综合测试(二)-【新课程暑假作业】2024-2025学年高一数学暑假作业

暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 1. 设 （ 1+i ） x=1+yi ， 其中 x ， y 是实数 ， 则 ｜x+yi｜= （ ） A. 1 B. 2 姨 C. 3 姨 D. 2 2. 一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形 A′B′O′ ， 若 O′B′=1 ， 那么原 △ABO 的面积是 （ ） A. 1 2 B. 2 姨 2 C. 2 姨 D. 2 2 姨 3. 若 a 为实数 ， 且 2+ai 1+i =3+i ， 则 a= （ ） A. -4 B. -3 C. 3 D. 4 4. △ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c. 已知 a= 5 姨 ， c=2 ， cosA= 2 3 ， 则 b= （ ） A. 2 姨 B. 3 姨 C. 2 D. 3 5. 琢 是一个平面 ， m ， n 是两条直线 ， A 是一个点 ， 若 m埭琢 ， n奂琢 ， 且 A∈m ， A∈琢 ， 则 m ， n 的位置关系不可能是 （ ） A. 垂直 B. 相交 C. 异面 D. 平行 6. 已知 A ， B 是球 O 的球面上两点 ， ∠AOB=90° ， C 为该球面上的动点 ， 若三棱锥 O鄄ABC 体积的最大值为 36 ， 则球 O 的表面积为 （ ） A. 36仔 B. 64仔 C. 144仔 D. 256仔 7. 已知某正三棱柱 ABC鄄A 1 B 1 C 1 外接球的表面积为 8 ３ 姨 仔 ， 则该三棱柱侧面积的最大值 为 （ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 8. 《 九章算术 》 是我国古代内容极为丰富的数学名著 ， 书中有如下问 题 ： 今有黍米依垣内角 ， 下周八尺 ， 高五尺 . 问 ： 积及为米几何 ？ 其意思 为 ： 在屋内墙角处堆放米 （ 如图 ， 米堆为一个圆锥的四分之一 ）， 米堆底 部的弧长为 8 尺 ， 米堆的高为 5 尺 . 问 ： 米堆的体积和堆放的米各为多 综合测试 （二） x′ y′ A′ B′ O′ 第 2 题图 能力 · 提升 第 8 题图 夯实 · 基础 64 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高一数学 第 周 年 月 日 少 ？ 已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺 ， 圆周率约为 3 ， 则估算出堆放的米约有 （ ） A. 14 斛 B. 22 斛 C. 36 斛 D. 66 斛 9. 在 △ABC 中 ， 角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， 且 sin 2 A+sin 2 C-sinAsinC=sin 2 B. （ 1 ） 求角 B 的大小 ； （ 2 ） 若 △ABC 为锐角三角形 ， 其外接圆的半径为 5 3 姨 3 ， 求 △ABC 的周长的取值范围 . 10. 如图 ， 矩形 ABCD 所在平面与半圆弧 C C D 所在平面垂直 ， M 是 C C D 上异于 C ， D 的点 . （ 1 ） 求证 ： 平面 AMD⊥ 平面 BMC. （ 2 ） 在线段 AM 上是否存在点 P ， 使得 MC∥ 平面 PBD ？ 请说明理由 . 拓展 · 探究 M C D A B 第 10 题图 65 暑 假 作 业 新课程 B C C 1 B 1 F E G A A 1 ∴EF∥ 平面 BCC 1 B 1 . （ 3 ） 连接 EB ， 则四边形 EFGB 为平行四边形 ， ∵EB⊥AC 1 ， ∴FG⊥AC 1 . ∵BC⊥ 平面 ABC 1 ， ∴B 1 C 1 ⊥ 平面 ABC 1 ， ∴B 1 C 1 ⊥BE. 又 ∵BE∥FG ， ∴FG⊥B 1 C 1 . 又 ∵B 1 C 1 ∩AC 1 ＝C 1 ， ∴GF⊥ 平面 AB 1 C 1 . 11.3 空间中的垂直关系 （ 三 ） 1. 略 2. 略 3. 证明 ： （ 1 ） 如图 ， 连接 A 1 B ， A 1 C ， ∵E ， F 分别是侧面 AA 1 B 1 B 和侧面 AA 1 C 1 C 的对角 线的交点 ， ∴E ， F 分别是 A 1 B ， A 1 C 的中点 ， ∴EF∥BC. ∵BC奂 平面 ABC ， EF埭 平面 ABC ， ∴EF∥ 平面 ABC. （ 2 ） ∵ 三棱柱 ABC鄄A 1 B 1 C 1 为正三棱柱 ， ∴AA 1 ⊥ 平面 ABC. ∵BC奂 平面 ABC ， ∴AA 1 ⊥BC. 又 ∵EF∥BC ， ∴AA 1 ⊥EF. ∵D 是棱 BC 的中点 ， △ABC 为正三角形 ， ∴BC⊥AD. 由 EF∥BC 得 EF⊥AD ， 而 AA 1 ∩AD=A ， AA 1 ， AD奂 平面 A 1 AD ， ∴EF⊥ 平面 A 1 AD. 又 ∵EF奂 平面 AEF ， ∴ 平面 AEF⊥ 平面 A 1 AD. 4. ②③ 综合测试 （ 二 ） 1. B 2. C 3. D 4. D 5. D 6. C 7. B 8. B 9. 解 ： （ 1 ） △ABC 中 ， 由 sin 2 A+sin 2 C-sinAsinC=sin 2 B ， 得 a 2 +c 2 -ac=b 2 ， 即 a 2 +c 2 -b 2 =ac ， ∴cosB= a 2 +c 2 -b 2 2ac = ac 2ac = 1 2 . 又 ∵B∈ （ 0 ， π ）， ∴B= π 3 . （ 2 ） 由 （ 1 ） 知 B= π 3 ， 且外接圆的半径为 5 3 姨 3 ， 由正弦定理得 b sin π 3 =2R ， b=2× 5 3 姨 3 × 3 姨 2 =5. 由正弦定理 得 a sinA = c sinC =2R= 10 3 姨 3 ， ∴a+c= 10 3 姨 3 （ sinA+sinC ）， A+C= 2π 3 ， ∴a+c= 10 3 姨 3 sinA+sin 2π 3 - - * A A , = 10 3 姨 3 × 3 2 sinA+ 3 姨 2 cos s . A =10sin A+ π 6 s * . 又 ∵△ABC 为锐角三角形 ， ∴0<A< π 2 ， 且 0<C< π 2 . 又 ∵C= 2π 3 -A ， ∴ π 6 <A< π 2 ， ∴ π 3 <A+ π 6 < 2π 3 ， ∴ 3 姨 2 <sin A+ π 6 s * ≤1 ， ∴5 3 姨 <a+c≤10 ， 即 △ABC 周长的取值范围是 （ 5+5 3 姨 ， 15 ］ . 10. （ 1 ） 证明 ： ∵ 矩形 ABCD 所在平面与半圆弧 C s D 所在平面垂直 ， ∴AD⊥ 半圆弧 C s D 所在 平面 ， CM奂 半圆弧 C s D 所在平面 ， ∴CM⊥AD. ∵M 是 C s D 上异于 C ， D 的点 ， ∴CM⊥DM. 又 ∵DM∩AD=D ， ∴CM⊥ 平面 AMD. ∵CM奂 平面 CMB ， ∴ 平面 AMD⊥ 平面 BMC. （ 2 ） 解 ： 存在 ， P 是 AM 的中点 . 理由 ： 如图 ， 连接 BD 交 AC 于点 O ， 取 AM 的中点 P ， 连接 OP ， 可得 MC∥OP ， MC埭 平 面 BDP ， OP奂 平面 BDP ， ∴MC∥ 平面 PBD. A 1 B 1 C 1 D F A B C E 第 3 题答图 第 10 题答图 第 7 题答图 A M C P D O B 76