2.4 一元二次方程根与系数的关系-【众相原创】2025-2026学年九年级全一册数学分层练（湘教版）广西专版

广西数学(XJ) ※ 2. 4　 一元二次方程根与系数的关系 一阶 基础巩固对点练 知识点 1　一元二次方程根与系数的关系 1. 已知 x1,x2 是方程 x2 - 9x+ 11 = 0 的两个实数 根,则代数式 x1x2 的值是 ( C ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 9 B. -9 C. 11 D. -11 2. 若 x1,x2 是方程 x2 -6x-7 = 0 的两个根,则 ( A ) A. x1 +x2 = 6 B. x1 +x2 = -6 C. x1x2 = 7 6 D. x1x2 = 7 3. 如果关于 x 的一元二次方程 x2 +px+q = 0 的两 根分别为 x1 = 3,x2 = 1,那么这个一元二次方程 是 ( D ) A. x2 +3x+4 = 0 B. x2 +4x-3 = 0 C. x2 +3x-4 = 0 D. x2 -4x+3 = 0 4. (教材 P47 例 1 改编)利用根与系数的关系,求 下列方程的两根之和、两根之积: (1)x(3x-1) -1 = 0; 解:3x2-x-1= 0, x1+x2 = 1 3 , x1x2 =- 1 3 . (2)(2x+5)(x+1)= x+7. 解:2x2+6x-2= 0, x1+x2 =-3, x1x2 =-1. 知识点 2　一元二次方程根与系数的关系的 运用 5. 若 x1,x2 是一元二次方程 x2 -2x-3 = 0 的两个 根,则 x1 +x2 +x1x2 的值是 ( B ) A. -7 B. -1 C. 1 D. 7 6. 已知关于 x 的方程 x2 +mx - 20 = 0 的一个根 是-4,则它的另一个根是　 　 　 　 . 7. (2024 眉山)已知方程 x2 +x-2 = 0 的两根分别 为 x1,x2,则 1 x1 + 1 x2 的值为　 　 　 　 . 【变式】若关于 x 的方程 x2 -2(m+1) x+m+4= 0 两根的倒数和为 1,则m的值为　 　 　 　 . 8. 设 x1,x2 是方程 2x2 +4x-3 = 0 的两个根,利用 根与系数的关系,求下列各式的值: (1)x21 +x22; (2)(x1 +1)(x2 +1); (3) x2 x1 + x1 x2 . 解:根据题意得 x1+x2 =-2,x1x2 =- 3 2 . (1)x21+x22 =(x1+x2) 2-2x1x2 =(-2) 2-2×(- 3 2 )= 7; (2)(x1+1) ( x2 +1) = x1x2 +x1 +x2 +1 = - 3 2 -2+1 =- 5 2 ; (3) x2 x1 + x1 x2 = x21+x22 x1x2 = 7 - 3 2 =-14 3 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 23 九上·第 2 章 二阶 能力提升强化练 9. 若关于 x 的一元二次方程 x2 +2x+1-2m = 0 的 两个实数根之积为负数,则实数 m 的取值范围 是 ( B ) A. m>0 B. m> 1 2 C. m< 1 2 D. m<0 10. 整体思想 已知 α,β 是方程 x2 +2 022x+1 = 0 的两个根,则(1+2 025α+α2 ) (1+2 025β+β2 ) 的值为 ( C ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 11. 小明和小华解同一个一元二次方程时,小明 看错一次项系数,解得两根为 2,- 3,而小华 看错常数项,错解两根为-2,5,那么原方程为 ( B ) A. x2 -3x+6 = 0 B. x2 -3x-6 = 0 C. x2 +3x-6 = 0 D. x2 +3x+6 = 0 12. 已知关于 x 的方程 x2 -2mx+m2 -n = 0 有两个 不相等的实数根. (1)求 n 的取值范围; (2)若 n 的值为符合条件的最小整数,且该方 程的较大根是较小根的 2 倍,求 m 的值. 解:(1)∵关于 x 的方程 x2-2mx+m2-n = 0 有两 个不相等的实数根, ∴Δ=(-2m) 2-4(m2-n)= 4m2-4m2+4n>0, ∴n>0; (2)∵n 的值为符合条件的最小整数,n>0, ∴n= 1, ∴原方程为 x2-2mx+m2-1= 0, 设该方程的根是 a,2a, ∴ a+2a= 2m,a·2a=m2-1, 解得 a= 2,m= 3 或 a=-2,m=-3, 当 m=-3 时,原方程为 x2+6x+8= 0, 解得 x1 =-4,x2 =-2,不满足题意,故舍去. ∴m 的值为 3. 13. (2024 桂林七星区月考)若关于 x 的一元二次 方程 x2 -2(m+ 1) x+m2 + 5 = 0 有两个实数根 x1,x2 . (1)求 m 的取值范围; (2)若 x1,x2 恰好是对角线长为 6 的矩形的相 邻两边的边长,求 m 的值. 解:(1)由题意,得 Δ=[-2(m+1)] 2-4(m2+5)= 8m-16≥0, 解得 m≥2; (2)∵ x1,x2 恰好是对角线长为 6 的矩形的相邻 两边的边长, ∴ x21 + x22 = (x1+x2) 2 - 2 x1 x2 = [2(m+1)] 2 - 2(m2+5)= 62, 整理,得 m2+4m-21= 0,∴m1 = 3,m2 =-7, 又∵m≥2,且 x1+x2 = 2(m+1)>0, ∴m= 3. 三阶 素养创新综合练 14. 推理能力 (2024 内江改编)已知关于 x 的 一元二次方程 x2 -px+1 = 0(p 为常数)有两个 不相等的实数根 x1 和 x2 . (1)求 x1 + 1 x1 的值; (2)已知 x21 +x22 = 2p+1,求 p 的值. 解:(1)∵关于 x 的一元二次方程 x2-px+1 = 0(p 为常数)有两个不相等的实数根 x1 和 x2, ∴ x21-px1+1= 0, ∴ x1-p+ 1 x1 = 0,即 x1+ 1 x1 =p; (2)由一元二次方程根与系数的关系得 x1 +x2 = p,x1x2 = 1, ∵ x21+x22 = 2p+1, ∴ (x1+x2) 2-2x1x2 = 2p+1, ∴ p2-2= 2p+1, 解得 p1 = 3,p2 =-1, 当 p= 3 时,Δ=p2-4= 9-4= 5>0; 当 p = -1 时,Δ = p2 -4 = -3<0,此时原方程无实 数根; ∴ p= 3. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 33 【变式2]相：今y=+标，测由厚方夏.博24-2=0 (计“4的便为符合角件的颜小梦数，4>山，单1，原方0.解：(1)流亮的夏为6m 第2章整合复习与对接中考 整理，裤(-6)(+2)0，辉得，“6.万“-2 程为x-2w+2-1a0.1量该万程的最基日，2山，+2 (》段每个车位的月组鱼上年。无时，得车标们月相金货 当y=6B时，x4红=6，即(E43)[2}0.解得1=-3，-2 4·24■n-【,所得a■2，n年5减■-2.时■-J A为10125元 ①二尤一次方程2分每 5e=0成6=030 当一2时，+#■-1，即'+2=0.恢方程无实数根 当-3时.原方程月了+6t+8=0,期得1-4,1■-2 缘上斯述，值方程的解为，”名=2 不满足想意，敏省去m的值为玉 餐裹E整.博四n(0号025， 114:(213 23一元二次方程根的判别式 1店解：(1}由C维.W△=[-2(m+1)P-4(+5}=8-16 整理.得02-50t625=0,解4，=a,=25 0,解得图2： 答：当每个车位的月根金上素25元时，停车场封月指金牧 (眼为华组的饰水 (4)果分式为程无解 LG2A玉B 4「1)方程有两个相尊的买数根 (山？1：3给好暑对角慢长为6的缸形的相影丙边的 入为10125元 ()方型有两个不相等的实数想 立长， 小专题培优5一元二次方程的应周 2解：(1)①a-1 (3)丝方督天实载用. ,+=(s,41》-2,=「2+1)1-2+51m, 1A12 《21当#=2时.1该方星为2-4一5￥0 车G6C1084-2容案不用一) 重，得5+4n-21=0占角，=3，- 8解：(1}y与年的面数美系式为y=-+1200: 园式分解法 来证用：数巴度得A=(-)-4南-1)×(-3》到-e+16+ 又2m1,且，■2(n+1)20n=3 (力每千克售定为。元时.辱天精售该大未的利饼可达 方程左边园式分解得-9)+11■0， 1》n-2=n2+4m4=《n*2.女(nt2}>0,方隆有 解(， PE 到100无 ☐.-5=0减x+1=0,解得，，为1■-1 两个实数根 配方法： 10G1爱式1G11,31夏式1011-2 (由一元二次方程制与系数的关系得名“？工山一1， 5解(1引恢电同学的人数为0人： 配为得F-4r+4-4-5=0,-21=9 3解()日天T:约一元二次方程2-4x+n■0有考个实 +2+1+-2,与=1 数根.1.（一4-41×0.韩得件所与 -1=2+1.饰得=3三-1 (四线胆#数为子(2(a月表 …广2=士3，解调，-5，马-1.（解法不唯-》 (?)若该方程的两个实数根想等，则斜■4 当p=3时，d=5-4=◆-453 35或5日 (制0号(4c5229像号 放眼方登为4+4=0，(2)3-0，解海玉-2 5三-1封，d-4三-30，龙时原左程无实较银： 7当量小数与最大置的束积为5时，是小数基5 二赖广西中零怡先好 4解：(1)根摇君意得3■(-1利4-w》>0.解厚n>3: =3 8A9-4+12-0 1C2B3.-44B (21,DJ,m30, 2.5一元二次方程的成月 41=247,=27 01.32 1n.解(1)G2) 第1时军均变化宰、傍售：间题 《2)-2,=4 32n+1r3 (5)保边故为：的正方形和立最为2的 304=2,3=- 8(108 1.B223 正方形，外加两个长为2.宽为：的的 (2)任明：一元二次方程？4=0(a0)为和缩方3流纯衡子台3,4两个月销售颜的月平与增长率为10%， 方形，拼合在一起面积就是A+2+1 44,厘上， 2 2 里b=44=44)4-(a-)0, AA 2.即x+4n+4。 一相方程“县有实数根： 5明：(11该生户匠在九月卧霜生产1440离竹摆摆， 4第3，B【竞式1(1》-22)-6象m<1且*0 面由原方程A+4一5=0王形得+ (3)解：一元二武方程a:+心=0(a0》为”南道方 (2山部应保传2元 4+4=9.如铜团，其表尽边长为(x+2引 黄解：1)由题意得4■4+从>0-1： 《2)由厘与第数的关系，评+6第一1，的■-4 的正方形图积为9， 6+,”和楼方程“”++：=0(a01有两个相等 1,解：(1y与s老间的函数表达式为y=-0+0 41(4+1)at1).1-k1 ,(+2■，则演方程的一个正想为4=1， 的实数根， (21应将铺售单价宽为2元 “1e…44w+4-201 11移 6-4￥=a+ej'-+r=《e-o=l,4= 《解：()该网店得受妮的售价是弟元，军菌低柑”的 1e11D216 12解：1)新停车场的长为4相#.宽为0： 1解：(1)95 *2.4一元二次方程根与系数的关系 雪像是50尾1 《最设新序车标的国相可以为1《0，设=ym.则 (21设饰带沃甘的物价降：了n元 (2)日销管量式件与衡价（元/件）的函数关系式为x= K=与.厘摆题意博5+与)(15+柱量1时 LC Z A X D -2+24070es<990 根保超靠，利到-n(1-1国4学+0你 (3)该产品龄价每件这宽本9阳无 41方6"司 新海-5警（不将台据靠备去 〔04受-400整理博a2-4+物-0，耳-o》 ,35+3y■35+3m55038,不符合5意.★去 第3章图形的相似 2m,+=-3531=-1 (e-35)90,解得n,■10,41■35.又：0-传京30,5m≤ .假设不或这. 3.1比例线段 5B63又分该武中 20.n=10 即当E=3G时，新将车场约面积不需为用m, 3.L.1比例的基本性质 意解：机稻酸得与-2“了子 著：每箱沃的警阶海低了旧元 13解(1)由聪，得AQ1,BP=2,.0H,P=6- 1D2323A4C94 第2课别几网问遥 ”L40i26-a1m0 4《1)a=-6E u+a(-2-2-7 1.D (2)x￥9： 上围收因环的恢￥的华长度为20加束 -1力+60.解再1m1攻m4: 2551子21 飞A4C的长为5m5D ,0≤1≤31m不行合题重，则1， 433 51时，△0的离积为64口： 1Bk8生1.1 6期5m7820.5一“宁48r6, (》不存在：使△0为等腰三角无 子-216x子理将-40.得，吗-2 由面意可再0=+-4，AP■6-2,0=4 地架：品号 V=40+P=+6-3 失B10011.B ”A川闭纯角三角形，且为等限三角形、 柱解：)：美于。的方程-2u+-。=0有两个不相得 香，当=2：时6OV的武现为△城面现的 ,0=V.(+4=+6-241,六=4+5-0 31.2成比例线段 约实数相， 1,3821 =(-41-4x1×5=10-0=-4c0,“方程无解 13 d=(-}-42-n4n2-4n+4n0.n0: 象侧具长柄的夏为1红 不养在，使△0为等硬三角形 1解：24=3n.0=2:m,则An=5m 参考答案