11.3 空间中的垂直关系(二)-【新课程暑假作业】2024-2025学年高一数学暑假作业

高一数学 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 △ABD ， △BCD 的重心 ， 则有 BM MP = BN NF = BG GH =2. 连接 PF ， FH ， PH ， 有 MN∥PF ， 又 PF奂 平面 ACD ， MN埭 平面 ACD ， ∴MN∥ 平面 ACD. 同理 MG∥ 平面 ACD ， MG∩MN＝M ， ∴ 平面 MNG∥ 平面 ACD. （ 2 ） 解 ： 由 （ 1 ） 可知 MG PH = BG BH = 2 3 ， ∴MG= 2 3 PH. 又 ∵PH= 1 2 AD ， ∴MG= 1 3 AD. 同 理 NG= 1 3 AC ， MN= 1 3 CD ， ∴△MNG∽△DCA ， 其相似比为 1 ∶ 3. ∴S △MNG ∶ S △ACD ＝1 ∶ 9. 11.2 空间中的平行关系 （ 三 ） 1. B 2. D 3. 略 4. 证明 ： （ 1 ） 如图 ， 设 AC ， BE 的交点为 O ， 连接 PO. ∵AD∥BC ， AE=BC=AB ， ∴ 四边形 ABCE 是菱形 ， ∴AC⊥BE ， OA=OC. 又 ∵AC⊥PB ， BE ， PB奂 平面 PBE ， PB∩ BE=B ， ∴AC⊥ 平面 PBE. ∵PO奂 平面 PBE ， ∴AC⊥PO. 又 ∵OA=OC ， ∴△POA≌△POC ， ∴PA=PC. （ 2 ） 如图 ， 取 PE 的中点 M ， 连接 FM ， BM. ∵F ， M 分别是 PD ， PE 的中点 ， ∴MF ∥ 1 2 DE. ∵BC∥AD ， AD=3BC ， AE=BC ， ∴BC ∥ 1 2 DE ， ∴BC ∥ FM ， ∴ 四边形 BCFM 是平行四边形 ， ∴CF∥BM. 又 ∵BM奂 平面 PBE ， CF埭 平面 PBE ， ∴CF∥ 平面 PBE. 5. 证明 ： （ 1 ） 如图 ， 连接 SB ， ∵E ， G 分别是 BC ， SC 的中点 ， ∴EG∥SB. 又 ∵SB奂 平面 BDD 1 B 1 ， EG埭 平面 BDD 1 B 1 ， ∴ 直线 EG∥ 平面 BDD 1 B 1 . （ 2 ） 如图 ， 连接 SD ， ∵F ， G 分别是 DC ， SC 的中点 ， ∴FG∥SD. 又 ∵SD奂 平面 BDD 1 B 1 ， FG埭 平面 BDD 1 B 1 ， ∴FG∥ 平面 BDD 1 B 1 . 又 ∵ 直线 EG∥ 平面 BDD 1 B 1 ， 且直线 EG奂 平面 EFG ， 直线 FG奂 平面 EFG ， EG∩FG=G ， ∴ 平面 EFG∥ 平面 BDD 1 B 1 . 6. A 11.3 空间中的垂直关系 （ 一 ） 1. B 2. B 3. D 4. D 5. 2 6. ①④⑤ 7. 证明 ： 如图 ， 作 AD∥BC ， BD∥AC 交于点 D ， 作 A 1 D 1 ∥B 1 C 1 ， B 1 D 1 ∥A 1 C 1 交于点 D 1 ， 连接 BD 1 ， DD 1 . ∵ 四边形 A 1 D 1 B 1 C 1 为菱形 ， ∴A 1 B 1 ⊥D 1 C 1 . 又 ∵AA 1 ⊥ 平面 A 1 D 1 B 1 C 1 ， ∴AA 1 ⊥D 1 C 1 ， 从而 D 1 C 1 ⊥ 平面 ABB 1 A 1 ， ∴D 1 C 1 ⊥AB 1 . 又 ∵AB 1 ⊥BC 1 ， ∴AB 1 ⊥ 平面 BC 1 D 1 ， ∴AB 1 ⊥BD 1 . ∵BD 1 ∥CA 1 ， ∴AB 1 ⊥A 1 C. 8. ①③④⑤ 11.3 空间中的垂直关系 （ 二 ） 1. D 2. D 3. C 4. ②③ 5. ③④ 6. 证明 ： （ 1 ） 如图 ， 取 EC 的中点 F ， 连接 DF ， ∵EC⊥ 平面 ABC ， ∴EC⊥BC ， 易知 DF∥BC ， ∴DF⊥EC. 在 Rt△EFD 和 Rt△DBA 中 ， ∵EF＝ 1 2 EC＝BD ， FD＝BC＝AB ， ∴Rt△EFD≌Rt△DBA ， ∴DE＝DA. （ 2 ） ∵MN 为 △ECA 的中位线 ， ∴MN ∥ 1 2 EC ， ∴MN∥BD ， ∴ 点 N 在平面 BDM 内 . ∵EC⊥ 平面 ABC ， ∴EC⊥BN. 又 ∵CA⊥BN ， EC∩CA＝C ， ∴BN⊥ 平面 ECA. ∵BN 在平面 MNBD 内 ， ∴ 平面 MNBD⊥ 平面 ECA. （ 3 ） ∵DM∥BN ， BN⊥ 平面 CAE ， ∴DM⊥ 平面 ECA. 又 ∵DM奂 平面 DEA ， ∴ 平面 DEA⊥ 平面 ECA. 7. 证明 ： （ 1 ） ∵BC⊥AB ， BC⊥BC 1 ， AB∩BC 1 ＝B ， ∴BC⊥ 平面 ABC 1 . 又 ∵BC奂 平面 ABC ， ∴ 平面 ABC⊥ 平面 ABC 1 . （ 2 ） ∵AE＝EC 1 ， A 1 F＝FC 1 ， ∴EF∥AA 1 . 又 ∵AA 1 ∥BB 1 ， ∴EF∥BB 1 . 又 ∵EF埭 平面 BCC 1 B 1 ， BB 1 奂 平面 BCC 1 B 1 ， 第 4 题答图 A B E C C 1 D 1 A 1 D F G S B 1 第 5 题答图 A B C D F P E M O 第 8 题答图 E F C M N A B D 第 6 题答图 A C B A 1 C 1 B 1 D 1 D 第 7 题答图 A D G N M F P H C B 75 暑 假 作 业 新课程 B C C 1 B 1 F E G A A 1 ∴EF∥ 平面 BCC 1 B 1 . （ 3 ） 连接 EB ， 则四边形 EFGB 为平行四边形 ， ∵EB⊥AC 1 ， ∴FG⊥AC 1 . ∵BC⊥ 平面 ABC 1 ， ∴B 1 C 1 ⊥ 平面 ABC 1 ， ∴B 1 C 1 ⊥BE. 又 ∵BE∥FG ， ∴FG⊥B 1 C 1 . 又 ∵B 1 C 1 ∩AC 1 ＝C 1 ， ∴GF⊥ 平面 AB 1 C 1 . 11.3 空间中的垂直关系 （ 三 ） 1. 略 2. 略 3. 证明 ： （ 1 ） 如图 ， 连接 A 1 B ， A 1 C ， ∵E ， F 分别是侧面 AA 1 B 1 B 和侧面 AA 1 C 1 C 的对角 线的交点 ， ∴E ， F 分别是 A 1 B ， A 1 C 的中点 ， ∴EF∥BC. ∵BC奂 平面 ABC ， EF埭 平面 ABC ， ∴EF∥ 平面 ABC. （ 2 ） ∵ 三棱柱 ABC鄄A 1 B 1 C 1 为正三棱柱 ， ∴AA 1 ⊥ 平面 ABC. ∵BC奂 平面 ABC ， ∴AA 1 ⊥BC. 又 ∵EF∥BC ， ∴AA 1 ⊥EF. ∵D 是棱 BC 的中点 ， △ABC 为正三角形 ， ∴BC⊥AD. 由 EF∥BC 得 EF⊥AD ， 而 AA 1 ∩AD=A ， AA 1 ， AD奂 平面 A 1 AD ， ∴EF⊥ 平面 A 1 AD. 又 ∵EF奂 平面 AEF ， ∴ 平面 AEF⊥ 平面 A 1 AD. 4. ②③ 综合测试 （ 二 ） 1. B 2. C 3. D 4. D 5. D 6. C 7. B 8. B 9. 解 ： （ 1 ） △ABC 中 ， 由 sin 2 A+sin 2 C-sinAsinC=sin 2 B ， 得 a 2 +c 2 -ac=b 2 ， 即 a 2 +c 2 -b 2 =ac ， ∴cosB= a 2 +c 2 -b 2 2ac = ac 2ac = 1 2 . 又 ∵B∈ （ 0 ， π ）， ∴B= π 3 . （ 2 ） 由 （ 1 ） 知 B= π 3 ， 且外接圆的半径为 5 3 姨 3 ， 由正弦定理得 b sin π 3 =2R ， b=2× 5 3 姨 3 × 3 姨 2 =5. 由正弦定理 得 a sinA = c sinC =2R= 10 3 姨 3 ， ∴a+c= 10 3 姨 3 （ sinA+sinC ）， A+C= 2π 3 ， ∴a+c= 10 3 姨 3 sinA+sin 2π 3 - - * A A , = 10 3 姨 3 × 3 2 sinA+ 3 姨 2 cos s . A =10sin A+ π 6 s * . 又 ∵△ABC 为锐角三角形 ， ∴0<A< π 2 ， 且 0<C< π 2 . 又 ∵C= 2π 3 -A ， ∴ π 6 <A< π 2 ， ∴ π 3 <A+ π 6 < 2π 3 ， ∴ 3 姨 2 <sin A+ π 6 s * ≤1 ， ∴5 3 姨 <a+c≤10 ， 即 △ABC 周长的取值范围是 （ 5+5 3 姨 ， 15 ］ . 10. （ 1 ） 证明 ： ∵ 矩形 ABCD 所在平面与半圆弧 C s D 所在平面垂直 ， ∴AD⊥ 半圆弧 C s D 所在 平面 ， CM奂 半圆弧 C s D 所在平面 ， ∴CM⊥AD. ∵M 是 C s D 上异于 C ， D 的点 ， ∴CM⊥DM. 又 ∵DM∩AD=D ， ∴CM⊥ 平面 AMD. ∵CM奂 平面 CMB ， ∴ 平面 AMD⊥ 平面 BMC. （ 2 ） 解 ： 存在 ， P 是 AM 的中点 . 理由 ： 如图 ， 连接 BD 交 AC 于点 O ， 取 AM 的中点 P ， 连接 OP ， 可得 MC∥OP ， MC埭 平 面 BDP ， OP奂 平面 BDP ， ∴MC∥ 平面 PBD. A 1 B 1 C 1 D F A B C E 第 3 题答图 第 10 题答图 第 7 题答图 A M C P D O B 76 暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 1. 下列命题正确的是 （ ） ① 过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直 ； ② 如果一条直线和两个垂直平面中 的一个平面垂直 ， 它必和另一个平面平行 ； ③ 过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已 知平面垂直 ； ④ 如果两个平面互相垂直 ， 经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在第一 个平面内 . A. ①③ B. ②③ C. ②③④ D. ④ 2. 如图所示 ， 四边形 ABCD 中 ， AD∥BC ， AD＝AB ， ∠BCD＝ 45° ， ∠BAD＝90° ， 将 △ABD 沿 BD 折起 ， 使平面 ABD⊥ 平面 BCD ， 构成四面体 ABCD ， 则在四面体 ABCD 中 ， 下列命题正 确的是 （ ） A. 平面 ABD⊥ 平面 ABC B. 平面 ADC⊥ 平面 BDC C. 平面 ABC⊥ 平面 BDC D. 平面 ADC⊥ 平面 ABC 3. 如图所示 ， 在正四面体 P鄄ABC 中 ， D ， E ， F 分别是 AB ， BC ， CA 的中点 ， 下面四个结论中不成立的是 （ ） A. BC∥ 平面 PDF B. DF⊥ 平面 PAE C. 平面 PDF⊥ 平面 ABC D. 平面 PAE⊥ 平面 ABC 4. 关于直线 m ， n 与平面 α ， β ， 有下列四个命题 ： ① 若 m∥α ， n∥β 且 α∥β ， 则 m∥n ； ② 若 m⊥α ， n⊥β 且 α⊥β ， 则 m⊥n ； ③ 若 m⊥α ， n∥β 且 α∥β ， 则 m⊥n ； ④ 若 m∥α ， n⊥β 且 α⊥β ， 则 m∥n. 其中真命题的序号是 . 5. 已知平面 α ， β 和直线 m ， n ， 给出条件 ： ①n奂α ； ②m⊥n ； ③m⊥β ； ④α∥β. 当满足 条件 时 ， 有 m⊥α. （ 填所选条件的序号 ） 11.3 空间中的垂直关系 （ 二 ） A B D C A B C D 图 2 图 1 第 2 题图 P A D F E C B 第 3 题图 夯实 · 基础 60 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高一数学 第 周 年 月 日 6. 如图所示 ， △ABC 为正三角形 ， EC⊥ 平面 ABC ， BD∥CE ， 且 CE＝CA＝2BD ， M ， N 分 别是 EA ， AC 的中点 ， 求证 ： （ 1 ） DE＝DA ； （ 2 ） 平面 MNBD⊥ 平面 ECA ； （ 3 ） 平面 DEA⊥ 平面 ECA. 7. 如图 ， 在三棱柱 ABC鄄A 1 B 1 C 1 中 ， AB⊥BC ， BC⊥BC 1 ， AB＝BC 1 ， E ， F ， G 分别为线段 AC 1 ， A 1 C 1 ， BB 1 的中点 ， 求证 ： （ 1 ） 平面 ABC⊥ 平面 ABC 1 ； （ 2 ） EF∥ 平面 BCC 1 B 1 ； （ 3 ） GF⊥ 平面 AB 1 C 1 . 拓展 · 探究 B C C 1 B 1 F E G A A 1 第 7 题图 能力 · 提升 E C M N A B D 第 6 题图 61