9.1 正弦定理与余弦定理-【新课程暑假作业】2024-2025学年高一数学暑假作业

暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 1. 在 △ABC 中 ， 角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， 则下列等式正确的是 （ ） A. a ∶ b=A ∶B B. asinA=bsinB C. a ∶ b=sinB ∶ sinA D. a ∶ b=sinA ∶ sinB 2. 在 △ABC 中 ， 角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ， 且 a= 2 姨 ， b= 3 姨 ， B=60° ， 则 角 A= （ ） A. 45° B. 30° C. 45° 或 135° D. 30° 或 150° 3. 在 △ABC 中 ， 角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ， 若 b=2 3 姨 ， a=2 ， cosB+ 3 姨 sinB= 2 ， 则 A= （ ） A. π 3 B. π 6 或 5π 6 C. 5π 6 D. π 6 4. 在 △ABC 中 ， a=2 ， b= 6 姨 ， B= π 3 ， 则 sinA 的值是 （ ） A. 1 2 B. 2 姨 2 C. 3 姨 2 D. 1 2 或 3 姨 2 5. 在 △ABC 中 ， 已知 b=40 ， c=20 ， C=60° ， 则此三角形的解的情况是 （ ） A. 有一个解 B. 有两个解 C. 无解 D. 有解 ， 但解的个数不确定 6. 在 △ABC 中 ， 已知 a= 3 姨 ， B=30° ， △ABC 外接圆的半径为 1 ， 则 S △ABC = （ ） A. 3 姨 2 B. 1 4 C. 3 姨 2 或 1 4 D. 3 姨 2 或 3 姨 4 7. 在 △ABC 中 ， 已知角 B=30° ， AB=2 ， AC=2 ， 则 △ABC 的面积为 （ ） A. 3 姨 B. 3 姨 或 2 3 姨 C. 2 3 姨 D. 4 3 姨 或 2 3 姨 8. 在 △ABC 中 ， 若 sinA （ sinB+cosB ） -sinC=0 ， 则角 A 的值为 ， 当 sin2B+2sin2C 取得最大值时 ， tan2B 的值为 . 9. △ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c. 已知 bsinA+acosB=0 ， 则角 B= . 第九章 解 三 角 形 9.1.1 正 弦 定 理 夯实 · 基础 能力 · 提升 9.1 正弦定理与余弦定理 36 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高一数学 第 周 年 月 日 10. 在锐角 △ABC 中 ， BC=1 ， B=2A ， 则 AC cosA 的值等于 ， AC 的取值范围为 . 11. 已知在锐角 △ABC 中 ， 角 A ， B ， C 所对边的长分别为 a ， b ， c ， b sinB = 3 姨 a cosA . （ 1 ） 求角 A 的大小 ； （ 2 ） 若 a=4 ， 求 3 姨 b-c 的取值范围 . 12. 在 △ABC 中 ， 三个内角分别为 A ， B ， C ， 已知 sin A+ π 6 # $ =2cosA. （ 1 ） 求角 A 的值 ； （ 2 ） 若 B∈ 0 ， π 3 3 $ ， 且 cos （ A-B ） = 4 5 ， 求 sinB. 拓展 · 探究 37 暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 1. 在 △ABC 中 ， 若 AB= 13 姨 ， BC=3 ， C=120° ， 则 AC= （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 钝角 △ABC 的面积是 1 2 ， AB=1 ， BC= 2 姨 ， 则 AC= （ ） A. 5 B. 5 姨 C. 2 D. 1 3. 在 △ABC 中 ， 内角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ， 若 3a=2b ， 则 2sin 2 B-sin 2 A sin 2 A 的值为 （ ） A. - 1 9 B. 1 3 C. 1 D. 7 2 4. 在 △ABC 中 ， 内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， 若 c 2 = （ a-b ） 2 +6 ， C= π 3 ， 则 △ABC 的面积为 （ ） A. 3 B. 9 3 姨 2 C. 3 3 姨 2 D. 3 3 姨 5. 在 △ABC 中 ， 若 sin 2 A+sin 2 B<sin 2 C ， 则 △ABC 的形状是 （ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 6. 在 △ABC 中 ， AC=3 ， AB=4 ， BC=6 ， 则 △ABC 的最大内角的余弦值为 （ ） A. 43 48 B. - 1 4 C. - 7 12 D. - 11 24 7. 在 △ABC 中 ， 若 a 2 =b 2 +c 2 -bc ， 则 A＝ （ ） A. 45° B. 120° C. 60° D. 30° 8. 若 a ， b ， c 为 △ABC 的三边且关于 x 的一元二次方程 （ c-b ） x 2 +2 2 姨 （ b-a ） x+2 （ a-b ） =0 有两个相等的实数根 ， 则 △ABC 的形状为 . 9. 在 △ABC 中 ， sinA ∶ sinB ∶ sinC=2 ∶4 ∶5 ， 则 cosC= . 10. 在 △ABC 中 ， 如果 S △ABC = a 2 +b 2 -c 2 4 ， 那么 C= . 9.1.2 余 弦 定 理 夯实 · 基础 能力 · 提升 38 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高一数学 第 周 年 月 日 11. 在 △ABC 中 ， 角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， 且 a>b>c ， 3 姨 c-2bsinC=0. （ 1 ） 求角 B 的大小 ； （ 2 ） 若 b= 3 姨 ， a=2 ， 求 c. 12. 在 △ABC 中 ， 角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， 且满足 a 2 c=b （ a 2 +c 2 -b 2 ） （ 其中 b≠c ） . （ 1 ） 求证 ： A=2B ； （ 2 ） 若 f （ x ） =sinx+cosx ， 求 f （ B ） 的取值范围 . 拓展 · 探究 39 暑 假 作 业 新课程 （ 2 ） 将函数 f （ x ） 的图象向右平移 π 6 个单位长度 ， 得到函数 g （ x ） ＝2cos 2x- π 3 + π 6 6 " +1=2cos 2x- π 6 6 " +1 的图象 ， ∵x∈ - π 4 ， π 4 4 % ， ∴- 2π 3 ≤2x- π 6 ≤ π 3 ， 故 - 1 2 ≤cos 2x- π 6 6 " ≤1 ， ∴0≤g （ x ） ≤3 ， 故函数的值域为 ［ 0 ， 3 ］ . 19. 解 ： （ 1 ） ∵f （ x ） = 3 姨 sin2x-cos2x=2sin 2x- π 6 6 " ， ∴T= 2π 2 =π. 当 f （ x ） =0 时 ， 得 2x- π 6 =kπ ， 即 x= kπ 2 + π 12 ， k∈Z ， ∴ 函数的对称中心为 kπ 2 + π 12 ， 6 " 0 ， k∈Z. （ 2 ） 当 x∈ ［ 0 ， π ］ 时 ， - π 6 ≤2x- π 6 ≤ 11π 6 ， ∴-2≤2sin 2x- π 6 6 " ≤2. 当 2x- π 6 = 3π 2 ， 即 x= 5π 6 时 ， 函数取得最小值 -2. （ 3 ） ∵f α 2 6 " = 1 2 ， ∴f α 2 6 " =2sin α- π 6 6 " = 1 2 ， ∴sin α- π 6 6 " = 1 4 . ∵α∈ （ 0 ， π ）， ∴α- π 6 ∈ - π 6 ， 5 6 6 " π . 又 ∵sin α- π 6 6 " = 1 4 < 1 2 ， ∴0<α- π 6 < π 6 ， ∴cos α- π 6 6 " = 15 姨 4 . ∴cosα=cos α- π 6 + π 6 6 " =cos α- π 6 6 " cos π 6 -sin α- π 6 6 " sin π 6 = 15 姨 4 × 3 姨 2 - 1 4 × 1 2 = 3 5 姨 -1 8 . 第九章 解 三 角 形 9.1 正弦定理与余弦定理 9.1.1 正 弦 定 理 1. D 2. A 3. D 4. B 5. C 6. D 7. A 8. π 4 - 1 2 9. 3π 4 10. 2 （ 2 姨 ， 3 姨 ） 11. 解 ： （ 1 ） 由 b sinB = 3 姨 a cosA 及正弦定理得 sinB sinB = 3 姨 sinA cosA ， ∴tanA= 3 姨 3 . 又 ∵A∈ 0 ， π 2 6 " ， ∴A= π 6 . （ 2 ） ∵2R= a sinA =8 ， ∴ 3 姨 b-c=2R （ 3 姨 sinB-sinC ） =8 3 姨 sinB-sin 5π 6 - 6 " B 4 % =8 3 姨 2 sinB- 1 2 cos 6 " B = 8sin B- π 6 6 " . 又 ∵△ABC 为锐角三角形 ， ∴B∈ π 3 ， π 2 6 " ， 即 B- π 6 ∈ π 6 ， π 3 6 " ， ∴ 3 姨 b-c∈ （ 4 ， 4 3 姨 ） . 12. 解 ： （ 1 ） ∵sin A+ π 6 6 " =2cosA ， 得 3 姨 2 sinA+ 1 2 cosA=2cosA ， 即 sinA= 3 姨 cosA ， ∵A∈ （ 0 ， π ）， 且 cosA≠0 ， ∴tanA= 3 姨 ， ∴A= π 3 . （ 2 ） ∵B∈ 0 ， π 3 6 " ， cos （ A-B ） = 4 5 ， ∴A-B= π 3 -B∈ 0 ， π 3 6 " . ∵sin 2 （ A-B ） +cos 2 （ A-B ） =1 ， ∴sin （ A-B ） = 3 5 ， ∴sinB=sin ［ A- （ A-B ）］ =sinAcos （ A-B ） -cosAsin （ A-B ） = 4 3 姨 -3 10 . 9.1.2 余 弦 定 理 1. A 2. B 3. D 4. C 5. C 6. D 7. C 8. 等腰三角形 9. - 5 16 10. π 4 11. 解 ： （ 1 ） ∵ 3 姨 c-2bsinC=0 ， ∴ 3 姨 sinC-2sinBsinC=0. ∵0<C<π ， ∴sinC≠0 ， ∴sinB= 3 姨 2 . ∵0<B<π ， 且 a>b>c ， ∴B= π 3 . 72 高一数学 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 （ 2 ） ∵b= 3 姨 ， a=2 ， ∴ 由余弦定理 b 2 =a 2 +c 2 -2accosB ， 得 （ 3 姨 ） 2 =c 2 +4-2c×2× 1 2 ， 即 c 2 -2c+1=0 ， ∴c=1. 12. （ 1 ） 证明 ： ∵a 2 c=b （ a 2 +c 2 -b 2 ）， ∴ 由余弦定理可得 a 2 c=b · 2accosB ， ∴a=2bcosB ， 由正弦定理可得 sinA=2sinBcosB ， 即 sinA=sin2B. ∵A ， B 为三角形内角 ， ∴A=2B 或 A+2B=π. 若 A+2B=π ， 又 A+B+C=π ， 可得 B=C ， 即 b=c ， 矛盾 ， ∴A=2B. （ 2 ） 解 ： ∵f （ x ） =sinx+cosx= 2 姨 sin x+ π 4 4 # ， ∴f （ B ） = 2 姨 sin B+ π 4 4 4 . ∵A=2B ， 可得 B∈ 0 ， π 2 2 4 ， ∴B+ π 4 ∈ π 4 ， 3π 4 2 4 ， ∴sin B+ π 4 2 4 ∈ 2 姨 2 ， 2 1 1 . 当 B=C= π 4 时 ， sin B+ π 4 4 4 =1 ， ∴ 由 b≠c ， 可得 sin B+ π 4 2 4 ∈ 2 姨 2 ， 2 4 1 ， ∴f （ B ） = 2 姨 sin B+ π 4 2 4 ∈ （ 1 ， 2 姨 ） . 9.2 正弦定理与余弦定理的应用 （ 一 ） 1. D 2. B 3. B 4. D 5. B 6. A 7. A 8. C 9. A 10. C 11. B 9.2 正弦定理与余弦定理的应用 （ 二 ） 1. C 2. C 3. B 4. B 5. C 6. B 7. 解 ： （ 1 ） 由正弦定理可得 ， a-b+c c = sinB sinA+sinB-sinC = b a+b-c ， 整理可得 b 2 +c 2 -a 2 =bc ， ∴cosA= b 2 +c 2 -a 2 2bc = 1 2 ， ∴A= π 3 . （ 2 ） 由正弦定理可得 ， a sin π 3 =4 ， 故 a=2 3 姨 ， 由 b 2 +c 2 -a 2 =bc ， 可得 b 2 +c 2 =12+bc≥2bc ， 解得 bc≤12 ， 当且仅当 b=c 时取等号 ， 此时 S= 1 2 bcsinA≤ 1 2 ×12× 3 姨 2 =3 3 姨 ， 即面积的最大值为 3 3 姨 . 8. 解 ： （ 1 ） ∵ sin2B 3 姨 cos （ B+C ） -cosCsinB = 2b c ， 可得 2sinBcosB - 3 姨 cosA-cosCsinB = 2sinB sinC ， 由 sinB≠0 ， 整理可得 sinCcosB=- 3 姨 cosA-cosCsinB ， ∴- 3 姨 cosA=sinCcosB+cosCsinB=sin （ B+C ） =sinA ， ∴ 可得 tanA=- 3 姨 . ∵A∈ （ 0 ， π ）， ∴A= 2π 3 . （ 2 ） ∵A= 2π 3 ， a= 3 姨 ， ∴ 由余弦定理 a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA ， 可得 3=b 2 +c 2 +bc≥2bc+bc=3bc ， 解得 bc≤1 ， 当且仅当 b=c 时等号成立 ， ∴S △ABC = 1 2 bcsinA≤ 1 2 ×1× 3 姨 2 = 3 姨 4 ， 即 △ABC 的面积的最大值为 3 姨 4 . 9. 解 ： （ 1 ） f （ x ） =sin2xcos π 6 -cos2xsin π 6 +cos2x+1= 3 姨 2 sin2x+ 1 2 cos2x+1=sin 2x+ π 6 # +1. ∵x∈ 0 ， π 2 2 1 ， ∴ π 6 ≤2x+ π 6 ≤ 7π 6 ， ∴- 1 2 ≤sin 2x+ π 6 4 ≤1 ， ∴ 1 2 ≤sin 2x+ π 6 4 +1≤2 ， 即函数 f （ x ） 的值域为 1 2 ， 2 1 2 . （ 2 ） ∵f （ x ） =sin 2A+ π 6 4 +1= 3 2 ， ∴sin 2A+ π 6 4 = 1 2 . ∵0<A<π ， ∴ π 6 <2A+ π 6 < 13π 6 ， ∴2A+ π 6 = 5π 6 ， 即 A= π 3 . 由余弦定理 a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA ， ∴6=4+c 2 -2c ， 即 c 2 -2c-2=0. 又 ∵c>0 ， ∴c=1+ 3 姨 ， ∴S △ABC = 1 2 bcsinA= 1 2 ×2× （ 1+ 3 姨 ） × 3 姨 2 = 3 2 + 3 姨 2 . 第十章 复 数 10.1 复数及其几何意义 10.1.1 复数的概念 1. B 2. A 3. D 4. B 73