中阴影部分)之后,恰 好折成如图 2 所示的有盖纸盒. 若纸盒的底面 积是 130 cm2,则纸盒的高为　 　 　 　 cm. 图 1 　 　 图 2 8. 如图,用一根铁丝分成两段分别围成两个正六 边形,已知它们的边长比是 1 ∶2,其中小正六边 形的边长为( x2 - 4) cm,大正六边形的边长为 (x2 + 2x) cm(其中 x> 0) . 则这根铁丝的总长 为　 216　 cm. 9. (教材 P57 复习题 T11 改编)现有一块矩形钢 板 ABCD,长 AD= 10 m,宽 AB= 5 m,采用如图 1 的方式在这块钢板上截掉三个正方形得到如 图 2 所示的模具,模具横纵方向的长柄等宽 (即 BE=DF) . 若截掉的最小的正方形边长比 中间正方形边长少 1 m,且模具的面积与截掉 的正方形面积之比为 21 ∶29,求模具长柄的宽. 图 1 　 图 2 解:设 BE=DF=x m. ∴DF+FC=BE+MC= 5 m. ∵截掉的最小的正方形边长比中间的正方形边长 少 1 m,∴EN= 2 m,MN= 3 m. 根据题意,得(5-x) 2+32+22 = 29 50 ×10×5, 解得 x1 = 1,x2 = 9(不符合题意,舍去) . 答:模具长柄的宽为 1 m. 三阶 素养创新综合练 10. 应用意识 社区利用一块矩形空地 ABCD 建 了一个小型停车场, 其布局如图所示. 已 知 AD= 52 m,AB= 28 m,阴影部分设计为停车 位,要铺花砖,其余部分均为宽度为 x m 的道 路. 已知铺花砖的面积为 640 m2 . (1)求道路的宽是多少米? (2)该停车场共有车位 50 个,据调查分析,当 每个车位的月租金为 200 元时,可全部租出; 若每个车位的月租金每上涨 5 元,就会少租 出 1 个车位. 当每个车位的月租金上涨多少 元时,停车场的月租金收入为 10 125 元? 解:(1)根据道路的宽为 x m,则(52-2x) (28- 2x)= 640, 整理,得 x2-40x+204=0,解得 x1 =34(舍去),x2 =6, 答:道路的宽为 6 m; (2)设每个车位的月租金上涨 a 元时,停车场的 月租金收入为 10 125 元, 根据题意,得(200+a)(50- a 5 )= 10 125, 整理,得 a2-50a+625= 0,解得 a1 =a2 = 25, 答:当每个车位的月租金上涨 25 元时,停车场的 月租金收入为 10 125 元. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 73 【变式2]相：今y=+标，测由厚方夏.博24-2=0 (计“4的便为符合角件的颜小梦数，4>山，单1，原方0.解：(1)流亮的夏为6m 第2章整合复习与对接中考 整理，裤(-6)(+2)0，辉得，“6.万“-2 程为x-2w+2-1a0.1量该万程的最基日，2山，+2 (》段每个车位的月组鱼上年。无时，得车标们月相金货 当y=6B时，x4红=6，即(E43)[2}0.解得1=-3，-2 4·24■n-【,所得a■2，n年5减■-2.时■-J A为10125元 ①二尤一次方程2分每 5e=0成6=030 当一2时，+#■-1，即'+2=0.恢方程无实数根 当-3时.原方程月了+6t+8=0,期得1-4,1■-2 缘上斯述，值方程的解为，”名=2 不满足想意，敏省去m的值为玉 餐裹E整.博四n(0号025， 114:(213 23一元二次方程根的判别式 1店解：(1}由C维.W△=[-2(m+1)P-4(+5}=8-16 整理.得02-50t625=0,解4，=a,=25 0,解得图2： 答：当每个车位的月根金上素25元时，停车场封月指金牧 (眼为华组的饰水 (4)果分式为程无解 LG2A玉B 4「1)方程有两个相尊的买数根 (山？1：3给好暑对角慢长为6的缸形的相影丙边的 入为10125元 ()方型有两个不相等的实数想 立长， 小专题培优5一元二次方程的应周 2解：(1)①a-1 (3)丝方督天实载用. ,+=(s,41》-2,=「2+1)1-2+51m, 1A12 《21当#=2时.1该方星为2-4一5￥0 车G6C1084-2容案不用一) 重，得5+4n-21=0占角，=3，- 8解：(1}y与年的面数美系式为y=-+1200: 园式分解法 来证用：数巴度得A=(-)-4南-1)×(-3》到-e+16+ 又2m1,且，■2(n+1)20n=3 (力每千克售定为。元时.辱天精售该大未的利饼可达 方程左边园式分解得-9)+11■0， 1》n-2=n2+4m4=《n*2.女(nt2}>0,方隆有 解(， PE 到100无 ☐.-5=0减x+1=0,解得，，为1■-1 两个实数根 配方法： 10G1爱式1G11,31夏式1011-2 (由一元二次方程制与系数的关系得名“？工山一1， 5解(1引恢电同学的人数为0人： 配为得F-4r+4-4-5=0,-21=9 3解()日天T:约一元二次方程2-4x+n■0有考个实 +2+1+-2,与=1 数根.1.（一4-41×0.韩得件所与 -1=2+1.饰得=3三-1 (四线胆#数为子(2(a月表 …广2=士3，解调，-5，马-1.（解法不唯-》 (?)若该方程的两个实数根想等，则斜■4 当p=3时，d=5-4=◆-453 35或5日 (制0号(4c5229像号 放眼方登为4+4=0，(2)3-0，解海玉-2 5三-1封，d-4三-30，龙时原左程无实较银： 7当量小数与最大置的束积为5时，是小数基5 二赖广西中零怡先好 4解：(1)根摇君意得3■(-1利4-w》>0.解厚n>3: =3 8A9-4+12-0 1C2B3.-44B (21,DJ,m30, 2.5一元二次方程的成月 41=247,=27 01.32 1n.解(1)G2) 第1时军均变化宰、傍售：间题 《2)-2,=4 32n+1r3 (5)保边故为：的正方形和立最为2的 304=2,3=- 8(108 1.B223 正方形，外加两个长为2.宽为：的的 (2)任明：一元二次方程？4=0(a0)为和缩方3流纯衡子台3,4两个月销售颜的月平与增长率为10%， 方形，拼合在一起面积就是A+2+1 44,厘上， 2 2 里b=44=44)4-(a-)0, AA 2.即x+4n+4。 一相方程“县有实数根： 5明：(11该生户匠在九月卧霜生产1440离竹摆摆， 4第3，B【竞式1(1》-22)-6象m<1且*0 面由原方程A+4一5=0王形得+ (3)解：一元二武方程a:+心=0(a0》为”南道方 (2山部应保传2元 4+4=9.如铜团，其表尽边长为(x+2引 黄解：1)由题意得4■4+从>0-1： 《2)由厘与第数的关系，评+6第一1，的■-4 的正方形图积为9， 6+,”和楼方程“”++：=0(a01有两个相等 1,解：(1y与s老间的函数表达式为y=-0+0 41(4+1)at1).1-k1 ,(+2■，则演方程的一个正想为4=1， 的实数根， (21应将铺售单价宽为2元 “1e…44w+4-201 11移 6-4￥=a+ej'-+r=《e-o=l,4= 《解：()该网店得受妮的售价是弟元，军菌低柑”的 1e11D216 12解：1)新停车场的长为4相#.宽为0： 1解：(1)95 *2.4一元二次方程根与系数的关系 雪像是50尾1 《最设新序车标的国相可以为1《0，设=ym.则 (21设饰带沃甘的物价降：了n元 (2)日销管量式件与衡价（元/件）的函数关系式为x= K=与.厘摆题意博5+与)(15+柱量1时 LC Z A X D -2+24070es<990 根保超靠，利到-n(1-1国4学+0你 (3)该产品龄价每件这宽本9阳无 41方6"司 新海-5警（不将台据靠备去 〔04受-400整理博a2-4+物-0，耳-o》 ,35+3y■35+3m55038,不符合5意.★去 第3章图形的相似 2m,+=-3531=-1 (e-35)90,解得n,■10,41■35.又：0-传京30,5m≤ .假设不或这. 3.1比例线段 5B63又分该武中 20.n=10 即当E=3G时，新将车场约面积不需为用m, 3.L.1比例的基本性质 意解：机稻酸得与-2“了子 著：每箱沃的警阶海低了旧元 13解(1)由聪，得AQ1,BP=2,.0H,P=6- 1D2323A4C94 第2课别几网问遥 ”L40i26-a1m0 4《1)a=-6E u+a(-2-2-7 1.D (2)x￥9： 上围收因环的恢￥的华长度为20加束 -1力+60.解再1m1攻m4: 2551子21 飞A4C的长为5m5D ,0≤1≤31m不行合题重，则1， 433 51时，△0的离积为64口： 1Bk8生1.1 6期5m7820.5一“宁48r6, (》不存在：使△0为等腰三角无 子-216x子理将-40.得，吗-2 由面意可再0=+-4，AP■6-2,0=4 地架：品号 V=40+P=+6-3 失B10011.B ”A川闭纯角三角形，且为等限三角形、 柱解：)：美于。的方程-2u+-。=0有两个不相得 香，当=2：时6OV的武现为△城面现的 ,0=V.(+4=+6-241,六=4+5-0 31.2成比例线段 约实数相， 1,3821 =(-41-4x1×5=10-0=-4c0,“方程无解 13 d=(-}-42-n4n2-4n+4n0.n0: 象侧具长柄的夏为1红 不养在，使△0为等硬三角形 1解：24=3n.0=2:m,则An=5m 参考答案