精品解析：福建省厦门市大同中学2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

厦门市大同中学2024-2025学年八（下）期末考试 数学试卷 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分，每小题有且只有一个选项正确） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的概念．根据最简二次根式的定义即可得出答案． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B．是最简二次根式，故该选项符合题意； C．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意． 故选：B． 2. 下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（　　） A. 4，5，6 B. 5，7，12 C. 1，1， D. 1，，3 【答案】C 【解析】 【分析】根据判断即可； 【详解】，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C符合题意； ，故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理的应用，准确计算是解题的关键． 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等，进行作答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ 故选：C． 4. 在平面直角坐标系中，正比例函数y ＝kx（k＜0）的图象的大致位置只可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 5. 某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人的体育考试分数，并对此进行统计，如图所示．关于这60人的分数，下列说法正确的是（ ） A. 中位数是12 B. 中位数是75 C. 众数是21 D. 众数是85 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了众数与中位数，一组数据中出现次数最多的数叫做众数；把一组数据按大小排列，最中间一个（奇数个数据）或两个（偶数个数据）数据的平均数是中位数，按照这两个概念进行求解即可． 【详解】解：从统计图知，85分出现的次数最多，故众数是85；把分数按大小排列，最中间的两个数是第30与31个数，而，故中位数是；故只有选项D正确； 故选：D． 6. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，其《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题：如图，在中，，，．若设，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据，之间的关系，可得出，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，此题得解 【详解】解：，， ． 依题意得：， 即． 故选：D． 7. 将二次函数的图像向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到的新函数图像的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移规律，先根据“左加右减，上加下减”的平移规律，确定新函数的解析式，再得出顶点坐标，即可作答． 【详解】解：∵向左平移3个单位， ∴函数变为， ∵向下平移2个单位， ∴函数变为， ∴新函数顶点坐标为， 故选：C． 8. 如图，在中，，，D，E，F分别为，，的中点，若，则的长度为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，含直角三角形的性质，三角形中位线定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据直角三角形斜边中线的性质和含直角三角形的性质得出，再根据三角形中位线判定定理得，即可求出的长度． 【详解】解：依题意，如图所示： ∵在中，点D为斜边中点，， ∴， 即 ∵E，F分别为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵ ∴ 故选：D 9. 如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，OA=OB，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8，则该直线的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设 P点坐标为（x，y），由坐标的意义可知 PC＝x，PD＝y，根据围成的矩形的 周长为 8，可得到 x、y之间的关系式． 【详解】如图，过点分别作轴，轴，垂足分别为、， 设点坐标为， 点在第一象限， ，， 矩形的周长为8， ， ， 即该直线的函数表达式是， 故选． 【点睛】本题主要考查矩形的性质及一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的 坐标都满足函数关系式 y＝kx+b．根据坐标的意义得出 x、y之间的关系是解题的关键． 10. 如图①，在正方形中，点M是的中点，设，．已知y与x之间的函数图象如图②所示，点是图象上的最低点，那么正方形的边长的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由A、C关于对称，推出，推出，推出当M、N、C共线时，的值最小，连接，由图象可知，就可以求出正方形的边长． 【详解】解：如图，连接交于点O，连接，连接交于点． ∵四边形是正方形， ∴A、C关于对称， ∴， ∴， ∵当M、N、C共线时，的值最小， ∴y的值最小就是的长， ∴， 设正方形的边长为，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴（负值已舍）， ∴正方形的边长为4． 故选：C． 【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到正方形的性质，轴对称的性质，利用勾股定理求线段长是解题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 12. 如图，在中，添加一个条件________，可使是矩形． 【答案】（或） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，根据对角线相等的平行四边形是矩形，进行作答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴添加一个条件：或，可使是矩形． 故答案为：（或） 13. 已知y与成正比例，并且＝－1时，y＝6，则y与的函数关系式为________． 【答案】y=-6x 【解析】 【分析】设y=kx，将＝－1时，y＝6代入求出k即可得到答案. 【详解】设y=kx，将＝－1时，y＝6代入，得-k=6， 解得k=-6， ∴y=-6x 故答案为：y=-6x. 【点睛】此题考查待定系数法求函数解析式，将x与y的对应值代入设定的函数解析式中解答. 14. 如图，有一张矩形纸片，先对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕，同时得到线段，．观察所得线段，若，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、菱形的判定与性质、勾股定理，垂直平分线等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．设与交于点，连接，先根据折叠的性质可得，垂直平分，，，再证出四边形是菱形，从而可得，然后在中，利用勾股定理求解得，再在中，把数值代入，进行计算即可作答．． 【详解】解：如图，设与交于点，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵对折矩形，使与重合， ∴垂直平分，，， ∵折叠 ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴， 在中， 设 在中， 即 解得 ∴ 故答案为：． 15. 某校八年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个2）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 205 217 208 217 方差 4.6 4.6 6.9 9.6 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择______． 【答案】乙同学 【解析】 【分析】本题考查的是运用方差和平均数作决策，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定是解题的关键．根据平均环数比较成绩的优劣，根据方差比较数据的稳定程度． 结合表中数据，先找出平均数最大的同学；再根据方差的意义，找出方差最小的同学即可． 【详解】解：从平均数的角度分析， ∴乙和丁同学平均成绩最高， 从方差角度分析， ∴乙和甲方差最小，最稳定， ∴选择乙同学参加比赛， 故答案为：乙同学 16. 如图，菱形的面积为48，点E是的中点，点F是上的动点．若的面积为8，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中线的性质，利用菱形的性质、三角形中线的性质求出，，根据和菱形的面积求出，，则可求出的面积，然后利用求解即可． 【详解】解：连接， ∵菱形的面积为48，点E是的中点，的面积为8， ∴，， 设菱形中边上的高为h， 则，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：20． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质进行化简，再运算加减，即可作答． （2）先根据完全平方公式，平方差公式展开，再运算乘法以及去括号，最后运算加减，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 则， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 则或， ∴， 19. 如图，四边形中，，，两条对角线，相交于点O，，，．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 即， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，勾股定理的逆定理，先根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得四边形是平行四边形，所以，因为，故，即可作答． 【详解】略 20. 果园里有100棵梨树，在收获前，果农常会先估计果园里梨的产量． （1）果农从100棵梨树中任意选出10棵，数出这10棵梨树上梨的个数，得到以下数据：154，150，155，155，159，150，152，155，153，157．你能估计出平均每棵树的梨的个数吗？ （2）果农从这10棵梨树的每一棵树上分别随机摘4个梨，这些梨的质量分布如下表： 梨的质量 频数 4 12 16 8 你能估计出这批梨的平均质量吗？ （3）根据果农的调查，目前市场上梨的收购价是10元，假设该果园的梨全部被收购，你能估计该果农的梨的收入吗？ 【答案】（1）能，个 （2）能，这批梨的平均质量为 （3）能，该果农的梨的收入为元． 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，求平均数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平均数的定义进行列式，代入数值计算，即可作答． （2）结合表格数据，运用平均数的定义进行列式，代入数值计算，即可作答． （3）先结合（1）得平均每棵树的梨的个数为个，以及（2）得梨的平均质量为，且梨的收购价是10元，进行列式计算，得出该果农的梨的收入，即可作答． 【小问1详解】 解：能，过程如下： 依题意，（个） ∴平均每棵树的梨的个数为个 【小问2详解】 解：能，过程如下： 依题意，， ∴这批梨的平均质量为． 【小问3详解】 解：能，过程如下： 依题意，（元） ∴该果农的梨的收入为元． 21. 如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指间的距离称为指距．某项研究表明，一般情况下人的身高h是指距d的函数．下表是测得的指距与身高的一组数据： 指距 20 21 22 23 身高 160 169 178 187 （1）求出h与d之间的函数解析式（不要求写出自变量d的取值范围）． （2）某篮球运动员的身高为，一般情况下他的指距应是多少？ 【答案】（1） （2）一般情况下他的指距应是 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法确定一次函数解析式，根据函数式求自变量值，理解函数与方程的联系是解题的关键． （1）根据表格的数据以及人的身高h是指距d的函数，运用待定系数法求解； （2）根据解析式，将自变量值、函数值代入解析式，解方程求得答案． 【小问1详解】 解：依题意，设h与d之间的函数关系式为， 根据题意可得， 解得， ∴h与d之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：依题意，， 由（1）得， 则把代入， 得， 解得， ∴一般情况下他的指距应是． 22. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求该二次函数的解析式； （2）取五点，填写列表，然后在图中画出函数的图象． （要求：画出具有对称美的图象．） x … … y … … （3）若，求y的取值范围． 【答案】（1） （2） 填表如下： x … … y … 3 0 0 3 … 描点画图如下 （3） 【解析】 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质． （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）填表进而描点连线画出函数图象即可； （3）先计算出当时的函数值，再根据函数图象的顶点坐标即可求解． 【小问1详解】 解；∵二次函数的图象经过点，． ∴ 解得 ∴该二次函数的解析式为 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，， 当时，， ，顶点坐标为，即时，有最小值为， ∴根据函数图象可得当的y的取值范围为． 23. 【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】 小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】 如图②，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）的大小为 度，线段长度的最小值为________． 【方法应用】 某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为多少米． 【答案】问题解决：（1）证明：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线， 四边形是平行四边形， ； （2）30，； 方法应用：线段长度的最小值为米 【解析】 【分析】（1）过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，根据平行四边形性质证明结论即可； （2）先证明，根据垂线段最短求出最小值； （3）过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接，求出，进而得，利用垂线段最短求出即可． 【详解】问题解决：（1）略； （2）在等边中，， ； 当时，最小，此时最小， 在中， ， 线段长度的最小值为； 方法应用：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 当时，最小，此时最小， 作于点R， 在中， ， 在中， ， 线段长度的最小值为米． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质，垂线段最短及矩形性质，熟练掌握相关性质是解题关键． 24. 如图，A，B是直线与两坐标轴的交点，直线过点A，与x轴交于点C． （1）求直线的解析式及点C的坐标． （2）点D是折线上一动点． ①尺规作图：当点D是线段的中点时，在如图1中的y轴上找一点E，使最小（用无刻度的直尺和圆规画出点E的位置，保留作图痕迹，不要求写作法和证明），并求出点E的坐标； ②探究是否存在点D，使为直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）①如图， ； ②存在，D点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A，B的坐标，将点A坐标代入求出m可得直线的解析式，然后即可求出点C坐标； （2）①如图1，作，连接交y轴于E，点E即为所求，根据点A，B坐标求出，，求出直线的解析式，即可得到E点的坐标； ②当点D在AB上时，由得，根据等腰直角三角形的性质得到点D横坐标，进而可得点D坐标；当点D在上时，设交y轴于点F，证明，根据全等三角形的性质求出点F坐标，然后求出直线的解析式，联立解析式求出点D坐标即可． 【小问1详解】 解：在中， 令，得； 令，得，则 ∴， 把代入，则 得， ∴直线解析式为：． 即直线的解析式为：． 在中， 令，得，， ∴C点的坐标为； 【小问2详解】 ①作，连接交y轴于E，点E即为所求； ∵点D是的中点，， ∴， 点B关于y轴的对称点的坐标为， 设直线的解析式为， 把代入， 得， 解得：， 故直线的解析式为：， 令，得 ∴E点的坐标为； ②存在，D点的坐标为或； 当点D在上，时， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴点D在线段的垂直平分线上， ∵，， ∴点D的横坐标为， 把代入得：， ∴D； 当点D在上，时，如图，设交y轴于点F． ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴点F的坐标为， 设直线的解析式为， 代入， ， 得， 解得：， ∴直线的解析式为y=x＋3， 依题意，联立， 解得： ∴点D的坐标为 综上，D点的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数的综合题，难度适中，考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、轴对称最短路径问题、一次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用是解题的关键． 25. 在正方形中，点是边上任意一点，连接，过点作于，交于． （1）如图，过点作于，求证：； （2）如图，点E为的中点，连接，求证：； （3）如图，，连接，点为的中点，在点从点运动到点的过程中，点随之运动，请直接写出点运动的路径长． 【答案】（1） 证明：四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2） 证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点为的中点， ， ， 如下图所示，过点作，交的延长线于点， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，， ； （3）． 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得：，，根据同角的余角相等可得，利用可证； 利用可证，根据全等三角形的性质可证，过点作，交的延长线于点，可证，根据全等三角形的性质可证：，利用勾股定理可证结论成立； 作的中点，的中点，连接，因为点在边上运动，点在上运动，点是的中点，可知点的运动轨迹是连接、中点的线段，利用勾股定理求出的长度即为点运动的路径长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如下图所示，作的中点，的中点，连接， 当点与点重合时，点与点重合，则线段与重合， 点在的中点的位置， 当点与点重合时，点与点重合，则线段与重合， 点在的中点的位置， 随着点、的运动，点在线段上运动， ， ， 在中， 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、动点问题．解决本题的关键是根据点、的运动路径找到点的运动轨迹，根据点的运动轨迹求出点运动的路径长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市大同中学2024-2025学年八（下）期末考试 数学试卷 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分，每小题有且只有一个选项正确） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（　　） A. 4，5，6 B. 5，7，12 C. 1，1， D. 1，，3 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，正比例函数y ＝kx（k＜0）的图象的大致位置只可能是（ ） A. B. C. D. 5. 某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人的体育考试分数，并对此进行统计，如图所示．关于这60人的分数，下列说法正确的是（ ） A. 中位数是12 B. 中位数是75 C. 众数是21 D. 众数是85 6. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，其《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题：如图，在中，，，．若设，则可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 将二次函数的图像向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到的新函数图像的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，D，E，F分别为，，的中点，若，则的长度为（ ） A. B. 3 C. D. 4 9. 如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，OA=OB，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8，则该直线的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 10. 如图①，在正方形中，点M是的中点，设，．已知y与x之间的函数图象如图②所示，点是图象上的最低点，那么正方形的边长的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 12. 如图，在中，添加一个条件________，可使是矩形． 13. 已知y与成正比例，并且＝－1时，y＝6，则y与的函数关系式为________． 14. 如图，有一张矩形纸片，先对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕，同时得到线段，．观察所得线段，若，则_______． 15. 某校八年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个2）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均数 205 217 208 217 方差 4.6 4.6 6.9 9.6 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择______． 16. 如图，菱形的面积为48，点E是的中点，点F是上的动点．若的面积为8，则图中阴影部分的面积为______． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 如图，四边形中，，，两条对角线，相交于点O，，，．求证：四边形是菱形． 20. 果园里有100棵梨树，在收获前，果农常会先估计果园里梨的产量． （1）果农从100棵梨树中任意选出10棵，数出这10棵梨树上梨的个数，得到以下数据：154，150，155，155，159，150，152，155，153，157．你能估计出平均每棵树的梨的个数吗？ （2）果农从这10棵梨树的每一棵树上分别随机摘4个梨，这些梨的质量分布如下表： 梨的质量 频数 4 12 16 8 你能估计出这批梨的平均质量吗？ （3）根据果农的调查，目前市场上梨的收购价是10元，假设该果园的梨全部被收购，你能估计该果农的梨的收入吗？ 21. 如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指间的距离称为指距．某项研究表明，一般情况下人的身高h是指距d的函数．下表是测得的指距与身高的一组数据： 指距 20 21 22 23 身高 160 169 178 187 （1）求出h与d之间的函数解析式（不要求写出自变量d的取值范围）． （2）某篮球运动员的身高为，一般情况下他的指距应是多少？ 22. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求该二次函数的解析式； （2）取五点，填写列表，然后在图中画出函数的图象． （要求：画出具有对称美的图象．） x … … y … … （3）若，求y的取值范围． 23. 【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】 小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】 如图②，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）的大小为 度，线段长度的最小值为________． 【方法应用】 某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为多少米． 24. 如图，A，B是直线与两坐标轴的交点，直线过点A，与x轴交于点C． （1）求直线的解析式及点C的坐标． （2）点D是折线上一动点． ①尺规作图：当点D是线段的中点时，在如图1中的y轴上找一点E，使最小（用无刻度的直尺和圆规画出点E的位置，保留作图痕迹，不要求写作法和证明），并求出点E的坐标； ②探究是否存在点D，使为直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 在正方形中，点是边上任意一点，连接，过点作于，交于． （1）如图，过点作于，求证：； （2）如图，点E为的中点，连接，求证：； （3）如图，，连接，点为的中点，在点从点运动到点的过程中，点随之运动，请直接写出点运动的路径长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $