2.3 一元二次方程根的判别式-【众相原创】2025-2026学年九年级全一册数学分层练（湘教版）广西专版

广西数学(XJ) 2. 3　 一元二次方程根的判别式 一阶 基础巩固对点练 知识点 1　利用根的判别式判断根的情况 1. 一元二次方程 x2 -5x+2 = 0 的根的判别式的值 是 ( C ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 33 B. 23 C. 17 D. 17 2. 关于 x 的一元二次方程 x2 +mx-8 = 0 的根的情 况是 ( A ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 3. (2024 吉林)下列方程中,有两个相等的实数 根的是 ( B ) A. (x-2) 2 = -1 B. (x-2) 2 = 0 C. (x-2) 2 = 1 D. (x-2) 2 = 2 4. (教材 P45 习题 T2 改编)不解方程,利用根的 判别式判断下列方程的根的情况: (1)4x2 -4 5 x+5 = 0; 解:方 程 4x2 - 4 5 x + 5 = 0 的 判 别 式 Δ = (-4 5) 2-4×4×5= 0, ∴方程有两个相等的实数根. (2)9x2 = 4(3x+1); 解:方程 9x2 = 4(3x+1)可化为 9x2-12x-4= 0, ∵方程 9x2-12x-4= 0 的判别式 Δ=(-12) 2-4×9× (-4)= 288>0, ∴方程有两个不相等的实数根. (3)x2 -(2- 3 )x-1+ 3 = 0. 解:方程 x2 -(2- 3 ) x- 1 + 3 = 0 的判别式 Δ = [-(2- 3)]2-4×1×(-1+ 3)= -8 3+11<0, ∴此方程无实数根. 知识点 2　利用根的判别式确定未知系数的值 或取值范围 5. 若关于 x 的一元二次方程 ax2 +bx+c= 0 有两个 实数根,则根的判别式的值应是 ( C ) A. 正数 B. 负数 C. 非负数 D. 零 6. (2023 北京) 若关于 x 的一元二次方程 x2 - 3x+m= 0 有两个相等的实数根,则实数 m 的值 为 ( C ) A. -9 B. - 9 4 C. 9 4 D. 9 7. 若关于 x 的一元二次方程 x2 -2x+k = 0 有两个 不相等的实数根,则 k 的取值范围在数轴上可 以表示为 ( D ) 8. 开放性试题 (2024 南通改编)已知关于 x 的 一元二次方程 x2 -2x+k= 0 有两个不相等的实数 根.请写出一个满足题意的 k 的值:　 　 　 　 . 9. (2024 贵港桂平市月考)已知关于 x 的一元二 次方程(m- 1) x2 + (m- 4) x- 3 = 0(m 为实数 且 m≠1) . 求证:此方程总有两个实数根. 证明:依题意得 Δ=(m-4) 2-4(m-1)×(-3) =m2-8m+16+12m-12 =m2+4m+4 =(m+2) 2 . ∵ (m+2) 2≥0, ∴方程总有两个实数根. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 03 九上·第 2 章 二阶 能力提升强化练 10. 学科内融合 已知函数 y = kx+b 的图象如图 所示,则关于 x 的一元二次方程 x2 +bx+k-1 = 0 的根的情况是 ( C ) A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【变式】 一次函数 y = 2x - 1 与反比例函数 y= - 1 x 的图象的交点情况为 ( C ) A. 只有一个交点 B. 有两个交点 C. 没有交点 D. 不能确定 11. 易错 关于 x 的一元二次方程( 2 - a) x2 - 2x+1 = 0 有两个不相等的实数根,则正整数 a 的最小值是　 　 　 　 . 【变式】关于 x 的方程(1-a)x2 -2x+1 = 0 有实 数根,则整数 a 的最小值是　 　 　 　 . 12. 关于 x 的一元二次方程 x2 +bx+c= 0 有两个相 等的实数根,则 b2 -2(1+2c)的值为　 -2　 . 13. 已知关于 x 的一元二次方程 x2 -4x+m = 0 有 两个实数根. (1)求 m 的取值范围; (2)若该方程的两个实数根相等,请直接写 出 m 的值,并解这个方程. 解:(1)∵关于 x 的一元二次方程 x2-4x+m= 0 有 两个实数根, ∴Δ=(-4) 2-4×1×m≥0, 解得 m≤4; (2)若该方程的两个实数根相等,则 m= 4, 故原方程为 x2-4x+4= 0, 即(x-2) 2 = 0, 解得 x1 =x2 = 2. 14. (2024 广州)关于 x 的方程 x2 -2x+4-m= 0 有 两个不相等的实数根. (1)求 m 的取值范围; (2)化简: 1 -m2 |m-3 | ÷m-1 2 ·m -3 m+1 . 解:(1)根据题意得 Δ=(-2) 2-4(4-m)>0, 解得 m>3; (2)∵m>3, ∴m-3>0, ∴ 1 -m2 |m-3 | ÷m-1 2 ·m -3 m+1 =(1+m)(1-m) m-3 · 2 m-1 ·m -3 m+1 =-2. 三阶 素养创新综合练 15. 新定义问题 定义:若一元二次方程 ax2 + bx+c = 0(a≠0)满足 b = a+c,则称该方程为 “和谐方程” . (1)下列属于“和谐方程”的是 　 ①③ 　 (填 序号); ①x2 +2x+1 = 0; ②x2 -2x+1 = 0; ③x2 +x= 0. (2)求证:“和谐方程”总有实数根; (3)若“和谐方程”有两个相等的实数根,求 a,c 的数量关系. (2)证明:∵一元二次方程 ax2 +bx+c = 0(a≠0) 为“和谐方程”, ∴ b=a+c, ∴ b2-4ac=(a+c) 2-4ac=(a-c) 2≥0, ∴ “和谐方程”总有实数根; (3)解:∵一元二次方程 ax2 +bx+c = 0(a≠0)为 “和谐方程”, ∴ b=a+c, ∵“和谐方程”ax2+bx+c= 0(a≠0)有两个相等的 实数根, ∴ b2-4ac=(a+c) 2-4ac=(a-c) 2 = 0, ∴ a=c. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 13 1变式2]朝：令y=2林，测由惊程，得4一2=0 (2少意的值为符合条特骑小整数，30.，=1.六惊方 维朝：(1)道高的宽为6 第2章整合复习与对接中考 整星，每(-6)(+2}=0，解得3,6，为=-2 程为2-2+3-1=0，径孩方程的量是n,34,∴+2= (2)设每个车位的月阳象上深▣元时，停车场的升相金化 一阶关联知识整念练 当=6时，72红=6，(x+3)(=0,解特-33=2 2e4·2e5m-【,解样1，w=3或0宝-2，n年-3， 人为10125元， D二元一次卉程2分月3如=0或-n40 当重-2时.+■一1，耳'+1=0，说方程无买数 与m=-3时原为程为了+6证48=0，解得，=4,5=-2 综上桥进，黄方P时解为工，=一小，玉，2 不海足圆意.位象去.n的物为3 银影题意，a+0-写)5。 23一元二次方程根的判别式 日解：(1题.得3=-2(n+1]-4(+5-16 整月，得2-50+625=0，解补a,=4,=25 0,解得四22： 答：当特个军位的月相金上篷25元时停车场的月相金化 以东程的前为(. (4们惊分式方程走解 LC ZA 3 B 4()方程有两个相等的买数根 (?马爷好路对角性长为6的卸港的相第刺边的 人为0125元 (2)方程有得个不相等的实数根 吉长， 小专题培优5→元二瓷方程的应用 2帽：1)①m*1 3)此方程无实数配. 六++与-24，-2m+)]-2(+-6, I A 22 (2)当me2时.技方程为-45=0， 系C6C70%=-1式容米不雅一 领课.周n+4n-21=0,5解，=3.=-7， 3解：41)y与x的6数关式为，=-0+10 国式分解出 发证用：思已得占=（鲜-4）-4和-1》为1-3)=国一陶+6+ 2ym2,且1+2其n+1020,n=1 《)每干克售肯定为6无时，每天销售该大米的料制可选 水程左边因式分解得(4-5)儿+1)常0， 2m-12“m+4a*4=(n*1,《nt2)°0,4方程0有 4解：(1+ 锅1无 目-5=1友41=0，解限1=5,1-1 两下实数根 4C (2)南一北二次方程粗与系数的关系释名性“工1， 配方法： 10G「变式111,31变式1012-2 5解：(1)该民学的人数为0人： 视方到2-4+4-45=0，p(-2)3=9 1线解：()世美干x售一天二次方程'-4红+m=0有得个岁 4■241.6与}-2，与■41， 数根，11=(-4》-4×n0,解料m可4： 六-2=2+.解周A=3-1 (2线段包数为m+21…12年 4一2士3，解科1+5，，-L解法不性一 (?)若该方程的两个实数根相等，哪身■4 当p3时，3p2-4.9-4500 435我53 (3o号4c《sa2ng 2渠方释为x-4*4=0,期(2)=0，解释，=与=2 当=-1时，d=-4m-50.此时厚左程无实数根： 又当量小数与量大数的乘为适时，酯小数是 二阶广西中考枪先好 14解：1)1据题意得4=-2)-利)>0.解再w>3: =1 1"0 1.C2B3-44B (2,2J,,-30, 2.5一元二次方程的成用 解1I)C(2用 i),=1474--7 n31m1m.332 第1课时平均变化率，骑售利闭问题 (20,1,与=4 3)将边长为的主方形相步长为2的 1.B2% 3),=2,5= 1)D0 正方形.养加两个装为2，宽为年的的 (2)证用：r一元二代方程。入++(，0)方和清方3该感海平台3,4两个月销传潮的川平约增长米为% 方无.排合在一上面肌微是+22，+1 2 4, W”,-b=te..-4o=(ur》2-4=r)20, h 2 x2,即4+4. 系B7B【空式1(1)-2(21-6装c1且m→0 ·一相撞方程“总有实数限： 线解：()该生产氨在九月卧能生产【和套竹置 面由度方程，+4-5i变后得+ (3引解：：一元二次方程4+e=0(年产0)为”响替方 (2)蜂套虫丹价2元 象解：(1由题直1=4+420.k之-1： r+4=9.解丽.八表示边长为(+ (2)由根与不数的关系，得+4=-2心■-4 的正方形面积为9， 6r.:”和情方程”：”++r0(年0》有有个相等 7,解：(11少与x之可的网款表达式为y=-0+0: -4-1 《+2)=9,期线方程的一个正银为，= 的火数限 (2)应将前售单价定为22龙 .4 462 +4w=(at'4r=u-=0.4s 风解(11减网店每自爱银的传骨是30元，对前”沃钳“的 1a0t1.1非1216 2解：(1)斯停项的长为0和发为司： 男像是的元： 1线解：(1的 *2.4一元二次方程根与系数的关系 12)围设新停车场的面积可以为1国m设G=y.则 (2引量每箱“汉相”的售价降其了m元： (2)日镇博址件》与有像（元/作）的网数关系式为 康=.艇据题位得(35+3动)5+y在13， IC 2 A D -2.24070xc991 期钢恩直再(0-n)1-m4经+xo (3)该产品的害价年件中定为用元 41,=了3 期得，5。学（不特合细童，备 (国4宁40.整理群-e+0-,厚(a=0 35+3y35+3505,不行合题意，☆去 第3章图形的相似 201,-3,“= 银不成业。 3.1比例线段 5指65片支*时 (一35)=0，加得4，▣10.m:里5，又分-m加切传国 20=0 群当E3G计，新停车场的的积不镜为100审 3.1,1比例的基本性质 日解：)由意.料A0=,P立，40=1，A=2 本解：根影形特与与2”了 答：好加一纸附”约传竹承其了0元 1028t1A4C名A 第2课时几网同题 24=w2400-=6 6(1a=-6: l-*与4-22- 1.D 12)红=9 2围收圆环竹铁能悔特长度为山阳米 ÷-1+6=0,解m1减m6: 25s1子22 1AG的长为5m互D 0写1写)，5，=6不滑合题宽，刚任1 1303 当=1时.BP的配积为6： 1.B8i象上2 3到，..1a (2)不存在：使△0为等程三角8， 3“3 由题意国得=-(，P=-2,AQ= 0解：(-之，2 上(-21-160}数现，-4-，解得-4-之 y写 W=0+4产=6- 年B1001l.日 爷：考-2：时么0n些积为△世国积子 ?凸0为角已角形.且为等履三角形. 2解：（女关于年的方程-2aw+'-◆=有再个不相等 +0=0(4-=6-}六-4山+5=0. 3.12成比例线段 的实数佩， 73.素26 41=1-4)2-41×5=-20-40,方程无算 1.3 1(-2m)-4[m2-》4n-4n+4n0n>0 象模具长柄的夏为1具 不存在，桂△0为等腰三角 上解：设D=3nm,=2xn,周AB=5多am 参考答密