11.3.2 直线与平面平行(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“直线与平面平行”核心知识点，先梳理直线与平面的位置关系（内、外及外分平行和相交），再通过判定定理（线线平行推线面平行）和性质定理（线面平行推线面交线平行）构建知识体系，形成从概念到应用的学习支架。 该资料以乒乓球台等实例引入培养直观想象，通过判定、性质及综合题型强化逻辑推理，结合符号与图形语言提升数学表达。课中助力教师引导学生从具体到抽象，课后练习题和跟踪训练帮助学生巩固知识、查漏补缺。

11.3.2　直线与平面平行 课标要求 1.借助实例，直观感知、归纳出直线与平面平行的判定定理、性质定理（直观想象）. 2.掌握直线与平面平行的判定定理、性质定理，并能初步利用定理解决问题（逻辑推理）. 如图所示，如果将乒乓球台的台面抽象成平面α，将乒乓球网的上边缘抽象成直线l，则直线l与平面α具有怎样的位置关系？如果将乒乓球网的下边缘抽象成直线m，并把m看成平面α内的直线，则直线l与直线m具有怎样的位置关系？ 【问题】　你能给出判定的依据吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　直线与平面之间的位置关系 位置关系 直线l在平面α内 直线l在平面α外 直线l与平面α平行 直线l与平面α相交 公共点 有无数个公共点 没有公共点 有且只有一个公共点 符号表示 l⊂α l∥α l∩α＝A 图形表示 知识点二　直线与平面平行的判定及性质 条件 结论 图形语言 符号语言 判 定 如果平面　外　的一条直线与平面　内　的一条直线平行 这条直线与这个平面平行 l　⊄　α， m　⊂　α， l∥m⇒l∥α 性 质 如果一条直线与一个平面平行，且经过这条直线的平面与这个平面　相交　 这条直线就与两平面的交线平行 l∥α，l⊂β， α　∩　β＝ m⇒l∥m 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若a∥b，且b⊂α，则a∥α.（　×　） （2）若l∥平面α，且b⊂α，则l∥b.（　×　） （3）若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点.（　√　） （4）平行于同一平面的两条直线平行.（　×　） 2.能保证直线a与平面α平行的条件是（　　） A.b⊂α，a∥b B.b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c C.b⊂α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD D.a⊄α，b⊂α，a∥b 解析：D　由线面平行的判定定理可知，D正确. 3.如图，在三棱锥S-ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则（　　） A.EF与BC相交 B.EF∥BC C.EF与BC异面 D.以上均有可能 解析：B　∵平面SBC∩平面ABC＝BC，EF⊂平面SBC，又EF∥平面ABC，∴EF∥BC.故选B. 题型一｜直线与平面平行的判定 【例1】　　如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AB的中点.证明：BC1∥平面A1CD. 证明：如图，连接AC1交A1C于点F，连接DF，则F为AC1的中点.又D是AB的中点，所以DF∥BC1. 因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD， 所以BC1∥平面A1CD. 通性通法 应用判定定理证明线面平行的步骤 上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有： ①空间直线平行关系的传递性法； ②三角形中位线法； ③平行四边形法； ④线段成比例法. 【跟踪训练】 在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，点E，F分别在线段CB，AP上，且CE＝EB，AF＝FP.求证：EF∥平面PCD. 证明：如图，取PD的中点G，连接GF，GC. 在△PAD中，点G，F分别为PD，AP的中点，∴GF∥AD且GF＝AD. 在矩形ABCD中，点E为BC的中点，∴CE∥AD且CE＝AD， ∴GF∥EC且GF＝EC，∴四边形GFEC是平行四边形，∴GC∥EF. 又∵GC⊂平面PCD，EF⊄平面PCD，∴EF∥平面PCD. 题型二｜直线与平面平行的性质 【例2】　如图，AB，CD为异面直线，且AB∥α，CD∥α，AC，BD分别交α于M，N两点.求证：AM∶MC＝BN∶ND. 证明：连接AD交平面α于点E，连接ME和NE，如图所示， 因为平面ACD∩α＝ME，CD∥α， 所以CD∥ME， 所以＝. 同理可得EN∥AB， 所以＝. 所以＝， 即AM∶MC＝BN∶ND. 通性通法 利用线面平行的性质定理证题的一般步骤 提醒　在利用直线与平面平行的性质定理时，不能直接说在平面内作一条直线与已知直线平行，一定要通过作平面来得到这条直线. 【跟踪训练】 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，求线段EF的长度. 解：∵EF∥平面AB1C，平面ADC∩平面AB1C＝AC，EF⊂平面ADC， ∴EF∥AC.∵E是AD的中点，∴F是CD的中点，∴EF＝AC＝×2＝. 题型三｜线面平行判定定理与性质定理的综合运用 【例3】　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点P∈BB1（P不与B，B1重合），PA∩A1B＝M，PC∩BC1＝N.求证：MN∥平面ABCD. 证明：如图，连接AC，A1C1，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥CC1，AA1＝CC1，所以四边形ACC1A1是平行四边形，所以AC∥A1C1，因为AC⊄平面A1BC1，A1C1⊂平面A1BC1，所以AC∥平面A1BC1，因为AC⊂平面PAC，平面A1BC1∩平面PAC＝MN，所以AC∥MN.因为MN⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以MN∥平面ABCD. 通性通法 　　判定定理与性质定理常常交替使用，即先通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可以继续推下去，我们可称它为平行链. 【跟踪训练】 如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点. （1）若弧BC的中点为D.求证：AC∥平面POD； 解：证明：如图，设BC∩OD＝E， ∵D是弧BC的中点， ∴E是BC的中点， 又∵O是AB的中点， ∴AC∥OE， 又∵AC⊄平面POD，OE⊂平面POD，∴AC∥平面POD. （2）如果△PAB的面积是9，求此圆锥的表面积. 解：设圆锥底面半径为r，高为h，母线长为l，∵圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形， ∴h＝r，l＝r，∵S△PAB＝×2r×h＝r2＝9，∴r＝3， ∴S表＝πrl＋πr2＝πr×r＋πr2＝9（1＋）π. 1.已知两条直线a，b和平面α满足a∥α，b⊄α，则“a∥b”是“b∥α”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：A　因为a∥α，则存在c⊂α使得a∥c且b⊄α.若a∥b且b⊄α，则b∥c，又b⊄α且c⊂α，所以b∥α，充分性成立；设β∥α，b⊂β，a⊂β，a∩b＝P，则有a∥α，但a，b不平行，即必要性不成立. 2.正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过A，C，E三点的平面的位置关系是平行. 解析：如图所示，连接BD交AC于点O.在正方体中容易得到点O为BD的中点.又因为E为DD1的中点，所以OE∥BD1.又因为OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，所以BD1∥平面ACE. 3.如图所示，在空间四边形ABCD中，AC，BD为其对角线，E，F，G，H分别为AC，BC，BD，AD上的点，若四边形EFGH为平行四边形，求证：AB∥平面EFGH. 证明：因为四边形EFGH为平行四边形，所以EF∥GH.因为GH⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，所以EF∥平面ABD.因为EF⊂平面ABC，平面ABC∩平面ABD＝AB，所以EF∥AB.因为AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，所以AB∥平面EFGH. 1.在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面（面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD）所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有（　　） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 解析：B　如图所示，结合图形可知AA1∥平面BB1C1C，AA1∥平面DD1C1C，AA1∥平面BB1D1D. 2.如图，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（　　） A.MN∥PD B.MN∥PA C.MN∥AD D.MN∥BC 解析：B　因为MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，平面PAD∩平面PAC＝PA，所以MN∥PA. 3.下列说法正确的是（　　） A.如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面 B.如果直线a和平面α满足a∥α，那么a平行于平面α内的任何一条直线 C.如果直线a，b满足a∥α，b∥α，则a∥b D.如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α 解析：D　如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，AA'∥BB'，AA'在过BB'的平面AB'内，故选项A不正确；AA'∥平面B'C，BC⊂平面B'C，但AA'不平行于BC，故选项B不正确；AA'∥平面B'C，A'D'∥平面B'C，但AA'与A'D'相交，所以选项C不正确；选项D中，假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即选项D正确.故选D. 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若平面A1BC1与平面ABCD的交线为l，则（　　） A.l∥CD B.l∥A1C C.l∥平面A1B1CD D.l∥平面ACD1 解析：D　因为点B∈平面A1BC1∩平面ABCD，所以B∈l.又因为直线A1C1∥平面ABCD，A1C1⊂平面A1BC1，故得A1C1∥l，所以l是过点B且平行于A1C1的直线.对于A，因为A1C1∥l，A1C1∥AC，所以l∥AC，故l∥CD不成立，即A错误；对于B，因为l∥AC，而AC∩A1C＝C，故l∥A1C不成立，即B错误；对于C，因为l∥AC，而AC∩平面A1B1CD＝C，故l∥平面A1B1CD不成立，即C错误；对于D，因为A1C1∥l，A1C1∥AC，所以l∥AC，又AC⊂平面ACD1，l⊄平面ACD1，所以l∥平面ACD1，即D正确. 5.如图，下列正三棱柱ABC-A1B1C1中，若M，N，P分别为其所在棱的中点，则不能得出AB∥平面MNP的是（　　） 解析：C　在A，B中，易知AB∥A1B1∥MN，所以AB∥平面MNP；在D中，易知AB∥PN，所以AB∥平面MNP.故选C. 6.〔多选〕如图，空间四边形ABCD中，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，下列结论正确的是（　　） A.AD∥EG B.AC∥平面EFG C.BD∥平面EFG D.AD，FG是一对相交直线 解析：BC　点G∈平面ADC，点G∉直线AD，点E∉平面ADC，由异面直线的定义可知AD，EG是异面直线，A错；AC∥EF，由直线与平面平行的判定定理可得AC∥平面EFG，B对；BD∥FG，由直线与平面平行的判定定理可得BD∥平面EFG，C对；点G∈平面ADC，点G∉直线AD，点F∉平面ADC，由异面直线的定义可知AD，FG是异面直线，D错；故选B、C. 7.梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α的位置关系是CD∥平面α. 解析：因为AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，由线面平行的判定定理可得CD∥平面α. 8.如图，P为▱ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，＝. 解析：如图，连接AC交BE于G，连接FG，因为PA∥平面EBF， PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG， 所以PA∥FG， 所以＝. 又因为AD∥BC，所以△AGE∽△CGB， 又E为AD的中点， 所以＝＝，所以＝. 9.如图所示，直线a∥平面α，A∉α，并且a和A位于平面α的两侧，点B，C∈a，AB，AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝. 解析：由于点A不在直线a上，则直线a和点A确定一个平面β，所以α∩β＝EF.因为a∥平面α，a⊂平面β，所以EF∥a，所以＝，所以EF＝＝＝. 10.如图，已知异面直线AB，CD都与平面MNPQ平行，且点M，N，P，Q依次在直线AC，BC，BD，AD上，求证：四边形MNPQ是平行四边形. 证明：∵AB∥平面MNPQ，AB⊂平面ABC，平面ABC∩平面MNPQ＝MN， ∴AB∥MN. 又AB⊂平面ABD，平面ABD∩平面MNPQ＝PQ， ∴AB∥PQ，∴MN∥PQ. 同理可证NP∥MQ. ∴四边形MNPQ是平行四边形. 11.〔多选〕在下列底面为平行四边形的四棱锥中，A，B，C，M，N是四棱锥的顶点或棱的中点，则MN∥平面ABC的有（　　） 解析：BC　对于A，如图，设P为AE的中点，底面为平行四边形GFEB，连接NP，PB，设NP交AC于点H，连接BH，则NP∥FE，NP＝FE，又MB∥EF，MB＝EF，故NP∥MB，NP＝MB，即四边形NPBM为平行四边形，故MN∥BP，又MN⊂平面NPBM，MN⊄平面ABC，平面NPBM∩平面ABC＝BH，假设MN∥平面ABC，则MN∥BH，即在平面NPBM内过点B有两条直线和MN都平行，这是不可能的，因此MN与平面ABC不平行，故A错误；对于B，如图，设P为AB的中点，底面为平行四边形BCFE，连接MP，PC， 则MP∥EB，MP＝EB，又NC∥EB，NC＝EB，故MP∥NC，MP＝NC，即四边形MPCN为平行四边形，故PC∥MN，而PC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，故MN∥平面ABC，故B正确；对于C，如图，设P为AB的中点，底面为平行四边形BCFE，连接PM，PC， 则PM∥BE，PM＝BE，又CN∥BE，CN＝BE，故PM∥CN，PM＝CN，即四边形PCNM为平行四边形，故MN∥PC，而PC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，故MN∥平面ABC，故C正确；对于D，如图，设底面为平行四边形ANEF，连接AE，FN交于点H，FN，AC交于点G， 则H为FN的中点，连接BH，BG，由于B为MF的中点，故BH∥MN.又MN⊂平面MNF，MN⊄平面ABC，平面MNF∩平面ABC＝BG，假设MN∥平面ABC，则MN∥BG，即在平面MNF内过点B有两条直线和MN都平行，这是不可能的，因此MN与平面ABC不平行，故D错误. 12.已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的棱AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝2，AC＝4，则EG2＋HF2的值是10. 解析：如图所示，由三角形中位线的性质，可得EH􀰿BD，FG􀰿BD，HG􀰿AC，EF􀰿AC，可得四边形EFGH为平行四边形，所以EG2＋HF2＝2×（12＋22）＝10. 13.如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别为AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l. （1）求证：BC∥l； （2）MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论. 解：（1）证明：∵BC∥AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴BC∥平面PAD. 又∵平面PAD∩平面PBC＝l，BC⊂平面PBC， ∴BC∥l. （2）MN∥平面PAD. 证明如下：如图所示，取PD的中点E.连接EN，AE. ∵N为PC的中点， ∴EN􀰿DC， ∵四边形ABCD为平行四边形. ∴DC􀰿AB， ∴EN􀰿AB， ∴EN􀰿AM， ∴四边形ENMA为平行四边形， ∴AE∥MN. 又∵AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD， ∴MN∥平面PAD. 14.已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，说法甲为“若a∥b，则a∥α”，说法乙为“若a∥α，则a∥b”.要使上面两种说法成立，需分别添加的条件是（　　） A.甲：“b⊂α”，乙：“b⊂α” B.甲：“b⊂α”，乙：“a⊂β且α∩β＝b” C.甲：“a⊄α，b⊂α”，乙：“a⊂β且α∩β＝b” D.甲：“a⊄α，b⊂α”，乙：“b∥α” 解析：C　说法甲为“若a∥b，则a∥α”，由线面平行的判定定理，得需添加的条件是“a⊄α，b⊂α”；说法乙为“若a∥α，则a∥b”，由线面平行的性质定理，得需添加的条件是“a⊂β且α∩β＝b”.故选C. 15.在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和四边形ACC1A1都是矩形.设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论. 解：在线段AB上存在一点M，使DE∥平面A1MC. 证明如下：如图所示，连接AC1，A1C，AC1与A1C交于点O，取线段AB的中点M.连接A1M，OM，MD，OE，MC. 在△ABC中，M，D分别为AB，BC的中点， ∴MD∥AC，且MD＝AC. 在△ACC1中，O，E分别为AC1，CC1的中点， ∴OE∥AC，且OE＝AC， ∴MD􀰿OE. 从而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥MO. ∵DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC， ∴直线DE∥平面A1MC. 即在线段AB上存在一点M（线段AB的中点），使直线DE∥平面A1MC. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $