9.2 正弦定理与余弦定理的应用(二)-【新课程暑假作业】2024-2025学年高一数学暑假作业

高一数学 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 （ 2 ） ∵b= 3 姨 ， a=2 ， ∴ 由余弦定理 b 2 =a 2 +c 2 -2accosB ， 得 （ 3 姨 ） 2 =c 2 +4-2c×2× 1 2 ， 即 c 2 -2c+1=0 ， ∴c=1. 12. （ 1 ） 证明 ： ∵a 2 c=b （ a 2 +c 2 -b 2 ）， ∴ 由余弦定理可得 a 2 c=b · 2accosB ， ∴a=2bcosB ， 由正弦定理可得 sinA=2sinBcosB ， 即 sinA=sin2B. ∵A ， B 为三角形内角 ， ∴A=2B 或 A+2B=π. 若 A+2B=π ， 又 A+B+C=π ， 可得 B=C ， 即 b=c ， 矛盾 ， ∴A=2B. （ 2 ） 解 ： ∵f （ x ） =sinx+cosx= 2 姨 sin x+ π 4 4 # ， ∴f （ B ） = 2 姨 sin B+ π 4 4 4 . ∵A=2B ， 可得 B∈ 0 ， π 2 2 4 ， ∴B+ π 4 ∈ π 4 ， 3π 4 2 4 ， ∴sin B+ π 4 2 4 ∈ 2 姨 2 ， 2 1 1 . 当 B=C= π 4 时 ， sin B+ π 4 4 4 =1 ， ∴ 由 b≠c ， 可得 sin B+ π 4 2 4 ∈ 2 姨 2 ， 2 4 1 ， ∴f （ B ） = 2 姨 sin B+ π 4 2 4 ∈ （ 1 ， 2 姨 ） . 9.2 正弦定理与余弦定理的应用 （ 一 ） 1. D 2. B 3. B 4. D 5. B 6. A 7. A 8. C 9. A 10. C 11. B 9.2 正弦定理与余弦定理的应用 （ 二 ） 1. C 2. C 3. B 4. B 5. C 6. B 7. 解 ： （ 1 ） 由正弦定理可得 ， a-b+c c = sinB sinA+sinB-sinC = b a+b-c ， 整理可得 b 2 +c 2 -a 2 =bc ， ∴cosA= b 2 +c 2 -a 2 2bc = 1 2 ， ∴A= π 3 . （ 2 ） 由正弦定理可得 ， a sin π 3 =4 ， 故 a=2 3 姨 ， 由 b 2 +c 2 -a 2 =bc ， 可得 b 2 +c 2 =12+bc≥2bc ， 解得 bc≤12 ， 当且仅当 b=c 时取等号 ， 此时 S= 1 2 bcsinA≤ 1 2 ×12× 3 姨 2 =3 3 姨 ， 即面积的最大值为 3 3 姨 . 8. 解 ： （ 1 ） ∵ sin2B 3 姨 cos （ B+C ） -cosCsinB = 2b c ， 可得 2sinBcosB - 3 姨 cosA-cosCsinB = 2sinB sinC ， 由 sinB≠0 ， 整理可得 sinCcosB=- 3 姨 cosA-cosCsinB ， ∴- 3 姨 cosA=sinCcosB+cosCsinB=sin （ B+C ） =sinA ， ∴ 可得 tanA=- 3 姨 . ∵A∈ （ 0 ， π ）， ∴A= 2π 3 . （ 2 ） ∵A= 2π 3 ， a= 3 姨 ， ∴ 由余弦定理 a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA ， 可得 3=b 2 +c 2 +bc≥2bc+bc=3bc ， 解得 bc≤1 ， 当且仅当 b=c 时等号成立 ， ∴S △ABC = 1 2 bcsinA≤ 1 2 ×1× 3 姨 2 = 3 姨 4 ， 即 △ABC 的面积的最大值为 3 姨 4 . 9. 解 ： （ 1 ） f （ x ） =sin2xcos π 6 -cos2xsin π 6 +cos2x+1= 3 姨 2 sin2x+ 1 2 cos2x+1=sin 2x+ π 6 # +1. ∵x∈ 0 ， π 2 2 1 ， ∴ π 6 ≤2x+ π 6 ≤ 7π 6 ， ∴- 1 2 ≤sin 2x+ π 6 4 ≤1 ， ∴ 1 2 ≤sin 2x+ π 6 4 +1≤2 ， 即函数 f （ x ） 的值域为 1 2 ， 2 1 2 . （ 2 ） ∵f （ x ） =sin 2A+ π 6 4 +1= 3 2 ， ∴sin 2A+ π 6 4 = 1 2 . ∵0<A<π ， ∴ π 6 <2A+ π 6 < 13π 6 ， ∴2A+ π 6 = 5π 6 ， 即 A= π 3 . 由余弦定理 a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA ， ∴6=4+c 2 -2c ， 即 c 2 -2c-2=0. 又 ∵c>0 ， ∴c=1+ 3 姨 ， ∴S △ABC = 1 2 bcsinA= 1 2 ×2× （ 1+ 3 姨 ） × 3 姨 2 = 3 2 + 3 姨 2 . 第十章 复 数 10.1 复数及其几何意义 10.1.1 复数的概念 1. B 2. A 3. D 4. B 73 暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 1. 在 △ABC 中 ， 内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， S 为 △ABC 的面积 ， sin （ A+C ） = 2S b 2 -c 2 ， 且 A ， B ， C 成等差数列 ， 则 C 的大小为 （ ） A. π 3 B. 2π 3 C. π 6 D. 5π 6 2. 在 △ABC 中 ， AB=4 ， AC=3 ， A=60° ， 则 △ABC 的面积为 （ ） A. 3 3 姨 2 B. 3 C. 3 3 姨 D. 6 3 姨 3. 在 △ABC 中 ， D 为 AC 边上一点 ， 若 BD=3 ， CD=4 ， AD=5 ， AB=7 ， 则 BC= （ ） A. 2 2 姨 B. 13 姨 C. 2 3 姨 D. 37 姨 4. △ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， 已知 sinB+sinA （ sinC-cosC ） =0 ， a=2 ， c= 2 姨 ， 则 C= （ ） A. π 12 B. π 6 C. π 4 D. π 3 5. 已知 △ABC 的三边长为 a ， b ， c ， 满足直线 ax+by+c=0 与圆 x 2 +y 2 =1 相离 ， 则 △ABC 是 （ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上情况都有可能 6. 在 △ABC 中 ， c= 3 姨 ， A=75° ， B=45° ， 则 △ABC 的外接圆面积为 （ ） A. π 4 B. π C. 2π D. 4π 7. 已知在 △ABC 中 ， 角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， 且 a-b+c c = sinB sinA+sinB-sinC . （ 1 ） 求角 A 的大小 ； （ 2 ） 若 △ABC 的外接圆半径为 2 ， 求 △ABC 的面积 S 的最大值 . 9.2 正弦定理与余弦定理的应用 （ 二 ） 夯实 · 基础 能力 · 提升 42 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高一数学 第 周 年 月 日 8. △ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， 已知 sin2B 3 姨 cos （ B+C ） -cosCsinB = 2b c . （ 1 ） 求角 A 的大小 ； （ 2 ） 若 a= 3 姨 ， 求 △ABC 的面积的最大值 . 9. 设函数 f （ x ） =sin 2x- π 6 # $ +2cos 2 x. （ 1 ） 当 x∈ 0 ， π 2 2 ' 时 ， 求函数 f （ x ） 的值域 ； （ 2 ） △ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， 且 f （ A ） = 3 2 ， a= 6 姨 ， b=2 ， 求 △ABC 的面积 . 拓展 · 探究 43