2.2.1 配方法&小专题培优3 配方的应用-【众相原创】2025-2026学年九年级全一册数学分层练（湘教版）广西专版

广西数学(XJ) 2. 2　 一元二次方程的解法 2. 2. 1　配方法 第 1 课时　 利用平方根的意义解一元二次方程 一阶 基础巩固对点练 知识点 1　一元二次方程的根 1. 下列是方程 x2 -x= 2 的根的是 ( C ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知 x= 1 是一元二次方程 x2 +mx+2 = 0 的一个 根,则 m 的值是 ( A ) A. -3 B. 3 C. 0 D. 0 或 3 知识点 2　用平方根的意义解形如 x2 =p（p≥ 0）的一元二次方程 3. 方程 x2 = 4 的解是 ( D ) A. x= 2 B. x= -2 C. x1 = 1,x2 = 4 D. x1 = 2,x2 = -2 4. 开放性试题 若关于 x 的一元二次方程 x2 - 3. 5 =a 有实数根,则 a 的值可以为　 　 　 (写 出一个即可) . 5. (教材 P31 练习 T1 改编)解方程: (1)2y2 -100 = 0; 解:2y2 = 100, y2 = 50,y=±5 2, y1 = 5 2,y2 =-5 2; (2)(x+6)(x-6)= 64. 解:x2-36= 64, x2 = 100,x=±10, x1 = 10,x2 =-10. 知识点 3　用平方根的意义解形如（mx+n）2 =p （p≥0）的一元二次方程 6. 如图是一个简单的数值运算程序,则输入 x 的 值为 ( C ) 输入 x ➝ (x-2) 2 ➝ ×(-2) ➝ 输出-8 A. 0 B. -4 C. 0 或 4 D. 无法确定 7. 解方程:(1)(2x-1) 2 = 9; 解:根据平方根的意义,得 2x-1= 3 或 2x-1=-3, 解得 x1 = 2,x2 =-1; (2)2. 5(x-0. 3) 2 -1. 6 = 0. 解:方程变形得(x-0. 3) 2 = 16 25 , 开方得 x-0. 3=±0. 8, 解得 x1 = 1. 1,x2 =-0. 5. 二阶 能力提升强化练 8. 整体思想 已知 a 是方程 x2 +2x-2= 0 的一个实 数根,则 3a2+6a+2 026 的值为　 2 032　 . 9. 若 2x2 + 3 与 2x2 - 4 互为相反数,则 x 的值 为　 　 　 　 . 10. 已知关于 x 的方程 x2 +(m-1) x+m-10 = 0 的 一个根是 3,求 m 的值及方程的另一个根. 解:∵方程 x2+(m-1)x+m-10=0的一个根是 3, ∴9+3(m-1)+m-10= 0, 即 4m-4= 0,解得 m= 1. 由方程 x2-9= 0,解得 x=±3, ∴方程的另一个根为-3. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 81 九上·第 2 章 第 2 课时　 配方法———二次项系数为 1 一阶 基础巩固对点练 知识点 1　二次三项式的配方 1. (2024 德州)把多项式 x2 - 3x+ 4 进行配方,结 果为 ( B ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. (x-3) 2 -5 B. (x- 3 2 ) 2 + 7 4 C. (x- 3 2 ) 2 +25 4 D. (x+ 3 2 ) 2 + 7 4 2. (教材 P33 练习 T1 改编)填空: (1)x2 +x+　 　 　 　 = (x+　 　 　 　 ) 2; (2)16x2 +8x+2 = (4x+　 1　 ) 2 +　 1　 ; (3)x2 - 2 5 x+2 = (x-　 　 　 　 ) 2 +　 　 　 　 . 3. 易错 若 x2-4x+5=(x-2)2+m,则m=　 　 　 　 . 知识点 2　用配方法解二次项系数为 1的一元 二次方程 4. 用配方法解方程 x2 -4x-1 = 0 时,配方后正确 的是 ( C ) A. (x+2) 2 = 3 B. (x+2) 2 = 17 C. (x-2) 2 = 5 D. (x-2) 2 = 17 5. (2024 东营改编)用配方法解一元二次方程 x2 -2x-2 025 = 0,将它转化为( x+a) 2 = b 的形 式,则 ab 的值为 ( D ) A. -2 026 B. 2 026 C. -1 D. 1 6. (教材 P33 练习 T2 改编)用配方法解下列方程: (1)x2 -2x-1 = 0; 解:x2-2x-1= 0, 移项,得 x2-2x= 1, 配方,得 x2-2x+1= 2, ∴ (x-1) 2 = 2,x-1=± 2, ∴ x1 = 1+ 2,x2 = 1- 2; (2)x(x-2) -3 = 0. 解:方程整理,得 x2-2x-3= 0, 移项,得 x2-2x= 3, 配方,得(x-1) 2 = 4, ∴ x-1=±2,解得 x1 = 3,x2 =-1. 二阶 能力提升强化练 7. 某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法 解一元二次方程,每人负责完成一个步骤,如 图所示,老师看后,发现有一位同学所负责的 步骤是错误的,则这位同学是 ( D ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 若方程 x2 +4x+n = 0 有实数根,由配方法可知 n 的值可能是　 2(答　 (写一个即可) . 9. 完成下列配方过程: x2 + 2px + 1 = ( x2 + 2px + 　 p2　 )+　 1-p2　 =(x+　 p　 )2+　 1-p2　 . 三阶 素养创新综合练 10. 推理能力 根据要求,解答下列问题: ①方程 x2 -x-2 = 0 的解为 x1 = -1,x2 = 2; ②方程 x2 -2x-3 = 0 的解为 x1 = -1,x2 = 3; ③方程 x2 -3x-4 = 0 的解为 x1 = -1,x2 = 4;… (1)根据以上方程特征及其解的特征,请猜 想:方程 x2 -9x-10 = 0 的解为　 x1=-1,10　 ; (2)请用配方法解方程 x2 -9x-10 = 0,并验证 (1)中猜想的正确性. 解:x2-9x-10= 0,移项,得 x2-9x= 10, 配方,得 x2-9x+81 4 = 10+81 4 , ∴ (x- 9 2 ) 2 = 121 4 . 解得 x1 =-1,x2 = 10. 即(1)中的猜想正确. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 91 广西数学(XJ) 第 3 课时　 配方法———二次项系数不为 1 一阶 基础巩固对点练 知识点　用配方法解二次项系数不为 1 的一 元二次方程 1. (2024 贵港覃塘区期中)用配方法解一元二次 方程 2x2 +3x+1 = 0,配方的结果是 ( A ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. (x+ 3 4 ) 2 = 1 16 B. 2(x- 3 4 ) 2 = 1 8 C. (x+ 3 4 ) 2 = - 1 8 D. (x+ 3 4 ) 2 - 1 16 = -1 2. (教材 P35 练习改编)用配方法解下列方程: (1)4x2 -4x+1 = 0;　 　 解:原方程化为 x2-x=- 1 4 , ∴ (x- 1 2 ) 2 =- 1 4 + 1 4 , ∴ x1 =x2 = 1 2 ; (2)2x2 -8x+4 = 0. 解:原方程可化为 x2-4x=-2, ∴ x2-4x+4= 2,即(x-2) 2 = 2, ∴ x-2=± 2,解得 x1 = 2+ 2,x2 = 2- 2 . 二阶 能力提升强化练 3. 用配方法解一元二次方程 3x2 +6x-1= 0 时,将它 化为(x+a)2 =b 的形式,则 a+b 的值为 ( B ) A. 10 3 B. 7 3 C. 2 D. 4 3 4. 下列用配方法解方程 1 2 x2 -x-2 = 0 的四个步骤 中,出现错误的是 ( D ) A. ① B. ② C. ③ D. ④ 5. 新定义问题 规定:a⊗b = (a+b) b,如:2⊗3 = (2+3) ×3 = 15,若 2⊗x= 3,则 x= 　 1 或-3　 . 6. 若 16(x-y) 2 +40(x-y) +25 = 0,则 x 与 y 的关 系式为　 4x-4y+5= 0　 . 7. 用配方法解方程: 1 2 x2 -6x-7 = 0. 解:原方程可化为 1 2 (x2-12x)-7= 0, 1 2 (x-6) 2 = 25,∴ (x-6) 2 = 50. ∴ x-6=±5 2, 解得 x1 = 6+5 2,x2 = 6-5 2 . 8. 用配方法判断方程 3x2 - 6x + 12 = 0 的根的 情况. 解:3x2-6x+12= 0, 等式两边同除以 3,得 x2-2x+4= 0, 配方,得(x-1) 2 =-3. ∵ (x-1) 2≥0, ∴方程 3x2-6x+12= 0 没有实数根. 三阶 素养创新综合练 9. 材料阅读题 阅读下面的解答过程,求 y2 + 4y+8 的最小值. 解:y2 +4y+8 = y2 +4y+4+4 = (y+2) 2 +4, ∵ (y+2) 2≥0,即(y+2) 2 的最小值为 0, ∴ y2 +4y+8 的最小值为 4. 仿照上面的解答过程,求解下列问题: (1)m2 +2m+4 的最小值为　 　 　 　 ; (2)求 4-x2 +2x 的最大值. 解:4-x2+2x=-x2+2x+4 =-(x2-2x+1)+5 =-(x-1) 2+5. ∵ (x-1) 2≥0,∴-(x-1) 2≤0, ∴-(x-1) 2+5≤5,即 4-x2+2x 的最大值为 5. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 02 九上·第 2 章 3 配方的应用 重 点 强 化 类型 1　利用配方法解一元二次方程 1. 用配方法解方程:(1)x2 -2x-5 = 0; 解:x2-2x= 5, x2-2x+1= 6,(x-1) 2 = 6, x-1=± 6, ∴ x1 = 1+ 6,x2 = 1- 6 . (2)2x2 -4x-6 = 0. 解:移项,得 2x2-4x= 6, 两边除以 2,得 x2-2x= 3, 配方,得 x2-2x+1= 3+1, 即(x-1) 2 = 4, ∴ x-1= 2 或 x-1=-2, ∴ x1 = 3,x2 =-1. 类型 2　利用配方求参数值 2. (2024 北海合浦期中)若 x2 +2(k+1)x+4 可以写 成(a+b)2 的形式,则 k 的值为　 1 或-3　 . 类型 3　利用配方求代数式的值 3. 不论 x,y 取何有理数,x2 +y2 -10x+8y+41 的值 均为 ( D ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 正数 B. 零 C. 负数 D. 非负数 4. 已知 x2 - 2x + y2 - 6y + 10 = 0,求 x2y2 + 2xy + 1 的值. 解:已知等式变形得,(x2-2x+1)+(y2-6y+9)= 0, ∴ (x-1) 2+(y-3) 2 = 0, ∴ x-1= 0,y-3= 0, 解得,x= 1,y= 3,∴ xy= 3, 则原式=(xy+1) 2 = 42 = 16. 类型 4　利用配方比较大小 5. 已知 P= 2x2 +4y+13,Q= x2 -y2 +6x-1,则代数式 P,Q 的大小关系是　 P>Q　 . 6. 课堂上,老师提出了下面的问题:已知 3a>b> 0,M= a b ,N=a +1 b+3 ,试比较 M 与 N 的大小. 小华:整式的大小比较可采用“作差法” . 老师:比较 x2 +1 与 2x-1 的大小. 小华:∵ (x2 + 1) -(2x- 1) = x2 + 1- 2x+ 1 = ( x- 1) 2 +1>0, ∴ x2 +1>2x-1. 老师:分式的大小比较能用“作差法”吗? (1)请用“作差法”完成老师提出的问题; (2)比较大小:23 68 　 <　 22 65 . (填“>”“ =”或“<”) 解: ( 1) M - N = a b - a+1 b+3 = a(b+3) b(b+3) - b(a+1) b(b+3) = ab+3a-ab-b b(b+3) = 3a-b b(b+3) , ∵3a>b>0,∴3a-b>0,b(b+3)>0, ∴ 3a -b b(b+3) >0,∴M>N. 类型 5　利用配方求多项式的最值 7. 多项式 a2 -2ab+2b2 -6b+27 的最小值为　 18　 . 8. 利用配方完成下列问题: (1)若 x2 + 2x- 4 = ( x-a) 2 +b,则 a = 　 -1 　 , b= 　 -5　 ; (2)求代数式-x2 -4x-8 的最大值. 解:-x2-4x-8=-(x2+4x+4-4+8)= -(x+2) 2-4. ∵ (x+2) 2≥0. ∴当 x=-2 时,-x2-4x-8 有最大值为-4. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 12 第2章一元二次方程 2 2.1一元二次方程 423,=2+1,与■21-2 L01A3-2414答案不建一) 3市4D名1或-j6-+50 &解：(1》5分--1=0：5，-4.-1： 7.t,=0+52.,=6-52 2》4-81=:4,9,-1: (3》4r48-25=04,8.-25, 深.解132-6+120 (43r2-7+1=03,-7,1 式再边同以3.得-1+4=0.配方.得（1-3 B非 公《-1)20，方型-6c+12=0便有完数想 解：(t2-12a+0=0: 线解f1)3 2-10=0 12)4-24-+244=-(2-2+10+9 线C1报C1L-22m+3 ■-r1》”+ 以解：11出《4-1》：+(+1)-2=0是一元一次方程，得 (-10，--1P0, -(4-1)+5G5.4-,山的最大值为互 代8 小专题培优3配方的应用 4原方程为2-20，解得L 当1时方登是一元一方程.方程的量为4： {2)1,=3,1- 42)由-124(+1)-2-0是一元二次方程.得-t 21发-3表D 0,解博1产1， 4.解：已知等式变形博，(2-2+1)+(2-6+9)=0， 当±1时.(-++120是一元二农方 5《-1)'+(-3)'■0.：r1=0,-=0. 二次项常数是（一1：一次现第数是4+1，数明是-2 14解：设AM的长为4尺，据4C为(，-4)尺，G为{x-21晨 50 根意算，（一4）+32)1 化为一根无式为-32+0■0 《:)…名号号-号 1前 6-4-s3-4 2.2一·元二次方程的解法 6(+3)+3 22.1配方法 3to9.知-0A(300.产方≥0以 第1津时利用平方根的意义解一元二灾方程 (2) 1C上A3DA3(每案不1一，235图可) 7.18 互1y-55,5-E 8.解：11)-1-5 (25=10高=-a 420--4-8▣-（红+4+44481=-3421°4. 《+20当-时，-7-4-8有都大值为-4 7《1}m,2-为=-1： 22.2公式话 3=11,与-a5 81现9号 1自2G1C4D86巴 1 性解：少方程4（一1+司-0-0的一个根是3 4@ 4 4 +3-1T10a0,醇4r-4.0.解得甜a1 由方程-9■0，解得：士J.古方程的月一个最为-1 第2时配方法一二买项系数为1 12u片am1a时 3 1 4C sD 321÷ 6《1%*1+2,%=-2:1)=1,3-1 D82(答案不唯一）象？1p2户1学 2 4解{)5=-1，多=0 1-1相=0，辖谓，得'-：=0。 2,2 2■ 4近 2 股方4，-0（= 13朝：(1)由①得，<4由2得，1， 不等式的解集为【白4： 解得子。-1，于一a.以1中的清正魂 (3)由{)知1心心4.可今n=2 第3课时配方法一二灾项系数不为1 渊方餐度为-2=0. LA -4=(-23-1x-2=12, 参为 422415 合-4=(-442(-1=2430 21 2 六，=+下山=1-.（容紫不W一} 化人*相公式特气2 解：(I:∠ACg=0,BCG=号4G=, 期，246 1€80或4 段(11=5,4=3 (2g9+T 4 (到用求根公式求每，中 14小花坛的边卡为(55，厚)m 2 1L解：因式什解法 4 54-10减-号■0.；￥，■14年5 正确性：AD的是为程的正限 配左法x3-+5a0.信顶博，-6-5. 遗浦之处：国解法不处表示方程的负照 2-6+9■-49.《434-12 2.2.3因式分解法 六，1与5（解迪不一 第1误时用因式分解法解一元二贸方生 12解：任务一：三材程的右边辑如9 任二43-12-1=0，得42-12b=1 1.A2x,-2-7103-0,-1 配方.得42-2+9=1+9.(2-3)=10， 5 -3=T而2山-3。√而成2山3=/o (204,=2,,量-1 51104,-3-1 2 任牙三：我不同重小图民学的统遗，再可的启示：我门要灵 活后用配方法亲解一元二款寿程 长B 小专题培传4一元一次方程的解法及拓展 73,=4,到=6 k4失C1m011.B2-2 1(1属-1了 1技=空之 (211B,=8.a妇室-2： (3=-2-=1 14鳞(1，=0-=2： 2(1)直将开平方法，，=43，-2 (2)根据糖意得-占6-2士4x-5 (2配方选-+5，-15 方型化为一粮毛式为-2tt=, ()国式分解法414工-21 (1=0-1s0,得1=1 1线解：(13=1：=： (41公式速41,6空 (2)背3是直角三角形的料边长时，第三动片长·友解：(》配方 √下=正， (11-1-9=0, 91和3基直角三角形的直角边我时，第三边的长= 国式分解，得(4-11)x49)=0 4了m师 上x-1l40武9.0， -第三的长为2下或瓜. 解得角=1，三-9 第2误时用话当的方法解一元二发方程 4解：(1分式：后-0e+21-(e-3(-7 (2110-1.4-4 1.2D 【式11=15.-2 、直横开干方法配方法公式法园式计解法 【立式21解左边母式分解博+，51+0， 4【1E,■6，正-： 2,。行 则x+-万=0减x41▣0，解得马■万两=- 4 5解：(x-1-13(2-2)+42=0 (3)x,=35,==1 设-2，测原访程可北为y-+4=0 8 (-6)47)=0-6=0家-7=0. 2 解得￥，=6，=7 《解：计析：2 9-2=0时，a=土25：当-2=7时.1=±5. 反地：用公式法 “方找摔为=22马=-2征，3=-1 原方程中，=1,6=-4.c三-1 [式