9.2 正弦定理与余弦定理的应用(一)-【新课程暑假作业】2024-2025学年高一数学暑假作业

高一数学 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 （ 2 ） ∵b= 3 姨 ， a=2 ， ∴ 由余弦定理 b 2 =a 2 +c 2 -2accosB ， 得 （ 3 姨 ） 2 =c 2 +4-2c×2× 1 2 ， 即 c 2 -2c+1=0 ， ∴c=1. 12. （ 1 ） 证明 ： ∵a 2 c=b （ a 2 +c 2 -b 2 ）， ∴ 由余弦定理可得 a 2 c=b · 2accosB ， ∴a=2bcosB ， 由正弦定理可得 sinA=2sinBcosB ， 即 sinA=sin2B. ∵A ， B 为三角形内角 ， ∴A=2B 或 A+2B=π. 若 A+2B=π ， 又 A+B+C=π ， 可得 B=C ， 即 b=c ， 矛盾 ， ∴A=2B. （ 2 ） 解 ： ∵f （ x ） =sinx+cosx= 2 姨 sin x+ π 4 4 # ， ∴f （ B ） = 2 姨 sin B+ π 4 4 4 . ∵A=2B ， 可得 B∈ 0 ， π 2 2 4 ， ∴B+ π 4 ∈ π 4 ， 3π 4 2 4 ， ∴sin B+ π 4 2 4 ∈ 2 姨 2 ， 2 1 1 . 当 B=C= π 4 时 ， sin B+ π 4 4 4 =1 ， ∴ 由 b≠c ， 可得 sin B+ π 4 2 4 ∈ 2 姨 2 ， 2 4 1 ， ∴f （ B ） = 2 姨 sin B+ π 4 2 4 ∈ （ 1 ， 2 姨 ） . 9.2 正弦定理与余弦定理的应用 （ 一 ） 1. D 2. B 3. B 4. D 5. B 6. A 7. A 8. C 9. A 10. C 11. B 9.2 正弦定理与余弦定理的应用 （ 二 ） 1. C 2. C 3. B 4. B 5. C 6. B 7. 解 ： （ 1 ） 由正弦定理可得 ， a-b+c c = sinB sinA+sinB-sinC = b a+b-c ， 整理可得 b 2 +c 2 -a 2 =bc ， ∴cosA= b 2 +c 2 -a 2 2bc = 1 2 ， ∴A= π 3 . （ 2 ） 由正弦定理可得 ， a sin π 3 =4 ， 故 a=2 3 姨 ， 由 b 2 +c 2 -a 2 =bc ， 可得 b 2 +c 2 =12+bc≥2bc ， 解得 bc≤12 ， 当且仅当 b=c 时取等号 ， 此时 S= 1 2 bcsinA≤ 1 2 ×12× 3 姨 2 =3 3 姨 ， 即面积的最大值为 3 3 姨 . 8. 解 ： （ 1 ） ∵ sin2B 3 姨 cos （ B+C ） -cosCsinB = 2b c ， 可得 2sinBcosB - 3 姨 cosA-cosCsinB = 2sinB sinC ， 由 sinB≠0 ， 整理可得 sinCcosB=- 3 姨 cosA-cosCsinB ， ∴- 3 姨 cosA=sinCcosB+cosCsinB=sin （ B+C ） =sinA ， ∴ 可得 tanA=- 3 姨 . ∵A∈ （ 0 ， π ）， ∴A= 2π 3 . （ 2 ） ∵A= 2π 3 ， a= 3 姨 ， ∴ 由余弦定理 a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA ， 可得 3=b 2 +c 2 +bc≥2bc+bc=3bc ， 解得 bc≤1 ， 当且仅当 b=c 时等号成立 ， ∴S △ABC = 1 2 bcsinA≤ 1 2 ×1× 3 姨 2 = 3 姨 4 ， 即 △ABC 的面积的最大值为 3 姨 4 . 9. 解 ： （ 1 ） f （ x ） =sin2xcos π 6 -cos2xsin π 6 +cos2x+1= 3 姨 2 sin2x+ 1 2 cos2x+1=sin 2x+ π 6 # +1. ∵x∈ 0 ， π 2 2 1 ， ∴ π 6 ≤2x+ π 6 ≤ 7π 6 ， ∴- 1 2 ≤sin 2x+ π 6 4 ≤1 ， ∴ 1 2 ≤sin 2x+ π 6 4 +1≤2 ， 即函数 f （ x ） 的值域为 1 2 ， 2 1 2 . （ 2 ） ∵f （ x ） =sin 2A+ π 6 4 +1= 3 2 ， ∴sin 2A+ π 6 4 = 1 2 . ∵0<A<π ， ∴ π 6 <2A+ π 6 < 13π 6 ， ∴2A+ π 6 = 5π 6 ， 即 A= π 3 . 由余弦定理 a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA ， ∴6=4+c 2 -2c ， 即 c 2 -2c-2=0. 又 ∵c>0 ， ∴c=1+ 3 姨 ， ∴S △ABC = 1 2 bcsinA= 1 2 ×2× （ 1+ 3 姨 ） × 3 姨 2 = 3 2 + 3 姨 2 . 第十章 复 数 10.1 复数及其几何意义 10.1.1 复数的概念 1. B 2. A 3. D 4. B 73 暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 1. 在 △ABC 中 ， 已知 A=30° ， a=8 ， b=8 3 姨 ， 则 △ABC 的面积为 （ ） A. 32 3 姨 B. 16 C. 32 3 姨 或 16 D. 32 3 姨 或 16 3 姨 2. 已知 cosθ=- 1 3 ， θ∈ ［ 0 ， π ］， 则 θ 可以表示为 （ ） A. arccos 1 3 B. π-arccos 1 3 C. π+arccos 1 3 D. π+arccos - 1 3 3 % 3. 2002 年在北京召开的国际数学家大会 ， 会标是以我国古代数学家 赵爽的弦图为基础设计的 . 弦图是由 4 个全等的直角三角形与一个小正方 形拼成的一个大正方形 （ 如图 ） . 如果小正方形的面积为 1 ， 大正方形的 面积为 25 ， 直角三角形中较小的锐角为 θ ， 那么 cos2θ 的值为 （ ） A. - 7 25 B. 7 25 C. - 12 25 D. 12 25 4. 如图 ， 在 △ABC 中 ， D 是边 AC 上的点 ， 且 AB=AD ， 2AB= 3 姨 BD ， BC=2BD ， 则 sinC 的值为 （ ） A. 3 姨 3 B. 3 姨 6 C. 6 姨 3 D. 6 姨 6 5. 如图 ， 《 九章算术 》 中记载了一个 “ 折竹抵地 ” 问题 ： 今 有竹高一丈 ， 末折抵地 ， 去本三尺 ， 问折者高几何 . 意思是 ： 有一 根竹子 ， 原高 1 丈 （ 1 丈 =10 尺 ）， 现被风折断 ， 尖端落在地上 ， 竹尖与竹根的距离 3 尺 ， 则折断处离地面的高为 （ ） A. 5.45 尺 B. 4.55 尺 C. 4.2 尺 D. 5.8 尺 9.2 正弦定理与余弦定理的应用 （ 一 ） 夯实 · 基础 能力 · 提升 第 5 题图 A C B 第 3 题图 A C B D 第 4 题图 40 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高一数学 第 周 年 月 日 6. 从某电视塔的正东方向的 A 处 ， 测得塔顶仰角是 60° ， 从电视塔的西偏南 30° 的 B 处 ， 测得塔顶仰角为 45° ， A ， B 间距离为 35 m ， 则此电视塔的高度是 （ ） A. 5 21 姨 m B. 10 m C. 4 900 13 m D. 35 m 7. 已知 O ， A ， B 三地在同一水平面内 ， A 地在 O 地正东方向 2 km 处 ， B 地在 O 地正北 方向 2 km 处 ， 某测绘队员在 A ， B 之间的直线公路上任选一点 C 作为测绘点 ， 用测绘仪进 行测绘 ， O 地为一磁场 ， 距离其不超过 3 姨 km 的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰 ， 使测量结果不准确 ， 则该测绘队员能够得到准确数据的概率是 （ ） A. 1- 2 姨 2 B. 2 姨 2 C. 1- 3 姨 2 D. 1 2 8. 两灯塔 A ， B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a ， 灯塔 A 在 C 北偏东 30° ， B 在 C 南偏 东 60° ， 则 A ， B 之间相距 （ ） A. a B. 3 姨 a C. 2 姨 a D. 2a 9. 如图所示 ， 为了测量某湖泊两侧 A ， B 间的距离 ， 小李同 学首先选定了与 A ， B 不共线的一点 C ， 然后给出了三种测量方 案 （ △ABC 的角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ）： ① 测量 A ， C ， b ； ② 测量 a ， b ， C ； ③ 测量 A ， B ， a. 其中一定能确定 A ， B 间距离的方案的个数为 （ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 10. 对函数 f （ x ） = cosx+m cosx+2 ， 若 坌a ， b ， c∈R ， f （ a ）， f （ b ）， f （ c ） 都为某个三角形的三边 长 ， 则实数 m 的取值范围是 （ ） A. 5 4 ， ， & 6 B. 5 3 ， ， & ６ C. 7 5 ， ， & ５ D. 5 4 ， ， & ５ 11. 如图 ， 为测得河对岸塔 AB 的高 ， 先在河岸上选一点 C ， 使 C 在塔底 B 的正东方向上 ， 测得点 A 的仰角为 60° ， 再由点 C 沿北偏东 15° 方向走 10 m 到位置 D ， 测得 ∠BDC=45° ， 则塔 AB 的高是 （ 单 位 ： m ） （ ） A. 10 2 姨 B. 10 6 姨 C. 10 3 姨 D. 10 拓展 · 探究 A B 湖泊 第 9 题图 A B C D 第 11 题图 41