8.1.3 向量数量积的坐标运算-【新课程暑假作业】2024-2025学年高一数学暑假作业

暑 假 作 业 新课程 由 tan - 5 4 ! " π =-tan π 4 =-1 可知 ， 所求符合条件的第二象限角为 x=- 5 4 π. ∴ 在 ［ -2π ， 0 ］ 内满足条件的 x 是 - π 4 与 - 5π 4 . 7. 解 ： ∵cos 2x+ π 3 ! " =- 1 2 ， 则 cos 2 3 π=- 1 2 ， cos 4 3 π=- 1 2 ， ∴2x+ π 3 =2kπ+ 2π 3 （ k∈Z ） 或 2x+ π 3 =2kπ+ 4π 3 （ k∈ Z ）， 即 x=kπ+ π 6 （ k∈Z ） 或 x=kπ+ π 2 （ k∈Z ） . 又 ∵x∈ ［ 0 ， 2π ］， ∴x 的取值集合为 π 6 ， π 2 ， 7π 6 ， 3π 2 2 % . 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.1 向量的数量积 8.1.1 向量数量积的概念 1. B 2. D 3. C 4. C 5. B 6. B 7. A 8. -2 9. 解 ： ∵2a-b= （ 2cosθ- 3 姨 ， 2sinθ+1 ）， ∴｜2a-b｜ 2 = （ 2cosθ- 3 姨 ） 2 + （ 2sinθ+1 ） 2 =8+4sinθ-4 3 姨 cosθ=8sin θ- π 3 ! " +8≤ 16 ， ∴｜2a-b｜≤4. 此时 sin θ- π 3 ! " =1 ， ∴｜2a-b｜ 的最大值为 4. 8.1.2 向量数量积的运算律 1. A 2. D 3. B 4. 2 5. 2 6. 7 姨 7. π 6 8. 5 9. 解 ： （ 1 ） 设向量 a 与 b 的夹角为 θ ， ∵a ·（ b-a ） =a · b-a 2 =2 ， ∴a · b=4 ， ∴cosθ= a · b ｜a｜｜b｜ = 2 姨 2 . ∵θ∈ ［ 0 ， π ］， ∴θ= π 4 . （ 2 ） 由 ｜ta-b｜=2 2 姨 ， 得 8=t 2 ｜a｜ 2 -2ta · b+｜b｜ 2 =2t 2 -8t+16 ， ∴2t 2 -8t+8=0 ， 解得 t=2. 10. 解 ： （ 1 ） 由平面向量数量积的定义可得 a · b=｜a｜ · ｜b｜cos60°=3×2× 1 2 =3. （ 2 ） ∵c⊥d ， ∴c · d= （ 3a+5b ）（ ma-b ） =3ma 2 + （ 5m-3 ） a · b-5b 2 =3m×3 2 +3 （ 5m-3 ） -5×2 2 =42m-29=0 ， 解得 m= 29 42 . 11. 22 8.1.3 向量数量积的坐标运算 1. B 2. C 3. D 4. D 5. C 6. B 7. A 8. B 9. B 10. -6 11. 5 12. 解 ： （ 1 ） 向量 a= （ 1 ， 2 ）， b= （ 2 ， -3 ）， 则 a-b= （ -1 ， 5 ）， ∴｜a-b｜= （ -1 ） 2 +5 2 姨 = 26 姨 . （ 2 ） a+b= （ 3 ， -1 ）， ∴ （ a+b ）·（ a-b ） =-1×3+5× （ -1 ） =-8 ， ∴｜a+b｜= 3 2 + （ -1 ） 2 姨 = 10 姨 ， ∴ 向量 a+b 与 a-b 夹角的余弦值为 cos 〈 a+b ， a-b 〉 = （ a+b ）·（ a-b ） ｜a+b｜ · ｜a-b｜ = -8 26 姨 × 10 姨 =- 4 65 姨 65 . 13. 解 ： （ 1 ） 当 m=3 ， n=-1 时 ， a= （ 1 ， 3 ）， b= （ 2 ， -1 ）， ∴a+λb= （ 1 ， 3 ） +λ （ 2 ， -1 ） = （ 1+2λ ， 3-λ ） . 若 a⊥ （ a+λb ）， 则 a ·（ a+λb ） =0 ， 即 （ 1+2λ ） +3 （ 3-λ ） =0 ， 解得 λ=10. （ 2 ） ∵a= （ 1 ， m ）， b= （ 2 ， n ）， ∴a+b= （ 3 ， m+n ） . ∵｜a+b｜=5 ， ∴3 2 + （ m+n ） 2 =5 2 ， 则 （ m+n ） 2 =16 ， ∴a · b=1×2+mn≤2+ 1 4 （ m+n ） 2 =2+ 1 4 ×16=6 ， 故当 m=n=2 或 m=n=-2 时 ， a · b 的最大值为 6. 8.2 三角恒等变换 8.2.1 两角和与差的余弦 1. A 2. D 3. C 4. C 5. B 6. B 7. A 8. B 9. C 10. C 11. C 12. A 13. C 14. A 15. ABC 16. 4-3 3 姨 10 17. 2 5 姨 5 18. 1 26 19. π 3 20. 1 21. 3 姨 22. 解 ： （ 1 ） 根据三角函数的定义可知 sinα= 4 5 ， cosα=- 3 5 ， ∴sin （ α+π ） =-sinα=- 4 5 . 70 暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 1. 已知 a= （ -2 ， -3 ）， b= （ λ ， 2 ）， 若 （ a+b ） ⊥a ， 则 λ= （ ） A. 1 2 B. 7 2 C. - 1 2 D. - 7 2 2. 与向量 a= （ 3 ， 4 ） 平行的单位向量是 （ ） A. （ 0 ， 1 ） B. （ 1 ， 0 ） C. 3 5 ， 4 5 5 # D. （ -3 ， -4 ） 3. 已知向量 a= （ 1 ， 2 ）， b= （ 2 ， -1 ）， 若向量 c 满足 （ c+a ） ∥b ， （ a-b ） ⊥c ， 则 c= （ ） A. （ 1 ， 3 ） B. （ -1 ， 3 ） C. （ -1 ， -3 ） D. （ -3 ， -1 ） 4. 已知向量 a= （ 2 ， -1 ）， b= （ 0 ， 1 ）， （ a+kb ）· b=3 ， 则 k= （ ） A. -2 B. 2 C. -4 D. 4 5. 已知向量 a= （ -1 ， 2 ）， b= （ x ， 4 ） 且 a∥b ， 则 |a+b|= （ ） A. 5 B. 5 3 姨 C. 3 5 姨 D. 5 姨 6. 若向量 A &' B = 1 2 ， 3 姨 2 5 2 ， B &' C = （ -1 ， 0 ）， 则 ∠BAC= （ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 7. 已知向量 a= （ 2 ， 1 ） 与 b= （ 2 ， x ） 不平行 ， 且满足 （ a+2b ） ⊥ （ a-b ）， 则 x= （ ） A. - 1 2 B. 1 2 C. 1 或 - 1 2 D. 1 或 1 2 8. 已知向量 a= （ m ， 2 ）， b= （ 2 ， -2 ）， 且 a⊥b ， 则 |a-b| a ·（ a+b ） 等于 （ ） A. - 1 2 B. 1 2 C. 0 D. 1 9. 在平面直角坐标系中 ， A （ 1 ， -2 ）， B （ a ， -1 ）， C （ -b ， 0 ）， a ， b∈R . 当 A ， B ， C 三点 共线时 ， A &' B ·B &' C 的最小值是 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 姨 D. 2 10. 已知向量 A &' B = （ 1 ， 2 ）， A &' C = （ -3 ， 1 ）， 则 A &' B·B &' C = . 11. 已知向量 a= （ x ， 2 ）， b= （ 3 ， -1 ）， c= （ 2 ， 1 ）， 且 a∥b ， 则 |a+c|= . 8.1.3 向量数量积的坐标运算 夯实 · 基础 26 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高一数学 第 周 年 月 日 12. 已知向量 a= （ 1 ， 2 ）， b= （ 2 ， -3 ） . （ 1 ） 求 |a-b| 的值 ； （ 2 ） 求向量 a+b 与 a-b 夹角的余弦值 . 13. 已知向量 a= （ 1 ， m ）， b= （ 2 ， n ） . （ 1 ） 若 m=3 ， n=-1 ， 且 a⊥ （ a+λb ）， 求实数 λ 的值 ； （ 2 ） 若 |a+b|=5 ， 求 a · b 的最大值 . 能力 · 提升 拓展 · 探究 27