2.2.2 公式法-【众相原创】2025-2026学年九年级全一册数学分层练（湘教版）广西专版

广西数学(XJ) 2. 2. 2　公式法 一阶 基础巩固对点练 知识点　用公式法解一元二次方程 1. 用公式法解方程 x2 -2 = -3x 时,a,b,c 的值依 次是 ( B ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 0,-2,-3 B. 1,3,-2 C. 1,-3,-2 D. 1,-2,-3 2. 一元二次方程 x2 -2x-c = 0 能用公式法求解的 前提是 ( C ) A. c= 1 B. c≥1 C. c≥-1 D. c≤-1 3. 易错 小明在解方程 x2 - 4x = 2 时出现了错 误,解答过程如下: 解:∵ a= 1,b= -4,c= -2,(第一步) ∴ b2 -4ac= ( -4) 2 -4×1×( -2)= 24. (第二步) ∴ x= -4±2 6 2 . (第三步) ∴ x1 = -2+ 6 ,x2 = -2- 6 . (第四步) 小明解答的过程中开始出错的步骤是 ( C ) A. 第一步 B. 第二步 C. 第三步 D. 第四步 4. 逆向思维 若 x = 2± 4 -4×3×( -1) 2×3 是某个一 元二次方程的根,则这个一元二次方程可以是 ( D ) A. 3x2 +2x-1 = 0 B. 2x2 +4x-1 = 0 B. -x2 -2x+3 = 0 D. 3x2 -2x-1 = 0 5. 用公式法解方程 2x2-1=0,其中 b2-4ac=　 　 　 . 6. 写出方程 x2 +x-1 = 0 的正根:　 　 　 　 　 　 . 7. 解方程: (1)2x2 +x-2 = 0; 解:∵ a= 2,b= 1,c=-2, ∴ b2-4ac= 12-4×2×(-2)= 17, ∴ x= -b± b2-4ac 2a =-1± 17 4 , ∴ x1 = -1+ 17 4 ,x2 = -1- 17 4 ; (2)x2 -3x+1 = 0; 解:∵ a= 1,b=-3,c= 1, ∴ b2-4ac=(-3) 2-4×1×1= 9-4= 5>0, ∴ x= -(-3)± 5 2×1 = 3± 5 2 , ∴ x1 = 3+ 5 2 ,x2 = 3- 5 2 ; (3)x2 -5x+5 = 0. 解:∵ a= 1,b=-5,c= 5, ∴ b2-4ac=(-5) 2-4×1×5 = 25-20 = 5>0, ∴ x= 5± 5 2 , ∴ x1 = 5+ 5 2 ,x2 = 5- 5 2 . 8. 已知关于 x 的一元二次方程(m+1)x |m-1| -mx= 1. (1)m 的值为　 3　 ; (2)用公式法解这个方程. 解:由(1)得原方程为 4x2-3x-1= 0, ∵ a= 4,b=-3,c=-1, ∴ b2-4ac=(-3) 2-4×4×(-1)= 25>0, ∴ x= 3± 25 2×4 = 3±5 8 , ∴ x1 = 1,x2 =- 1 4 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 22 九上·第 2 章 二阶 能力提升强化练 9. 已知一元二次方程 x2 -2x-6 = 0,其中较大的一 个根为 x1,下列最接近 x1 的范围是 ( C ) A. 3<x1 <4 B. 3<x1 <3. 5 C. 3. 5<x1 <3. 7 D. 3. 7<x1 <4 10. 运算能力 有一个数值转换机,其流程如图所 示,若输入 a=2,则输出的 x 的值为　 　 　 　 . 11. 易错 若直角三角形的两边长分别是 x2 - 7x+12 = 0 的两根,则该三角形的面积是　 　 　 　 . 12. 用公式法解方程:2x(x+4)= 1. 解:2x(x+4)= 1,2x2+8x-1= 0, ∵ a= 2,b= 8,c=-1, ∴ b2-4ac= 64+8= 72>0, ∴ x= -b± b2-4ac 2a =-8± 72 4 =-4±3 2 2 , ∴ x1 = -4+3 2 2 ,x2 = -4-3 2 2 . 13. 为丰富学生课余生活,提高学生运算能力,数 学小组设计了如下的解题接力游戏. (1)解不等式组: 2x-1<7①, x+1>2②;{ (2) 当 m 取 ( 1) 的一个整数解时, 解方程 x2 -2x-m= 0. 解:(1)由①得,x<4,由②得,x>1, 故不等式组的解集为 1<x<4; (2)由(1)知 1<x<4,∴可令 m= 2, 则方程变为 x2-2x-2= 0, ∵ b2-4ac=(-2) 2-4×1×(-2)= 12, ∴ x= 2± 12 2×1 = 2±2 3 2 = 1± 3, ∴ x1 = 1+ 3,x2 = 1- 3 . (答案不唯一) 三阶 素养创新综合练 14. 数学文化 古希腊数学家丢番图(公元 250 年前后)在《算术》中就提到了一元二次方程 的问题,不过当时古希腊人还没有寻求到它 的求根公式,只能用图解等方法来求解. 在欧 几里得的《几何原本》中,形如 x2 +ax = b2(a> 0,b>0)的方程的图解法是:如图,以 a 2 和 b 为 两直角边作 Rt△ABC,再在斜边上截取 BD = a 2 ,则 AD 的长就是所求方程的解. (1)请用含字母 a,b 的式子表示 AD 的长; (2)请利用你已学的知识说明该图解法的正 确性,并说说这种解法的遗憾之处. 解:(1)∵∠ACB= 90°,BC= a 2 ,AC=b, ∴AB= b2+ a2 4 , ∴AD= b2+ a2 4 - a 2 = 4b 2+a2 -a 2 ; (2)用求根公式求得 x1 = -a- 4b2+a2 2 , x2 = -a+ 4b2+a2 2 , 正确性:AD 的长就是方程的正根. 遗憾之处:图解法不能表示方程的负根. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 32 第2章一元二次方程 204= 2.1一元二次方程 1201,=2+2.=2-② LC143-241[答第肆一) 发解：(1》52-4c-1=0:5,-4.-: 1n4D41线-)44-4+50 71,=0+52,1=-5,2 (34r-81=0:49,-1: (34r+8-25-04,8.-25, 累解：32-6+12=0， (43r2-7+103,-1,1 等式再山同以3，得-2+4=0,配方.（一1）-3 6R Z n :《一1)'30，以方程3r-412=0度有实数根， N解：(1-1h+0=0 失解11)3 《22--10-0 {2)4-2-3+2+4-(-+1+5 m=1方年1545 臭C1RG1l.-22w*3 日解：1)由(-1)3+(+11-2=0是一元一火方程，释 -1-0聘 六-(-1)◆%5.即4-+士的最大值为5 +1*0. 小专题培优3配方的悦用川 4原方程为2-2=0.解月x=L ,当=1时方是一元-武方程，方的为=： 20x,=3,- 《2)h(-1)x4(41-2-0是一无=次方程.厚-1 1-3aD -0,解得1*a1, 4解1已加等式要卷得，(-2t1)+(了-+9)=0. 当*±1时，(-++1》2▣0是一元二方程 5《-1)+y-3=0.广1=0，-3=0， 二次宽事数是-1，一次限最数是+1，套数项是-1 14解：段A成的长为年民，解G为(=4)民，r为21尺 年P0 根罐套得，42) 化为一2无式为-2+20=Q 《期：)…片-片·- 5每 h+1如-s-6 2.2一元二次方程的解法 (A+3)6+3)” 3-4 2.2.1配方法 0t0.-s,+30之6-方0.6 第1时利用平方根的意义解一元二欢方程 《25e 上C上A304答第不一，eD-35间) 1.8 1(1折=52，-55： 解：11-1-5 (2》年=10，与==0 {2)-1'-4-8=-(4444444)▣-x424 (+204当=-1时，-2-4-8有量大为-4 7.(1},25-1: 22.2公式法 (29m=11,与-A1 2旺类号 1前2北1040头86还- 1 性解：士方程4(-1tn-0-0的个限毫)， 31,-亚 4 4 .+3(m一1)mP0=0,目4n-4=0.解得n= 由方程‘-9=0，邮得三±3.方程的月一个银为-3 第2课时配方法一二灰项系敌为1 314G:p k3241 6(1,=1+2,=-2:2)=3,=-1 D8(容案不耶一）1甲2章1 2)-9-1相=1.移璃，得-9与0。 配方产m…甲 这解：[1)由荐.xe4,由2得.江>1， 敏不等式州的解集为1心心4： 第青2·-1,2-地取1)中的精思正晚 21由1年14，可n=2 第3课时配方满—二欢功系数不为1 期方程变为-2山-2=0. LA 6-4r(-2)3-4w1(-21-2 24/2223.+5 “44ar={-41F-42m(-10=240 5,1百=1-5.（容案不罪一 代人束秘公式得，红法石 2x22 a解：1Lg=W,=号4Ca, 则：246 26 ， 2Ck0成4 1 生1-53 (3用求根经式求得。不园 境小花玩的边长为(5+52 1L.解1以式分解生： -g+5=0,(-1-51= -1=0收4-5=0.六t,■1：n5 性：山的卡是方的正梨 配方法-6+5=0.你凌得.2-6-5， 表越之处，闲解砝不雀表示乐方程给低鞋 -0+9E-5+9.3月4.-3=±2 2.2.3因式分解法 六名甲5（解店不甲一） 2相：任务一：三方程的有边猫埋9 第1知时用因式分解法解一元二次方程 任务二4,2-2-1=0.填.得42-=1 1A1x,-2130x10,5=1 配方.得dc-2+9■1+9.(2-J)■10. 4子 2-31,0,.2-34w5域2-3-面， (21a,=24,三- 8(11,=-5*1 2 匠务江：我不意小同的，的日：我们要灵 21,=-2157 停超博呢有队来解一龙二太方程 小安酒培优4一一元二次方程的解法及拓展 7.表，■4，世6 8A象C1aC1h非2-2 11-西“。 《20￥=8.=-2： 《3)4=-2,=1 14:(1x,-0.5-2 2(1)直接开平为陆，=4,1=2 （1)根能题宣得-2x-6=2-4-5 2)配方选，-15，--5 方程化为一量形式为x2-2t1=0, 《)明式分解法，高=4而-2 15解：(15，=1.=3： 《4)公式陆山，=1山=2 ()车3是直角三角形的料边长时，第三边的长一 1解(1)2 下.25， 《2)72-2-99=0. 与1阳3是直角三角形的直角迪长时，第出的长 国式分解.税(-11(s+9)*0。 了=0. .11=0夜t9=0. ,第三边的长为25成√而 解得=1，，一9 第1课时用适当的方法解一元二灾方程 4解：1)分解式：'-0m+21=(-){71 (2)x=-1,王=-4 I D Z D 【室式1】，￥L5,3-2 &直接开平方塘配方法公式法因式分解法 4(,=64“-8 【麦式2】解：边其式分解得Ha5)(x*1-。, (2,-T 则+5=0线+1=0.得，三-52=- 4 5都142-2)3-13(x-2+42=0, (月，=5与4两-1 x2-2y,渊方程化为-3+4只0 《-61-7)=0.◆=0线-7=0， 1 解得元=6，元：=7 解：分析：2 写2-2=0明，=±22：当-2=7时4=±3. 民想：用公式法 一绿本程的解为5，-32，=-22-35=-3 1妻式1G