11.2 空间中的平行关系(二)-【新课程暑假作业】2024-2025学年高一数学暑假作业

暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 1. 已知 m ， n ， l 1 ， l 2 表示直线 ， α ， β 表示平面 . 若 m奂α ， n奂α ， l 1 奂β ， l 2 奂β ， l 1 ∩l 2 ＝M ， 则 α∥β 的一个充分条件是 （ ） A. m∥β 且 l 1 ∥α B. m∥β 且 n∥β C. m∥β 且 n∥l 2 D. m∥l 1 且 n∥l 2 2. 平面 α∥ 平面 β ， AB ， CD 是夹在 α 和 β 间的两条线段 ， E ， F 分别为 AB ， CD 的中 点 ， 则 EF 与 α （ ） A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 不能确定 3. 若不共线的三点到平面 α 的距离相等 ， 则这三点确定的平面 β 与 α 之间的关系是 （ ） A. 平行 B. 相交 C. 平行或相交 D. 无法确定 4. 几何体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 是棱长为 a 的正方体 ， M ， N 分别是下底面棱 A 1 B 1 ， B 1 C 1 的中 点 ， P 是上底面棱 AD 上的一点 ， AP= a 3 ， 过 P ， M ， N 三点的平面交上底面于 PQ ， 点 Q 在 CD 上 ， 则 PQ 等于 . 5. 已知 a ， b ， c 为三条不重合的直线 ， α ， β ， γ 为三个不重合的平面 ， 给出下列六个命题 ： ①a∥c ， b∥c圯a∥b ； ②a∥γ ， b∥γ圯a∥b ； ③c∥α ， c∥β圯α∥β ； ④γ∥α ， β∥α圯γ∥β ； ⑤a∥c ， α∥c圯a∥α ； ⑥a∥γ ， α∥γ圯a∥α. 其中真命题的序号是 . 6. 平面 α∥ 平面 β ， △ABC ， △A′B′C′ 分别在 α ， β 内 ， 线段 AA′ ， BB′ ， CC′ 共点于 O ， 点 O 在 α ， β 之间 ， 若 AB＝2 ， AC＝1 ， ∠BAC＝60° ， OA ∶OA′＝3 ∶2 ， 则 △A′B′C′ 的面积为 . 7. 如图 ， 已知 荀ABCD 中 ， BC＝6 ， 正方形 ADEF 所在平面与平面 ABCD 垂直 ， G ， H 分 别是 DF ， BE 的中点 . （ 1 ） 求证 ： GH∥ 平面 CDE ； （ 2 ） 若 CD＝2 ， DB=4 2 姨 ， 求四棱锥 F鄄ABCD 的体积 . 能力 · 提升 H G D C B A F E 第 7 题图 夯实 · 基础 11.2 空间中的平行关系 （ 二 ） 54 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高一数学 第 周 年 月 日 8. 如图所示 ， 点 B 为 △ACD 所在平面外一点 ， M ， N ， G 分别为 △ABC ， △ABD ， △BCD 的重心 . （ 1 ） 求证 ： 平面 MNG∥ 平面 ACD ； （ 2 ） 求 S △MNG ∶ S △ACD . 拓展 · 探究 A D G N M C B 第 8 题图 55 暑 假 作 业 新课程 5. 解 ： （ 1 ） x=6 或 x=-1. （ 2 ） x≠6 且 x≠-1. （ 3 ） x=4. 6. B 10.1.2 复数的几何意义 1. D 2. C 3. B 4. B 5. B 6. D 7. D 8. 0 9. 1 10.2 复数的运算 1. D 2. C 3. D 4. A 5. D 6. C 7. D 8. C 9. B 10. A 11. B 12. A 13. C 14. A 15. 解 ： （ 1 ） ①m=1 ； ②m=0 ； ③m=2. （ 2 ） -3<m<0. 综合测试 （ 一 ） 1. B 2. B 3. A 4. B 5. D 6. A 7. C 8. D 9. 1 2 + 3 姨 2 i 10. 解 ： （ 1 ） A= π 3 . （ 2 ） 2+ 10 姨 . 11. 解 ： （ 1 ） 在 Rt△ABE 中 ， ∵AB=1 ， ∴AE= 1 cosθ . 在 Rt△ADF 中 ， ∵AD= 3 姨 ， ∴AF= 3 姨 cos π 6 - $ % θ 0<θ< π 6 $ % . （ 2 ） S= 1 2 AE · AFsin π 3 = 3 4cosθcos π 6 - $ % θ = 3 3 姨 +2cos 2θ- π 6 $ % ， ∵0<θ< π 6 ， ∴- π 6 <2θ- π 6 < π 6 ， ∴ 3 姨 <2cos 2θ- π 6 $ % ≤2 ， ∴ 当 θ= π 12 时 ， S min =3 （ 2- 3 姨 ） . 第十一章 立体几何初步 11.1 空间几何体 1. B 2. A 3. C 4. C 5. B 6. A 7. D 8. D 9. B 10. C 11.2 空间中的平行关系 （ 一 ） 1. B 2. C 3. C 4. C 5. 20 9 6. 相等 7. 略 8. 证明 ： ∵CC 1 ∥BB 1 ， BB 1 奂 平面 BEE 1 B 1 ， CC 1 埭 平面 BEE 1 B 1 ， ∴CC 1 ∥ 平面 BEE 1 B 1 （ 直 线与平面平行的判定定理 ） . 又 ∵ 平面 CEE 1 C 1 过 CC 1 且交平面 BEE 1 B 1 于 EE 1 ， ∴CC 1 ∥EE 1 （ 直线和平面平行的性质定理 ）， 由于 CC 1 ∥BB 1 ， ∴BB 1 ∥EE 1 （ 基本性质 4 ） . 9. 解 ： 如图 ， 过点 P 在平面 A′C′ 内作线段 EF∥B′C′ ， 交 A′B′ 于点 E ， 交 D′C′ 于点 F ， ∵BC∥ 平面 A′C′ ， BC奂 平面 BCC′B′ ， 平面 BCC′B′∩ 平面 A′C′＝B′C′ ， ∴BC∥B′C′ ， ∴EF∥ BC ， 则点 E ， F ， C ， B 确定一个平面 α ， 连接 BE ， CF ， 则沿 BE ， EF ， FC ， CB 将木块锯 开 ， 可得一符合条件的平整面 . 11.2 空间中的平行关系 （ 二 ） 1. D 2. A 3. C 4. 2 2 姨 3 a 5. ①④ 6. 2 3 姨 9 7. （ 1 ） 略 （ 2 ） 解 ： ∵ 平面 ADEF⊥ 平面 ABCD ， 交线为 AD ， 且 FA⊥AD ， ∴FA⊥ 平面 ABCD. ∵AD＝BC＝6 ， ∴FA＝AD＝6. 又 ∵CD＝2 ， DB=4 2 姨 ， CD 2 ＋DB 2 ＝BC 2 ， ∴BD⊥CD. ∵S 荀ABCD ＝CD · BD＝8 2 姨 ， ∴V F鄄ABCD = 1 3 S 荀ABCD · FA= 1 3 ×8 2 姨 ×6= 16 2 姨 . 8. （ 1 ） 证明 ： 如图 ， 连接 BM ， BN ， BG 并延长分别交 AC ， AD ， CD 于点 P ， F ， H ， ∵M ， N ， G 分别为 △ABC ， A B B′ C A′ C′ D′ F E D P 第 9 题答图 74 高一数学 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 △ABD ， △BCD 的重心 ， 则有 BM MP = BN NF = BG GH =2. 连接 PF ， FH ， PH ， 有 MN∥PF ， 又 PF奂 平面 ACD ， MN埭 平面 ACD ， ∴MN∥ 平面 ACD. 同理 MG∥ 平面 ACD ， MG∩MN＝M ， ∴ 平面 MNG∥ 平面 ACD. （ 2 ） 解 ： 由 （ 1 ） 可知 MG PH = BG BH = 2 3 ， ∴MG= 2 3 PH. 又 ∵PH= 1 2 AD ， ∴MG= 1 3 AD. 同 理 NG= 1 3 AC ， MN= 1 3 CD ， ∴△MNG∽△DCA ， 其相似比为 1 ∶ 3. ∴S △MNG ∶ S △ACD ＝1 ∶ 9. 11.2 空间中的平行关系 （ 三 ） 1. B 2. D 3. 略 4. 证明 ： （ 1 ） 如图 ， 设 AC ， BE 的交点为 O ， 连接 PO. ∵AD∥BC ， AE=BC=AB ， ∴ 四边形 ABCE 是菱形 ， ∴AC⊥BE ， OA=OC. 又 ∵AC⊥PB ， BE ， PB奂 平面 PBE ， PB∩ BE=B ， ∴AC⊥ 平面 PBE. ∵PO奂 平面 PBE ， ∴AC⊥PO. 又 ∵OA=OC ， ∴△POA≌△POC ， ∴PA=PC. （ 2 ） 如图 ， 取 PE 的中点 M ， 连接 FM ， BM. ∵F ， M 分别是 PD ， PE 的中点 ， ∴MF ∥ 1 2 DE. ∵BC∥AD ， AD=3BC ， AE=BC ， ∴BC ∥ 1 2 DE ， ∴BC ∥ FM ， ∴ 四边形 BCFM 是平行四边形 ， ∴CF∥BM. 又 ∵BM奂 平面 PBE ， CF埭 平面 PBE ， ∴CF∥ 平面 PBE. 5. 证明 ： （ 1 ） 如图 ， 连接 SB ， ∵E ， G 分别是 BC ， SC 的中点 ， ∴EG∥SB. 又 ∵SB奂 平面 BDD 1 B 1 ， EG埭 平面 BDD 1 B 1 ， ∴ 直线 EG∥ 平面 BDD 1 B 1 . （ 2 ） 如图 ， 连接 SD ， ∵F ， G 分别是 DC ， SC 的中点 ， ∴FG∥SD. 又 ∵SD奂 平面 BDD 1 B 1 ， FG埭 平面 BDD 1 B 1 ， ∴FG∥ 平面 BDD 1 B 1 . 又 ∵ 直线 EG∥ 平面 BDD 1 B 1 ， 且直线 EG奂 平面 EFG ， 直线 FG奂 平面 EFG ， EG∩FG=G ， ∴ 平面 EFG∥ 平面 BDD 1 B 1 . 6. A 11.3 空间中的垂直关系 （ 一 ） 1. B 2. B 3. D 4. D 5. 2 6. ①④⑤ 7. 证明 ： 如图 ， 作 AD∥BC ， BD∥AC 交于点 D ， 作 A 1 D 1 ∥B 1 C 1 ， B 1 D 1 ∥A 1 C 1 交于点 D 1 ， 连接 BD 1 ， DD 1 . ∵ 四边形 A 1 D 1 B 1 C 1 为菱形 ， ∴A 1 B 1 ⊥D 1 C 1 . 又 ∵AA 1 ⊥ 平面 A 1 D 1 B 1 C 1 ， ∴AA 1 ⊥D 1 C 1 ， 从而 D 1 C 1 ⊥ 平面 ABB 1 A 1 ， ∴D 1 C 1 ⊥AB 1 . 又 ∵AB 1 ⊥BC 1 ， ∴AB 1 ⊥ 平面 BC 1 D 1 ， ∴AB 1 ⊥BD 1 . ∵BD 1 ∥CA 1 ， ∴AB 1 ⊥A 1 C. 8. ①③④⑤ 11.3 空间中的垂直关系 （ 二 ） 1. D 2. D 3. C 4. ②③ 5. ③④ 6. 证明 ： （ 1 ） 如图 ， 取 EC 的中点 F ， 连接 DF ， ∵EC⊥ 平面 ABC ， ∴EC⊥BC ， 易知 DF∥BC ， ∴DF⊥EC. 在 Rt△EFD 和 Rt△DBA 中 ， ∵EF＝ 1 2 EC＝BD ， FD＝BC＝AB ， ∴Rt△EFD≌Rt△DBA ， ∴DE＝DA. （ 2 ） ∵MN 为 △ECA 的中位线 ， ∴MN ∥ 1 2 EC ， ∴MN∥BD ， ∴ 点 N 在平面 BDM 内 . ∵EC⊥ 平面 ABC ， ∴EC⊥BN. 又 ∵CA⊥BN ， EC∩CA＝C ， ∴BN⊥ 平面 ECA. ∵BN 在平面 MNBD 内 ， ∴ 平面 MNBD⊥ 平面 ECA. （ 3 ） ∵DM∥BN ， BN⊥ 平面 CAE ， ∴DM⊥ 平面 ECA. 又 ∵DM奂 平面 DEA ， ∴ 平面 DEA⊥ 平面 ECA. 7. 证明 ： （ 1 ） ∵BC⊥AB ， BC⊥BC 1 ， AB∩BC 1 ＝B ， ∴BC⊥ 平面 ABC 1 . 又 ∵BC奂 平面 ABC ， ∴ 平面 ABC⊥ 平面 ABC 1 . （ 2 ） ∵AE＝EC 1 ， A 1 F＝FC 1 ， ∴EF∥AA 1 . 又 ∵AA 1 ∥BB 1 ， ∴EF∥BB 1 . 又 ∵EF埭 平面 BCC 1 B 1 ， BB 1 奂 平面 BCC 1 B 1 ， 第 4 题答图 A B E C C 1 D 1 A 1 D F G S B 1 第 5 题答图 A B C D F P E M O 第 8 题答图 E F C M N A B D 第 6 题答图 A C B A 1 C 1 B 1 D 1 D 第 7 题答图 A D G N M F P H C B 75