8.2.1 两角和与差的余弦-【新课程暑假作业】2024-2025学年高一数学暑假作业

暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 1. 函数 f （ x ） =2cosπx-2sinπx 的最小正周期为 （ ） A. 2 B. 2π C. 2 姨 D. 2 姨 π 2. 已知 sinα= 1 3 （ α 为第二象限角 ）， 则 cos α- π 4 " # = （ ） A. 4- 2 姨 6 B. 2 姨 -2 6 C. 4+ 2 姨 6 D. 2 姨 -4 6 3. 将函数 f （ x ） =2cosx-2 3 姨 sinx 的图象向左平移 渍 （ 渍>0 ） 个单位长度 ， 所得图象对应 的函数为偶函数 ， 则 渍 的最小值为 （ ） A. π 6 B. π 3 C. 2π 3 D. 5π 6 4. 如图所示 ， 在平面直角坐标系中 ， 角 α 和角 β 均以 Ox 为始 边 ， 终边分别为射线 OA 和 OB ， 射线 OA ， OC 与单位圆的交点分 别为 A 3 5 ， 4 5 " 5 ， C （ -1 ， 0 ） . 若 ∠BOC= π 6 ， 则 cos （ β-α ） 的值是 （ ） A. 3-4 3 姨 10 B. 3+4 3 姨 10 C. 4-3 3 姨 10 D. 4+3 3 姨 10 5. 将射线 y= 5 12 x （ x≥0 ） 按逆时针方向旋转到射线 y=- 4 3 x （ x≤0 ） 的位置所成的角为 θ ， 则 cosθ= （ ） A. ± 16 65 B. - 16 65 C. ± 56 65 D. - 56 65 6. 在 △ABC 中 ， 若 cosAcosB>sinAsinB ， 则 △ABC 一定为 （ ） A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 直角三角形 7. 若 f （ x ） =cosx-sinx 在 ［ -a ， a ］ 上是减函数 ， 则 a 的最大值是 （ ） A. π 4 B. π 2 C. 3π 4 D. π 8.2.1 两角和与差的余弦 夯实 · 基础 α β x O C B y A 第 4 题图 8.2 三角恒等变换 28 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高一数学 第 周 年 月 日 8. cos31°cos1°+sin149°sin1°= （ ） A. - 3 姨 2 B. 3 姨 2 C. - 1 2 D. 1 2 9. 若 cos α+ π 4 4 # = 1 3 ， α∈ 0 ， π 2 2 & ， 则 sinα 的值为 （ ） A. 7 18 B. 2 姨 3 C. 4- 2 姨 6 D. 4+ 2 姨 6 10. cos80°cos200°+sin100°sin340°= （ ） A. 1 2 B. 2 C. - 1 2 D. 3 姨 2 11. 若 0<α< π 2 ， - π 2 <β<0 ， cos α+ π 4 2 & = 1 3 ， cos π 4 - β 2 2 & = 3 姨 3 ， 则 cos α+ β 2 2 & = （ ） A. 3 姨 3 B. - 3 姨 3 C. 5 3 姨 9 D. - 6 姨 9 12. 已知 x∈ （ 0 ， π ）， cos x- π 6 2 & =- 3 姨 3 ， 则 cos x- π 3 2 & = （ ） A. -3+ 6 姨 6 B. -3- 6 姨 6 C. 3- 6 姨 6 D. 3+ 6 姨 6 13. 已知 cosα= 1 3 ， cos （ α+β ） =- 3 5 ， 且 α ， β 为锐角 ， 则 cosβ= （ ） A. 4 2 姨 -3 15 B. 4 2 姨 15 C. 8 2 姨 -3 15 D. 8 2 姨 15 14. 计算 cos70°cos335°+sin110°sin25° 的结果是 （ ） A. 2 姨 2 B. 1 C. 3 姨 2 D. 1 2 15. （ 多选题 ） 下列各式中 ， 正确的是 （ ） A. cos π 4 + π 6 2 & =cos π 4 cos π 6 - 1 2 sin π 4 B. cos 5π 12 = 2 姨 2 sin π 3 -cos π 4 cos π 3 C. cos - π 12 2 & =cos π 4 cos π 3 + 6 姨 4 D. cos π 12 =cos π 3 -cos π 4 16. 已知 sin π 6 + 2 & α = 4 5 ， α∈ π 3 ， 5π 6 2 & ， 则 cosα 的值为 . 29 暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 17. 若 tanα=3 ， α∈ 0 ， π 2 " # ， 则 cos α- π 4 " $ = . 18. 若 sin θ+ π 3 % $ = 4 3 姨 13 ， θ∈ （ 0 ， π ）， 则 cosθ= . 19. 定义运算 a b c d =ad-bc ， 若 cosα= 1 7 ， sinα sinβ cosα cosβ = 3 3 姨 14 ， 0<β<α< π 2 ， 则 β= . 20. 已知 α ， β 为锐角 ， 且 cos （ α+β ） =sin （ α+β ）， 则 tanα= . 21. 2cos10°-sin20° sin70° = . 22. 已知角 α 的顶点与原点 O 重合 ， 始边与 x 轴的非负半轴重合 ， 它的终边经过单 位圆上一点 P - 3 5 ， 4 5 % $ . （ 1 ） 求 sin （ α+π ） 的值 ； （ 2 ） 若角 β 满足 cos （ α+β ） = 5 13 ， 求 cosβ 的值 . 能力 · 提升 30 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高一数学 第 周 年 月 日 23. 已知 a= （ cosα ， sinα ）， b= （ cosβ ， sinβ ）， 0<β<α<π. （ 1 ） 求证 ： 向量 a+b 与 a-b 垂直 ； （ 2 ） 若 ka+b 与 a-kb 的模相等 ， 求 β-α 的值 （ 其中 k 为非零实数 ） . 24. 已知函数 f （ x ） =sin2x- 3 姨 cos2x （ x∈R ） . （ 1 ） 若 f （ α ） = 1 2 且 α∈ 5π 12 ， 2π 3 3 $ ， 求 cos2α 的值 ； （ 2 ） 记函数 f （ x ） 在 π 4 ， π 2 2 & 上的最大值为 b ， 且函数 f （ x ） 在 ［ aπ ， bπ ］ （ a<b ） 上单调 递增 ， 求实数 a 的最小值 . 拓展 · 探究 31 暑 假 作 业 新课程 由 tan - 5 4 ! " π =-tan π 4 =-1 可知 ， 所求符合条件的第二象限角为 x=- 5 4 π. ∴ 在 ［ -2π ， 0 ］ 内满足条件的 x 是 - π 4 与 - 5π 4 . 7. 解 ： ∵cos 2x+ π 3 ! " =- 1 2 ， 则 cos 2 3 π=- 1 2 ， cos 4 3 π=- 1 2 ， ∴2x+ π 3 =2kπ+ 2π 3 （ k∈Z ） 或 2x+ π 3 =2kπ+ 4π 3 （ k∈ Z ）， 即 x=kπ+ π 6 （ k∈Z ） 或 x=kπ+ π 2 （ k∈Z ） . 又 ∵x∈ ［ 0 ， 2π ］， ∴x 的取值集合为 π 6 ， π 2 ， 7π 6 ， 3π 2 2 % . 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.1 向量的数量积 8.1.1 向量数量积的概念 1. B 2. D 3. C 4. C 5. B 6. B 7. A 8. -2 9. 解 ： ∵2a-b= （ 2cosθ- 3 姨 ， 2sinθ+1 ）， ∴｜2a-b｜ 2 = （ 2cosθ- 3 姨 ） 2 + （ 2sinθ+1 ） 2 =8+4sinθ-4 3 姨 cosθ=8sin θ- π 3 ! " +8≤ 16 ， ∴｜2a-b｜≤4. 此时 sin θ- π 3 ! " =1 ， ∴｜2a-b｜ 的最大值为 4. 8.1.2 向量数量积的运算律 1. A 2. D 3. B 4. 2 5. 2 6. 7 姨 7. π 6 8. 5 9. 解 ： （ 1 ） 设向量 a 与 b 的夹角为 θ ， ∵a ·（ b-a ） =a · b-a 2 =2 ， ∴a · b=4 ， ∴cosθ= a · b ｜a｜｜b｜ = 2 姨 2 . ∵θ∈ ［ 0 ， π ］， ∴θ= π 4 . （ 2 ） 由 ｜ta-b｜=2 2 姨 ， 得 8=t 2 ｜a｜ 2 -2ta · b+｜b｜ 2 =2t 2 -8t+16 ， ∴2t 2 -8t+8=0 ， 解得 t=2. 10. 解 ： （ 1 ） 由平面向量数量积的定义可得 a · b=｜a｜ · ｜b｜cos60°=3×2× 1 2 =3. （ 2 ） ∵c⊥d ， ∴c · d= （ 3a+5b ）（ ma-b ） =3ma 2 + （ 5m-3 ） a · b-5b 2 =3m×3 2 +3 （ 5m-3 ） -5×2 2 =42m-29=0 ， 解得 m= 29 42 . 11. 22 8.1.3 向量数量积的坐标运算 1. B 2. C 3. D 4. D 5. C 6. B 7. A 8. B 9. B 10. -6 11. 5 12. 解 ： （ 1 ） 向量 a= （ 1 ， 2 ）， b= （ 2 ， -3 ）， 则 a-b= （ -1 ， 5 ）， ∴｜a-b｜= （ -1 ） 2 +5 2 姨 = 26 姨 . （ 2 ） a+b= （ 3 ， -1 ）， ∴ （ a+b ）·（ a-b ） =-1×3+5× （ -1 ） =-8 ， ∴｜a+b｜= 3 2 + （ -1 ） 2 姨 = 10 姨 ， ∴ 向量 a+b 与 a-b 夹角的余弦值为 cos 〈 a+b ， a-b 〉 = （ a+b ）·（ a-b ） ｜a+b｜ · ｜a-b｜ = -8 26 姨 × 10 姨 =- 4 65 姨 65 . 13. 解 ： （ 1 ） 当 m=3 ， n=-1 时 ， a= （ 1 ， 3 ）， b= （ 2 ， -1 ）， ∴a+λb= （ 1 ， 3 ） +λ （ 2 ， -1 ） = （ 1+2λ ， 3-λ ） . 若 a⊥ （ a+λb ）， 则 a ·（ a+λb ） =0 ， 即 （ 1+2λ ） +3 （ 3-λ ） =0 ， 解得 λ=10. （ 2 ） ∵a= （ 1 ， m ）， b= （ 2 ， n ）， ∴a+b= （ 3 ， m+n ） . ∵｜a+b｜=5 ， ∴3 2 + （ m+n ） 2 =5 2 ， 则 （ m+n ） 2 =16 ， ∴a · b=1×2+mn≤2+ 1 4 （ m+n ） 2 =2+ 1 4 ×16=6 ， 故当 m=n=2 或 m=n=-2 时 ， a · b 的最大值为 6. 8.2 三角恒等变换 8.2.1 两角和与差的余弦 1. A 2. D 3. C 4. C 5. B 6. B 7. A 8. B 9. C 10. C 11. C 12. A 13. C 14. A 15. ABC 16. 4-3 3 姨 10 17. 2 5 姨 5 18. 1 26 19. π 3 20. 1 21. 3 姨 22. 解 ： （ 1 ） 根据三角函数的定义可知 sinα= 4 5 ， cosα=- 3 5 ， ∴sin （ α+π ） =-sinα=- 4 5 . 70 高一数学 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 （ 2 ） 由于 cos （ α+β ） = 5 13 ， ∴sin （ α+β ） =± 12 13 . 当 sin （ α+β ） = 12 13 时 ， cosβ=cos ［（ α+β ） -α ］ =cos （ α+β ） cosα+sin （ α+β ） sinα= 5 13 × - 3 5 ! " + 12 13 × 4 5 = 33 65 . 当 sin （ α+β ） =- 12 13 时 ， cosβ=cos ［（ α+β ） -α ］ =cos （ α+β ） cosα+sin （ α+β ） sinα= 5 13 × - 3 5 ! " + - 12 13 ! " × 4 5 =- 63 65 . 23. （ 1 ） 证明 ： ∵a= （ cosα ， sinα ）， b= （ cosβ ， sinβ ）， ∴｜a｜= cos 2 α+sin 2 α 姨 =1 ， 同理 ｜b｜=1. ∵ （ a+b ）·（ a-b ） =a 2 -b 2 =｜a｜ 2 -｜b｜ 2 =1-1=0 ， 因此 ， 向量 a+b 与 a-b 垂直 . （ 2 ） 解 ： a · b=cosαcosβ+sinαsinβ=cos （ β-α ）， ∵｜ka+b｜=｜a-kb｜ ， ∴｜ka+b｜ 2 =｜a-kb｜ 2 ， 则 k 2 a 2 +2ka · b+b 2 =a 2 -2ka · b+k 2 b 2 ， 即 k 2 +2ka · b+1=1-2ka · b+k 2 ， 整理得 a · b=cos （ β-α ） =0. ∵0<β<α<π ， ∴-π<β-α<0 ， ∴ β-α=- π 2 . 24. 解 ： （ 1 ） f （ x ） =sin2x- 3 姨 cos2x=2sin 2x- π 3 ! " . ∵f （ α ） = 1 2 ， ∴sin 2α- π 3 ! " = 1 4 . ∵α∈ 5π 12 ， 2π 3 3 & ， ∴2α- π 3 ∈ π 2 ， 3 & π ， ∴cos 2α- π 3 ! " =- 1- 1 4 ! " 2 姨 =- 15 姨 4 ， ∴cos2α=cos 2α- π 3 + π 3 ! " = 1 2 cos 2α- π 3 ! " - 3 姨 2 sin 2α- π 3 ! " = 1 2 × - 15 姨 4 ! " - 3 姨 2 × 1 4 =- 3 姨 + 15 姨 8 . （ 2 ） 当 x∈ π 4 ， π 2 3 & 时 ， 2x- π 3 ∈ π 6 ， 2π 3 3 & ， sin 2x- π 3 ! " ∈ 1 2 ， 1 3 & ， ∴f （ x ）∈ ［ 1 ， 2 ］， ∴b=2. 由 - π 2 +2kπ≤2x- π 3 ≤ π 2 +2kπ ， k∈Z ， 得 - π 12 +kπ≤x≤ 5π 12 +kπ ， k∈Z. 又 ∵ 函数 f （ x ） 在 ［ aπ ， 2π ］ （ a<2 ） 上单调递增 ， ∴ ［ aπ ， 2π ］ 哿 - π 12 +kπ ， 5π 12 +k 3 & π ， ∴- π 12 +2π≤aπ<2π ， ∴ 23 12 ≤a<2 ， ∴ 实数 a 的最小值是 23 12 . 8.2.2 两角和与差的正弦 、 正切 1. A 2. C 3. C 4. C 5. π 4 6. 12 3 姨 -5 26 7. 1 8. 解 ： （ 1 ） ∵m⊥n ， ∴m · n=0. 又 ∵m= （ -2 ， -1 ）， n= cos A+ π 6 ! " ， sin A- π 3 ! "! " ， ∴-2cos A+ π 6 ! " -sin A- π 3 ! " =0 ， 即 -2 3 姨 2 cosA- 1 2 sin ! " A - 1 2 sinA- 3 姨 2 cos ! " A =0 ， ∴sinA- 3 姨 cosA=0 ， ∴tanA= 3 姨 ， ∴A= π 3 . （ 2 ） ∵ sin 2 C-cos 2 C 1-2sinCcosC = （ sinC+cosC ）（ sinC-cosC ） （ sinC-cosC ） 2 = sinC+cosC sinC-cosC = tanC+1 tanC-1 =-2 ， ∴2-2tanC=tanC+1 ， ∴tanC= 1 3 . 由 A+B+C=π 得 tanB=-tan （ A+C ） =- tanA+tanC 1-tanAtanC =- 3 姨 + 1 3 1- 3 姨 3 =- 6+5 3 姨 3 . 8.2.3 倍 角 公 式 1. A 2. B 3. B 4. A 5. B 6. A 7. C 8. C 9. B 10. B 11. A 12. B 13. D 14. C 15. - 1 2 16. -3 - 3 5 17. －1 18. 解 ： （ 1 ） 函数 f （ x ） =2sin 2 x- π 4 ! " + 3 姨 cos2x=1-cos 2x- π 2 ! " + 3 姨 cos2x= 3 姨 cos2x-sin2x+1=2cos 2x+ π 6 ! " +1. ∴ 函数的最小正周期为 T= 2π 2 =π. 令 2kπ≤2x+ π 6 ≤2kπ+π （ k∈Z ）， 整理得 kπ- π 12 ≤x≤kπ+ 5π 12 （ k∈Z ）， ∴ 函数的单调递减区间为 kπ- π 12 ， kπ+ 5π 12 3 & （ k∈Z ） . 71