10.1 复数及其几何意义-【新课程暑假作业】2024-2025学年高一数学暑假作业

暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 1. 复数 3-4i 的虚部是 （ ） A. 4 B. -4 C. 4i D. -4i 2. 已知 i 是虚数单位 ， m ， n∈R ， 则 “ m=n=1 ” 是 “ m 2 -1-2ni=-2i ” 的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若复数 z= （ a 2 +2a-3 ） + （ a+3 ） i 为纯虚数 （ i 为虚数单位 ）， 则实数 a 的值是 （ ） A. -3 B. -3 或 1 C. 3 或 -1 D. 1 4. 若复数 a 2 -1+ （ a-1 ） i （ i 为虚数单位 ） 是纯虚数 ， 则实数 a= （ ） A. ±1 B. -1 C. 0 D. 1 5. 复数 z= （ x 2 -3x-4 ） + （ x 2 -5x-6 ） i ， 实数 x 为何值时 ， z 表示 ： （ 1 ） 实数 ； （ 2 ） 虚数 ； （ 3 ） 纯虚数 . 6. 若 sin2兹-1+ （ 2 姨 +1 ） i 是纯虚数 ， 则 兹 的值为 （ ） A. 2k仔- 仔 4 （ k∈Z ） B. k仔+ 仔 4 （ k∈Z ） C. 2k仔± 仔 4 （ k∈Z ） D. k仔 2 - 仔 4 （ k∈Z ） 第十章 复 数 拓展 · 探究 能力 · 提升 10.1 复数及其几何意义 10.1.1 复数的概念 夯实 · 基础 44 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高一数学 第 周 年 月 日 1. 复数 z=3-i 在复平面内对应的点的坐标为 （ ） A. （ -3 ， 1 ） B. （ -3 ， -1 ） C. （ 3 ， 1 ） D. （ 3 ， -1 ） 2. 设 z=-3+2i ， 则在复平面内 z 对应的点位于 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在复平面内点 P 对应的复数 z 1 =2+i ， 将点 P 绕坐标原点 O 逆时 针旋转 仔 6 到点 Q ， 则点 Q 对应的复数 z 2 的虚部为 （ ） A. 3 姨 - 1 2 B. 3 姨 2 +1 C. 3 姨 - 1 2 2 # i D. 3 姨 2 +2 +1 i 4. 已知 z= （ m+3 ） + （ m-1 ） i （ m∈R ） 在复平面内对应的点为 P ， 则 P 点不可能在 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 若复数 z 满足 iz=｜1+ 3 姨 i｜-2i （ i 为虚数单位 ）， 则 z 的共轭复数 z 在复平面内对应的点 所在的象限是 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. i 是虚数单位 ， 复数 z 满足条件 ｜z-i｜=｜3-4i｜ ， 则 ｜z｜ 的最大值是 （ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 满足条件 ｜z-i｜+｜z+i｜=3 的复数 z 在复平面上对应点的轨迹是 （ ） A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆 8. 已知 ｜z｜=1 ， 则 ｜z 2 -2z+1｜ 的最小值为 . 9. 如果复数 z 满足 ｜z+3i｜+｜z-3i｜=6 ， 那么 ｜z+1+i｜ 的最小值是 . 10.1.2 复数的几何意义 能力 · 提升 拓展 · 探究 O x y Q P 1 仔 6 第 3 题图 夯实 · 基础 45 高一数学 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 （ 2 ） ∵b= 3 姨 ， a=2 ， ∴ 由余弦定理 b 2 =a 2 +c 2 -2accosB ， 得 （ 3 姨 ） 2 =c 2 +4-2c×2× 1 2 ， 即 c 2 -2c+1=0 ， ∴c=1. 12. （ 1 ） 证明 ： ∵a 2 c=b （ a 2 +c 2 -b 2 ）， ∴ 由余弦定理可得 a 2 c=b · 2accosB ， ∴a=2bcosB ， 由正弦定理可得 sinA=2sinBcosB ， 即 sinA=sin2B. ∵A ， B 为三角形内角 ， ∴A=2B 或 A+2B=π. 若 A+2B=π ， 又 A+B+C=π ， 可得 B=C ， 即 b=c ， 矛盾 ， ∴A=2B. （ 2 ） 解 ： ∵f （ x ） =sinx+cosx= 2 姨 sin x+ π 4 4 # ， ∴f （ B ） = 2 姨 sin B+ π 4 4 4 . ∵A=2B ， 可得 B∈ 0 ， π 2 2 4 ， ∴B+ π 4 ∈ π 4 ， 3π 4 2 4 ， ∴sin B+ π 4 2 4 ∈ 2 姨 2 ， 2 1 1 . 当 B=C= π 4 时 ， sin B+ π 4 4 4 =1 ， ∴ 由 b≠c ， 可得 sin B+ π 4 2 4 ∈ 2 姨 2 ， 2 4 1 ， ∴f （ B ） = 2 姨 sin B+ π 4 2 4 ∈ （ 1 ， 2 姨 ） . 9.2 正弦定理与余弦定理的应用 （ 一 ） 1. D 2. B 3. B 4. D 5. B 6. A 7. A 8. C 9. A 10. C 11. B 9.2 正弦定理与余弦定理的应用 （ 二 ） 1. C 2. C 3. B 4. B 5. C 6. B 7. 解 ： （ 1 ） 由正弦定理可得 ， a-b+c c = sinB sinA+sinB-sinC = b a+b-c ， 整理可得 b 2 +c 2 -a 2 =bc ， ∴cosA= b 2 +c 2 -a 2 2bc = 1 2 ， ∴A= π 3 . （ 2 ） 由正弦定理可得 ， a sin π 3 =4 ， 故 a=2 3 姨 ， 由 b 2 +c 2 -a 2 =bc ， 可得 b 2 +c 2 =12+bc≥2bc ， 解得 bc≤12 ， 当且仅当 b=c 时取等号 ， 此时 S= 1 2 bcsinA≤ 1 2 ×12× 3 姨 2 =3 3 姨 ， 即面积的最大值为 3 3 姨 . 8. 解 ： （ 1 ） ∵ sin2B 3 姨 cos （ B+C ） -cosCsinB = 2b c ， 可得 2sinBcosB - 3 姨 cosA-cosCsinB = 2sinB sinC ， 由 sinB≠0 ， 整理可得 sinCcosB=- 3 姨 cosA-cosCsinB ， ∴- 3 姨 cosA=sinCcosB+cosCsinB=sin （ B+C ） =sinA ， ∴ 可得 tanA=- 3 姨 . ∵A∈ （ 0 ， π ）， ∴A= 2π 3 . （ 2 ） ∵A= 2π 3 ， a= 3 姨 ， ∴ 由余弦定理 a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA ， 可得 3=b 2 +c 2 +bc≥2bc+bc=3bc ， 解得 bc≤1 ， 当且仅当 b=c 时等号成立 ， ∴S △ABC = 1 2 bcsinA≤ 1 2 ×1× 3 姨 2 = 3 姨 4 ， 即 △ABC 的面积的最大值为 3 姨 4 . 9. 解 ： （ 1 ） f （ x ） =sin2xcos π 6 -cos2xsin π 6 +cos2x+1= 3 姨 2 sin2x+ 1 2 cos2x+1=sin 2x+ π 6 # +1. ∵x∈ 0 ， π 2 2 1 ， ∴ π 6 ≤2x+ π 6 ≤ 7π 6 ， ∴- 1 2 ≤sin 2x+ π 6 4 ≤1 ， ∴ 1 2 ≤sin 2x+ π 6 4 +1≤2 ， 即函数 f （ x ） 的值域为 1 2 ， 2 1 2 . （ 2 ） ∵f （ x ） =sin 2A+ π 6 4 +1= 3 2 ， ∴sin 2A+ π 6 4 = 1 2 . ∵0<A<π ， ∴ π 6 <2A+ π 6 < 13π 6 ， ∴2A+ π 6 = 5π 6 ， 即 A= π 3 . 由余弦定理 a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA ， ∴6=4+c 2 -2c ， 即 c 2 -2c-2=0. 又 ∵c>0 ， ∴c=1+ 3 姨 ， ∴S △ABC = 1 2 bcsinA= 1 2 ×2× （ 1+ 3 姨 ） × 3 姨 2 = 3 2 + 3 姨 2 . 第十章 复 数 10.1 复数及其几何意义 10.1.1 复数的概念 1. B 2. A 3. D 4. B 73 暑 假 作 业 新课程 5. 解 ： （ 1 ） x=6 或 x=-1. （ 2 ） x≠6 且 x≠-1. （ 3 ） x=4. 6. B 10.1.2 复数的几何意义 1. D 2. C 3. B 4. B 5. B 6. D 7. D 8. 0 9. 1 10.2 复数的运算 1. D 2. C 3. D 4. A 5. D 6. C 7. D 8. C 9. B 10. A 11. B 12. A 13. C 14. A 15. 解 ： （ 1 ） ①m=1 ； ②m=0 ； ③m=2. （ 2 ） -3<m<0. 综合测试 （ 一 ） 1. B 2. B 3. A 4. B 5. D 6. A 7. C 8. D 9. 1 2 + 3 姨 2 i 10. 解 ： （ 1 ） A= π 3 . （ 2 ） 2+ 10 姨 . 11. 解 ： （ 1 ） 在 Rt△ABE 中 ， ∵AB=1 ， ∴AE= 1 cosθ . 在 Rt△ADF 中 ， ∵AD= 3 姨 ， ∴AF= 3 姨 cos π 6 - $ % θ 0<θ< π 6 $ % . （ 2 ） S= 1 2 AE · AFsin π 3 = 3 4cosθcos π 6 - $ % θ = 3 3 姨 +2cos 2θ- π 6 $ % ， ∵0<θ< π 6 ， ∴- π 6 <2θ- π 6 < π 6 ， ∴ 3 姨 <2cos 2θ- π 6 $ % ≤2 ， ∴ 当 θ= π 12 时 ， S min =3 （ 2- 3 姨 ） . 第十一章 立体几何初步 11.1 空间几何体 1. B 2. A 3. C 4. C 5. B 6. A 7. D 8. D 9. B 10. C 11.2 空间中的平行关系 （ 一 ） 1. B 2. C 3. C 4. C 5. 20 9 6. 相等 7. 略 8. 证明 ： ∵CC 1 ∥BB 1 ， BB 1 奂 平面 BEE 1 B 1 ， CC 1 埭 平面 BEE 1 B 1 ， ∴CC 1 ∥ 平面 BEE 1 B 1 （ 直 线与平面平行的判定定理 ） . 又 ∵ 平面 CEE 1 C 1 过 CC 1 且交平面 BEE 1 B 1 于 EE 1 ， ∴CC 1 ∥EE 1 （ 直线和平面平行的性质定理 ）， 由于 CC 1 ∥BB 1 ， ∴BB 1 ∥EE 1 （ 基本性质 4 ） . 9. 解 ： 如图 ， 过点 P 在平面 A′C′ 内作线段 EF∥B′C′ ， 交 A′B′ 于点 E ， 交 D′C′ 于点 F ， ∵BC∥ 平面 A′C′ ， BC奂 平面 BCC′B′ ， 平面 BCC′B′∩ 平面 A′C′＝B′C′ ， ∴BC∥B′C′ ， ∴EF∥ BC ， 则点 E ， F ， C ， B 确定一个平面 α ， 连接 BE ， CF ， 则沿 BE ， EF ， FC ， CB 将木块锯 开 ， 可得一符合条件的平整面 . 11.2 空间中的平行关系 （ 二 ） 1. D 2. A 3. C 4. 2 2 姨 3 a 5. ①④ 6. 2 3 姨 9 7. （ 1 ） 略 （ 2 ） 解 ： ∵ 平面 ADEF⊥ 平面 ABCD ， 交线为 AD ， 且 FA⊥AD ， ∴FA⊥ 平面 ABCD. ∵AD＝BC＝6 ， ∴FA＝AD＝6. 又 ∵CD＝2 ， DB=4 2 姨 ， CD 2 ＋DB 2 ＝BC 2 ， ∴BD⊥CD. ∵S 荀ABCD ＝CD · BD＝8 2 姨 ， ∴V F鄄ABCD = 1 3 S 荀ABCD · FA= 1 3 ×8 2 姨 ×6= 16 2 姨 . 8. （ 1 ） 证明 ： 如图 ， 连接 BM ， BN ， BG 并延长分别交 AC ， AD ， CD 于点 P ， F ， H ， ∵M ， N ， G 分别为 △ABC ， A B B′ C A′ C′ D′ F E D P 第 9 题答图 74