2.2.3 因式分解法-【众相原创】2025-2026学年九年级全一册数学分层练（湘教版）广西专版

第2章一元二次方程 204= 2.1一元二次方程 1201,=2+2.=2-② LC143-241[答第肆一) 发解：(1》52-4c-1=0:5,-4.-: 1n4D41线-)44-4+50 71,=0+52,1=-5,2 (34r-81=0:49,-1: (34r+8-25-04,8.-25, 累解：32-6+12=0， (43r2-7+103,-1,1 等式再山同以3，得-2+4=0,配方.（一1）-3 6R Z n :《一1)'30，以方程3r-412=0度有实数根， N解：(1-1h+0=0 失解11)3 《22--10-0 {2)4-2-3+2+4-(-+1+5 m=1方年1545 臭C1RG1l.-22w*3 日解：1)由(-1)3+(+11-2=0是一元一火方程，释 -1-0聘 六-(-1)◆%5.即4-+士的最大值为5 +1*0. 小专题培优3配方的悦用川 4原方程为2-2=0.解月x=L ,当=1时方是一元-武方程，方的为=： 20x,=3,- 《2)h(-1)x4(41-2-0是一无=次方程.厚-1 1-3aD -0,解得1*a1, 4解1已加等式要卷得，(-2t1)+(了-+9)=0. 当*±1时，(-++1》2▣0是一元二方程 5《-1)+y-3=0.广1=0，-3=0， 二次宽事数是-1，一次限最数是+1，套数项是-1 14解：段A成的长为年民，解G为(=4)民，r为21尺 年P0 根罐套得，42) 化为一2无式为-2+20=Q 《期：)…片-片·- 5每 h+1如-s-6 2.2一元二次方程的解法 (A+3)6+3)” 3-4 2.2.1配方法 0t0.-s,+30之6-方0.6 第1时利用平方根的意义解一元二欢方程 《25e 上C上A304答第不一，eD-35间) 1.8 1(1折=52，-55： 解：11-1-5 (2》年=10，与==0 {2)-1'-4-8=-(4444444)▣-x424 (+204当=-1时，-2-4-8有量大为-4 7.(1},25-1: 22.2公式法 (29m=11,与-A1 2旺类号 1前2北1040头86还- 1 性解：士方程4(-1tn-0-0的个限毫)， 31,-亚 4 4 .+3(m一1)mP0=0,目4n-4=0.解得n= 由方程‘-9=0，邮得三±3.方程的月一个银为-3 第2课时配方法一二灰项系敌为1 314G:p k3241 6(1,=1+2,=-2:2)=3,=-1 D8(容案不耶一）1甲2章1 2)-9-1相=1.移璃，得-9与0。 配方产m…甲 这解：[1)由荐.xe4,由2得.江>1， 敏不等式州的解集为1心心4： 第青2·-1,2-地取1)中的精思正晚 21由1年14，可n=2 第3课时配方满—二欢功系数不为1 期方程变为-2山-2=0. LA 6-4r(-2)3-4w1(-21-2 24/2223.+5 “44ar={-41F-42m(-10=240 5,1百=1-5.（容案不罪一 代人束秘公式得，红法石 2x22 a解：1Lg=W,=号4Ca, 则：246 26 ， 2Ck0成4 1 生1-53 (3用求根经式求得。不园 境小花玩的边长为(5+52 1L.解1以式分解生： -g+5=0,(-1-51= -1=0收4-5=0.六t,■1：n5 性：山的卡是方的正梨 配方法-6+5=0.你凌得.2-6-5， 表越之处，闲解砝不雀表示乐方程给低鞋 -0+9E-5+9.3月4.-3=±2 2.2.3因式分解法 六名甲5（解店不甲一） 2相：任务一：三方程的有边猫埋9 第1知时用因式分解法解一元二次方程 任务二4,2-2-1=0.填.得42-=1 1A1x,-2130x10,5=1 配方.得dc-2+9■1+9.(2-J)■10. 4子 2-31,0,.2-34w5域2-3-面， (21a,=24,三- 8(11,=-5*1 2 匠务江：我不意小同的，的日：我们要灵 21,=-2157 停超博呢有队来解一龙二太方程 小安酒培优4一一元二次方程的解法及拓展 7.表，■4，世6 8A象C1aC1h非2-2 11-西“。 《20￥=8.=-2： 《3)4=-2,=1 14:(1x,-0.5-2 2(1)直接开平为陆，=4,1=2 （1)根能题宣得-2x-6=2-4-5 2)配方选，-15，--5 方程化为一量形式为x2-2t1=0, 《)明式分解法，高=4而-2 15解：(15，=1.=3： 《4)公式陆山，=1山=2 ()车3是直角三角形的料边长时，第三边的长一 1解(1)2 下.25， 《2)72-2-99=0. 与1阳3是直角三角形的直角迪长时，第出的长 国式分解.税(-11(s+9)*0。 了=0. .11=0夜t9=0. ,第三边的长为25成√而 解得=1，，一9 第1课时用适当的方法解一元二灾方程 4解：1)分解式：'-0m+21=(-){71 (2)x=-1,王=-4 I D Z D 【室式1】，￥L5,3-2 &直接开平方塘配方法公式法因式分解法 4(,=64“-8 【麦式2】解：边其式分解得Ha5)(x*1-。, (2,-T 则+5=0线+1=0.得，三-52=- 4 5都142-2)3-13(x-2+42=0, (月，=5与4两-1 x2-2y,渊方程化为-3+4只0 《-61-7)=0.◆=0线-7=0， 1 解得元=6，元：=7 解：分析：2 写2-2=0明，=±22：当-2=7时4=±3. 民想：用公式法 一绿本程的解为5，-32，=-22-35=-3 1妻式1G 广西数学(XJ) 2. 2. 3　因式分解法 第 1 课时　 用因式分解法解一元二次方程 一阶 基础巩固对点练 知识点 1　利用 ab=0解一元二次方程 1. 已知一元二次方程的两根分别为 x1 = 3, x2 = -4,则这个方程可能为 ( A ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. (x-3)(x+4)= 0 B. (x+3)(x-4)= 0 C. (x+3)(x+4)= 0 D. (x-3)(x-4)= 0 2. (2022 梧州)一元二次方程(x-2)(x+7)= 0 的 根是　 x1= 2,x2=-7　 . 知识点 2　提公因式法解一元二次方程 3. 易错 方程 x(x-1)= x 的解是 ( D ) A. x= 0 B. x= 2 C. x1 = 0,x2 = 1 D. x1 = 0,x2 = 2 【变式】(2024 贵州)一元二次方程 x2 -2x= 0 的解 是　 x1=0,x2=2　 . 4. 用因式分解法解下列方程: (1)3x(2x-5)= 5(2x-5); 解:3x(2x-5)= 5(2x-5), ∴ (3x-5)(2x-5)= 0, ∴3x-5= 0 或 2x-5= 0, 解得 x1 = 5 3 ,x2 = 5 2 . (2)x(x-2) +x-2 = 0. 解:x(x-2)+x-2= 0, ∴ (x-2)(x+1)= 0, ∴ x-2= 0 或 x+1= 0, 解得 x1 = 2,x2 =-1. 知识点 3　利用乘法公式解一元二次方程 5. (教材 P39 例 8 改编)解方程: (1)x2 +2x-3 = 0; 解:x2+2x-3= 0, x2+2x+1-1-3= 0, (x+1) 2-22 = 0, (x+1+2)(x+1-2)= 0, (x+3)(x-1)= 0, ∴ x1 =-3,x2 = 1. (2)(2x-1) 2 -(3-x) 2 = 0. 解:方程左边因式分解得,(2x-1+3-x) (2x-1- 3+x)= 0, 整理得(x+2)(3x-4)= 0, ∴ x1 =-2,x2 = 4 3 . 知识点 4　能化成（x-d）（x-h）= 0的方程 6. 已知方程 x2 +nx+m = 0 的解是 x1 = 1,x2 = - 3, 则 m 的值是 ( B ) A. 2 B. -3 C. 3 D. -2 7. 用因式分解法解方程:x2 -10x+24 = 0. 解:配方,得 x2-10x+25-25+24= 0, 即(x-5) 2-1= 0, 把方程左边因式分解,得(x-5+1)(x-5-1)= 0, 解得 x1 = 4,x2 = 6. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 42 九上·第 2 章 二阶 能力提升强化练 8. 用因式分解法解方程,下列解法正确的是 ( A ) A. ∵ (2x- 2) ( 3x- 4) = 0,∴ 2x- 2 = 0 或 3x- 4 = 0 B. ∵ (x+3)(x-1)= 1,∴ x+3 = 0 或 x-1 = 1 C. ∵ (x-2)(x-3)= 2×3,∴ x-2 = 2 或 x-3 = 3 D. ∵ x(x+2)= 0,∴ x+2 = 0 9. 若实数 k,b 是一元二次方程( x+3) ( x-1) = 0 的两个根,且 k<b,则一次函数 y = kx+b 的图象 不经过 ( C ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 易错 (2024 赤峰)等腰三角形的两边长分 别是方程 x2 -10x+21 = 0 的两个根,则这个三 角形的周长为 ( C ) A. 17 或 13 B. 13 或 21 C. 17 D. 13 11. (2024 绥化)小影与小冬一起写作业,在解一 道一元二次方程时,小影在化简过程中写错 了常数项,因而得到方程的两个根是 6 和 1; 小冬在化简过程中写错了一次项的系数,因 而得到方程的两个根是-2 和-5. 则原来的方 程是 ( B ) A. x2 +6x+5 = 0 B. x2 -7x+10 = 0 C. x2 -5x+2 = 0 D. x2 -6x-10 = 0 12. 数形结合思想 如图,数轴上点 A 代表的数字 为 3x+1,点 B 代表的数字为 x2 +2x,已知 AB= 5, 且点 A在数轴的负半轴上,则 x 的值为　 -2　 . 13. 解方程:(2x+3) 2 = 4(2x+3) . 解:(2x+3) 2-4(2x+3)= 0, (2x-1)(2x+3)= 0, ∴2x-1= 0 或 2x+3= 0, 解得 x1 = 1 2 ,x2 =- 3 2 . 14. 老师在黑板上书写了一个方程,随后用手掌 捂住了一部分,如图所示: = 2x2 -4x-5 (1)若所捂部分的值为-5,求 x 的值; (2)若所捂住的部分是 x2 -2x-6,求 x 的值. 解:(1)根据题意得-5= 2x2-4x-5, 方程化为一般形式为 2x2-4x= 0, 2x(x-2)= 0, ∴2x= 0 或 x-2= 0, 解得 x1 = 0,x2 = 2; (2)根据题意得 x2-2x-6= 2x2-4x-5, 方程化为一般形式为 x2-2x+1= 0, ∴ (x-1) 2 = 0, ∴ x-1= 0, 解得 x1 =x2 = 1. 三阶 素养创新综合练 15. (2024 青海) ( 1) 解一元二次方程:x2 - 4x + 3 = 0; (2)若直角三角形的两边长分别是(1) 中方 程的根,求第三边的长. 解:(1)x2-4x+3= 0, ∴ (x-1)(x-3)= 0, ∴ x-1= 0 或 x-3= 0, ∴ x1 = 1,x2 = 3; (2)当 3 是直角三角形的斜边长时,第三边的长= 32-12 = 2 2, 当 1 和 3 是直角三角形的直角边长时,第三边的 长= 12+32 = 10, ∴第三边的长为 2 2或 10 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 52 广西数学(XJ) 第 2 课时　 用适当的方法解一元二次方程 一阶 基础巩固对点练 知识点　用适当的方法解一元二次方程 1. 解方程(5x-1) 2 = 3(5x-1)最适当的方法是 ( D ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 开平方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法 2. 下列一元二次方程中,最适合用直接开平方法 求解的是 ( D ) A. (x-2)(x+5)= 2 B. 2x2 -x= 0 C. x2 +5x-2 = 0 D. 12(2-x) 2 = 3 3. 解下列方程:①2x2 -18 = 0;②2x2 -12x-782 = 0; ③3x2 +10x+1 = 0;④2(5x-1) 2 = 2(5x-1) . 用较 简便的方法依次是 　 　 　 　 　 ; 　 　 　 　 　 ; 　 　 　 　 　 ;　 　 　 　 　 . 4. 用适当的方法解下列方程: (1)(x+1) 2 = 49; 解:(x+1) 2 = 49, 开平方得:x+1=±7, 解得:x1 = 6,x2 =-8; (2)2x2 +3x-1 = 0; 解:2x2+3x-1= 0, ∵ a= 2,b= 3,c=-1, ∴ b2-4ac= 32-4×2×(-1)= 17>0, ∴ x= -3± 17 2×2 , ∴ x1 = -3+ 17 4 ,x2 = -3- 17 4 ; (3)(2024 安徽)x2 -2x= 3. 解:x2-2x= 3, x2-2x-3= 0, (x-3)(x+1)= 0, ∴ x1 = 3,x2 =-1. 5. (2024 广西大学附中月考)用适当的方法解方 程:x2 -5x+2 = 0. 解:x2-5x+2= 0, ∵ a= 1,b=-5,c= 2, ∴ b2-4ac=(-5) 2-4×1×2= 17>0, ∴ x= 5± 17 2×1 = 5± 17 2 , ∴ x1 = 5+ 17 2 ,x2 = 5- 17 2 . 6. 下列是小明同学用配方法解方程 2x2 -4x-1 = 0 的过程: 解:2x2 -4x= 1,…第 1 步 x2 -2x= 1,…第 2 步 x2 -2x+1 = 1+1,…第 3 步 (x-1) 2 = 2,x-1 = ± 2 ,…第 4 步 ∴ x1 = 1+ 2 ,x2 = 1- 2 . …第 5 步 分析:最开始出现错误的是第　 2　 步. 反思:通过和同学交流,小明发现,该方程还可 以使用其他方法求解,请你帮助小明利用其他 方法求解方程. 解:用公式法, 原方程中,a= 2,b=-4,c=-1. ∵ b2-4ac=(-4) 2-4×2×(-1)= 24>0, 代入求根公式得,x= 4± 24 2×2 = 2± 6 2 , 则 x1 = 2+ 6 2 ,x2 = 2- 6 2 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 62 九上·第 2 章 二阶 能力提升强化练 7. 学科内融合 已知点 P 的横、纵坐标恰好是 2x2 -x-1 = 0 的根,则点 P 在第( C )象限. A. 一或三 B. 一或四 C. 二或四 D. 三或四 8. 新定义问题 对于实数 m,n,定义运算“⊗”如 下:m⊗n=m2 -2mn. 若(x+1)⊗(x-2)= 5,则 x 的值为　 0 或 4　 . 9. 用适当的方法解下列方程: (1)x(x-5)= 3x-15; 解:x(x-5)= 3x-15, 则 x(x-5)= 3(x-5), ∴ x(x-5)-3(x-5)= 0, ∴ (x-5)(x-3)= 0, ∴ x-5= 0 或 x-3= 0,∴ x1 = 5,x2 = 3; (2)2y2 -9y+5 = 0. 解:2y2-9y+5= 0,∵ a= 2,b=-9,c= 5, ∴ b2-4ac=(-9) 2-4×2×5= 41, ∴ y= 9± 41 4 , ∴ y1 = 9+ 41 4 ,y2 = 9- 41 4 . 10. 模型观念 如图,公园内有一个正方形的小 花坛,现在园艺设计师想把花坛的边长增加 5 m 得到正方形的大花坛,使花坛的面积扩大 为原本的 2 倍,求小花坛的边长. 解:设小花坛的边长为 x m,则大花坛的边长为 (x+5)m,由题意,得 (x+5) 2 = 2x2,即 x2-10x-25= 0, 解得 x1 = 5+5 2,x2 = 5-5 2(舍去) . 答:小花坛的边长为(5+5 2)m. 11. 请用两种方法解方程:x2 -6x+5 = 0. 解:因式分解法: x2-6x+5= 0,(x-1)(x-5)= 0. ∴ x-1= 0 或 x-5= 0, ∴ x1 = 1,x2 = 5. 配方法:x2-6x+5= 0,移项得,x2-6x=-5, x2-6x+9=-5+9,(x-3) 2 = 4, ∴ x-3=±2, ∴ x1 = 1,x2 = 5. (解法不唯一) 三阶 素养创新综合练 12. 创新意识 下面是小明同学灵活应用配方法 解方程 4x2 -12x-1 = 0 的过程,请你认真阅读 并完成相应的任务. 解:原方程可化为(2x)2-6×2x-1= 0 第一步…… 移项,得(2x) 2 -6×2x= 1 第二步……………… 配方,得(2x) 2 -6×2x+32 = 1 第三步…………… ∴ (2x-3) 2 = 1 第四步………………………… 方程两边开平方,得 2x-3 = ±1 第五步………… ∴ 2x-3 = 1 或 2x-3 = -1 第六步……………… ∴ 原方程的解为 x1 = 2,x2 = 1 第七步………… 任务一:小明同学的解答过程是从第　 三　 步开 始出错的,错误的原因是　 方程的右边漏加 9　 ; 任务二:请写出该方程的正确解答过程; 任务三:小刚同学说:“小明的解法是错误的, 因为用配方法解一元二次方程时,首先要把 二次项系数化为 1,再配方. ”你同意小刚同学 的说法吗? 你得到了什么启示? 解:任务二:4x2-12x-1= 0, 移项,得 4x2-12x= 1, 配方,得 4x2-12x+9= 1+9, (2x-3) 2 = 10, 2x-3=± 10, ∴2x-3= 10或 2x-3=- 10, 解得 x1 = 3+ 10 2 ,x2 = 3- 10 2 ; 任务三:我不同意小刚同学的说法,得到的启示: 我们要灵活运用配方法来解一元二次方程. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 72