导数隐零点技巧讲义-2026届高三数学一轮复习

( 第 1 页 共 4 页 ) 导数隐零点技巧 隐零点问题是在解决函数零点问题中抽象出来的一类问题。这类问题的特点是函数或是导函数的零点无法直接求解，即（1）零点存在却难以计算表达；（2）零点存在却无法用显性代数式表达。给这类零点一个名字，就是隐零点，这种叫法是相对于可求出具体值的显零点而言的。 隐零点问题可谓是考察广泛。无论是简单的零点个数问题，还是函数最值问题（求函数最值本质是求其导函数的零点），抑或是含参恒成立问题，都避免不了分析函数零点或是导函数零点，而这些零点很有可能是隐零点。 不废话了，就直接介绍隐零点的解题思路吧！这里有三种思路—— 1. 降次留参，建立含参方程 1. 整体代换，化超越式为普通式 1. 反代消参，构造关于零点的函数 隐零点问题（1）降次留参，建立含参方程 下面就先介绍第一种思路——降次留参，建立含参方程。干巴巴地介绍不如直接用例题来得直观，就用题来介绍吧！ 【典例1】 已知函数 （1） 讨论 的单调性；（2） 设 有两个极值点 ，若过两点 ， 的直线 与 轴的交点在曲线 上，求 的值； （3） 函数 的图像与 轴有三个公共点，求 的取值范围 . 解析： （1） （2） （3） 注： 1. 对于第 （2） 问，利用极值点 与参数 之间的关系 ， ，把零点的次数不断降到一次为止，再利用设而不求的方法求出直线方程（两点确定一条直线）。再利用直线方程求出与 轴的交点，根据交点在曲线 上，建立只含参数 的方程，进而求得 的值。 对于第 （3） 问，等价转换为 ，再利用韦达定理转化为含参数 的不等式，求出参数 的取值范围。而这也是建立在第 （2） 问的降次留参。此种方法——降次留参，建立含参数的方程或不等式，主要应用于函数或导函数含幂结构的（此幂结构可以像这道例题一样仅有幂结构，也可以是幂结构作为主要分析的因式部分，见下一道例题），也即不只含指数结构的函数；另外，当原函数含对数结构时，求导后，导函数就变成了含幂结构的函数了，此时可能就可以使用了。 注意：含指数结构、对数结构并不是一定不能用，也可以将指数结构或是对数结构用幂结构表示后，整体代换掉。这也就是下面要介绍的解决隐零点问题的另一思路：整体代换将超越式转化为普通式。 为什么呢？很显然，因为只有幂结构的函数才可以降次，若用到韦达定理时也只有幂结构的方程才能使用韦达定理。不仅二次方程有韦达定理，三次或是更高次方程都有韦达定理。 【典例2】 已知函数 的定义域为 . （1） 当 取得最小值时，记函数 在 处的切线方程为 ，若 恒成立且 ，求 的最大值； （2） 若 有两个极值点 和 ，求证 （关注微信公众号：Hi数学派） 解析： （1） （2） 隐零点问题（2）整体代换，化超越式为普通式 先介绍以下三个概念 超越数 超越数的存在是由法国数学家刘维尔（Joseph Liouville，1809—1882）在1844年最早证明的。关于超越数的存在，刘维尔写出了下面这样一个无限小数： 并且证明取这个 不可能满足任何整系数代数方程，由此证明了它不是一个代数数，而是一个超越数。后来人们为了纪念他首次证明了超越数，所以把数 称为刘维尔数。 超越式 超越式是非代数式的解析式，指不能对变数字母和数用有限次加、减、乘、除、乘方、开方运算表示的解析式。它包括无理数指数式、对数式、三角函数式、反三角函数式、双曲函数式、幂指函数式等。初等数学运算分为初等代数运算和初等超越运算。一类是初等代数运算，包括加、减、乘、除、正整数次乘方、开方、有理数次乘方；另一类是初等超越运算，初等超越运算，包括无理数次乘方、指数、对数、三角、反三角等运算。根据运算不同，解析式分为两大类。对字母只进行初等代数运算的解析式称为代数式，如 等都是代数式。对字母进行了有限次初等超越运算的解析式，称为初等超越式，简称超越式，如：、 等，都是超越式。 超越方程 超越方程是包含超越函数的方程，也就是方程中有无法用自变数的多项式或开方表示的函数，与超越方程相对的是代数方程。超越方程的求解无法利用代数几何来进行。大部分的超越方程求解没有一般的公式，也很难求得解析解。 当一元方程 的左端函数 不是 的多项式时，称之为超越方程。如含有有未知量的对数函数、指数函数、三角函数、反三角函数等的方程等。例 ， 。 步入正题，还是用一简单的例题来介绍隐零点问题的第二种处理思路——整体代换，化超越式为普通式吧！ 【典例3】 设函数 （1） 讨论 的导函数 零点的个数； （2） 求证：当 时， 解析： （1） （2） 注： 这个题第⑵问是要证明：，只需证明 。 在 的零点取到。但是呢！ 是超越方程，无法求出其解，上面的解法没有直接求解 ，而是在形式上虚设。这样做就可以将满足 的两个等式，即 ， 代入 超越式 ，进而化为普通代数式。 【典例4】 已知函数 （1） 设 是 的极值点，求 并讨论 的单调性； （2） 当 时，证明： .解析： （1） （2） 注： 这道高考题的解题步骤中，在确定函数的导函数 在 上存在唯一的零点 后，无法直接求出 即为隐零点。在形式上虚设后，通过对 满足的等式条件： ， 合理代换使用后，将超越式 转化为普通代数式 隐零点问题（3）反代消参，构造关于零点的函数 隐零点问题的第三种解决思路——反代消参，构造关于零点的单一函数。 就不多废话了，按惯例直接上例题分析吧！ 【典例5】 已知函数 ， 曲线 在点 处的切线与 轴交点的横坐标为 . 证明：当 时，曲线 与直线 只有一个交点 .解析： （1） （2） 注： 老样子，做完一道题要养成再回看一遍的习惯，因为这样做可以从整体上把握这道题在考什么，出题人的考察意图，而且还有可能得到一般性的结论哦！ 当 时，这道题就可以转化为 ． 是可以直接求出的，即 ，但是直接证明关于 的不等式 让人无从着手，但是当虚设零点 ，采用反代消去参数的方法，用零点 来表示参数有 这样就比较巧妙地回避了复杂的计算。 再来看另一道例题吧！这道题的思路也是采用虚设零点，用零点表示参数，进行反代消参。 【典例6】 设函数 有两个极值点，证明： 的极小值大于 解析： 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 第 1 页 共 4 页 ) 导数隐零点技巧 隐零点问题是在解决函数零点问题中抽象出来的一类问题。这类问题的特点是函数或是导函数的零点无法直接求解，即（1）零点存在却难以计算表达；（2）零点存在却无法用显性代数式表达。给这类零点一个名字，就是隐零点，这种叫法是相对于可求出具体值的显零点而言的。 隐零点问题可谓是考察广泛。无论是简单的零点个数问题，还是函数最值问题（求函数最值本质是求其导函数的零点），抑或是含参恒成立问题，都避免不了分析函数零点或是导函数零点，而这些零点很有可能是隐零点。 不废话了，就直接介绍隐零点的解题思路吧！这里有三种思路—— 1. 降次留参，建立含参方程 1. 整体代换，化超越式为普通式 1. 反代消参，构造关于零点的函数 隐零点问题（1）降次留参，建立含参方程 下面就先介绍第一种思路——降次留参，建立含参方程。干巴巴地介绍不如直接用例题来得直观，就用题来介绍吧！ 【典例1】 已知函数 （1） 讨论 的单调性； （2） 设 有两个极值点 ，若过两点 ， 的直线 与 轴的交点在曲线 上，求 的值； （3） 函数 的图像与 轴有三个公共点，求 的取值范围 . 解析： （1） 暂略 （2） ，由题设知 为方程 的两个根，故有 ，即 ，且 因此 同理 因此直线 的方程为 设 与 轴的交点为 得 而 由题设知，点 在曲线 上， 故 ，解得 ，， 所以 的值为 ，， （3） 函数 的图像与 轴有三个公共点 有极大值极小值且两个极值异号 有两个零点 ，即 的两个极值异号 即 又因为 为方程 的两个根 由韦达定理有 ， 代入化简得 解得 综上可知，函数 的图像与 轴有三个公共点时， 的取值范围为 注： 1. 对于第 （2） 问，利用极值点 与参数 之间的关系 ， ，把零点的次数不断降到一次为止，再利用设而不求的方法求出直线方程（两点确定一条直线）。再利用直线方程求出与 轴的交点，根据交点在曲线 上，建立只含参数 的方程，进而求得 的值。 1. 对于第 （3） 问，等价转换为 ，再利用韦达定理转化为含参数 的不等式，求出参数 的取值范围。而这也是建立在第 （2） 问的降次留参。 此种方法——降次留参，建立含参数的方程或不等式，主要应用于函数或导函数含幂结构的（此幂结构可以像这道例题一样仅有幂结构，也可以是幂结构作为主要分析的因式部分，见下一道例题），也即不只含指数结构的函数；另外，当原函数含对数结构时，求导后，导函数就变成了含幂结构的函数了，此时可能就试用了。 注意：含指数结构、对数结构并不是一定不能用，也可以将指数结构或是对数结构用幂结构表示后，整体代换掉。这也就是下面要介绍的解决隐零点问题的另一思路：整体代换将超越式转化为普通式。 为什么呢？很显然，因为只有幂结构的函数才可以降次，若用到韦达定理时也只有幂结构的方程才能使用韦达定理。不仅二次方程有韦达定理，三次或是更高次方程都有韦达定理。 【典例2】 已知函数 的定义域为 . （1） 当 取得最小值时，记函数 在 处的切线方程为 ，若 恒成立且 ，求 的最大值； （2） 若 有两个极值点 和 ，求证 解析： （1） 由题意函数定义域为 ，所以 即 的最小值为 ，所以 ， ， 所以 ，因为 恒成立， 即 恒成立 当 时，显然成立， 令 ， ，则 因为 且 ，所以 的最大值为 . （2） ① 先证明 令 则 当 时， 当 时， ， 所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增 所以 所以 由于 故 和 是方程 的实根， 所以 ， 所以 令 ， ② 再证明 当 时， ；当 时， ； 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 所以 则 所以 得证 . 隐零点问题（2）整体代换，化超越式为普通式 先介绍以下三个概念 超越数 超越数的存在是由法国数学家刘维尔（Joseph Liouville，1809—1882）在1844年最早证明的。关于超越数的存在，刘维尔写出了下面这样一个无限小数： 并且证明取这个 不可能满足任何整系数代数方程，由此证明了它不是一个代数数，而是一个超越数。后来人们为了纪念他首次证明了超越数，所以把数 称为刘维尔数。 超越式 超越式是非代数式的解析式，指不能对变数字母和数用有限次加、减、乘、除、乘方、开方运算表示的解析式。它包括无理数指数式、对数式、三角函数式、反三角函数式、双曲函数式、幂指函数式等。 初等数学运算分为初等代数运算和初等超越运算。一类是初等代数运算，包括加、减、乘、除、正整数次乘方、开方、有理数次乘方；另一类是初等超越运算，初等超越运算，包括无理数次乘方、指数、对数、三角、反三角等运算。根据运算不同，解析式分为两大类。对字母只进行初等代数运算的解析式称为代数式，如 等都是代数式。对字母进行了有限次初等超越运算的解析式，称为初等超越式，简称超越式，如：、 等，都是超越式。 超越方程 超越方程是包含超越函数的方程，也就是方程中有无法用自变数的多项式或开方表示的函数，与超越方程相对的是代数方程。超越方程的求解无法利用代数几何来进行。大部分的超越方程求解没有一般的公式，也很难求得解析解。 当一元方程 的左端函数 不是 的多项式时，称之为超越方程。如含有有未知量的对数函数、指数函数、三角函数、反三角函数等的方程等。例 ， 。 步入正题，还是用一简单的例题来介绍隐零点问题的第二种处理思路——整体代换，化超越式为普通式吧！ 【典例3】 设函数 （1） 讨论 的导函数 零点的个数； （2） 求证：当 时， 解析： （1） 当 时， 在 恒成立，所以 没有零点； 当 时， 在 单调递增 又 ， ， ， 所以 存在一个零点 . （2） 设 的唯一零点为 ， 由 （1） 可知 ，当 ， ， 单调递减；当 ， ， 单调递增 所以 取最小值 ， 又 ，所以 取对数得 所以 得证. 注： 这个题第⑵问是要证明：，只需证明 。 在 的零点取到。但是呢！ 是超越方程，无法求出其解，上面的解法没有直接求解 ，而是在形式上虚设。这样做就可以将满足 的两个等式，即 ， 代入 超越式 ，进而化为普通代数式。 【典例4】 已知函数 （1） 设 是 的极值点，求 并讨论 的单调性； （2） 当 时，证明： . 解析： （1） ， 的增区间为 ，减区间为 （2） 当 时， 则 所以 令 ， 在 上单调递增 又 ， 存在唯一的 ，使 所以当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增； 又 ， 故 ，即 又 ，所以 注： 这道高考题的解题步骤中，在确定函数的导函数 在 上存在唯一的零点 后，无法直接求出 即为隐零点。在形式上虚设后，通过对 满足的等式条件： ， 合理代换使用后，将超越式 转化为普通代数式 隐零点问题（3）反代消参，构造关于零点的函数 这篇文章就来介绍隐零点问题的第三种解决思路——反代消参，构造关于零点的单一函数。 就不多废话了，按惯例直接上例题分析吧！ 【典例5】 已知函数 ， 曲线 在点 处的切线与 轴交点的横坐标为 . 证明：当 时，曲线 与直线 只有一个交点 . 解析： 曲线 与直线 只有一个交点 的图象与 轴只有一个交点 . （1） 当 ，即 时， 所以 在 上为增函数 因为 ， 所以存在唯一 使得 所以 的图象与 轴只有一个交点 （2） 当 ，即 时， 有两个零点 ，设 ， 所以 当 时， ， 在 内为增函数； 当 时，， 在 内为减函数； 当 时， ， 在 内为增函数； 所以 的极小值点是 所以 的图象与 轴只有一个交点，只需要 由 得 则 设 ， 故 在 上为减函数， 于是可得 所以 当 时，的图象与 轴只有一个交点 . 综上 （1） （2） 可知，当 时，曲线 与直线 只有一个交点 . 注： 老样子，做完一道题要养成再回看一遍的习惯，因为这样做可以从整体上把握这道题在考什么，出题人的考察意图，而且还有可能得到一般性的结论哦！ 当 时，这道题就可以转化为 ． 是可以直接求出的，即 ，但是直接证明关于 的不等式 让人无从着手，但是当虚设零点 ，采用反代消去参数的方法，用零点 来表示参数有 这样就比较巧妙地回避了复杂的计算。 再来看另一道例题吧！这道题的思路也是采用虚设零点，用零点表示参数，进行反代消参。 【典例6】 设函数 有两个极值点，证明： 的极小值大于 解析： 令 ，函数 有两个极值点 在 上有两个不等实根 设 是方程 的两个均大于 的不相等的实根，且 由 ，其对称轴为 ，所以 当 时， ， 在 内为增函数； 当 时， ， 在 内为减函数； 当 时， ， 在 内为增函数； 所以 的极大值点是 ， 的极小值点是 ， 由 得 所以 设 ，其中 则 当 时， ， 在 上单调递增. 所以，当 时， 学科网（北京）股份有限公司 $$