8.1.1 向量数量积的概念-【新课程暑假作业】2024-2025学年高一数学暑假作业

暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 1. 若 |a|=2 ， |b|= 1 2 ， a 与 b 的夹角为 60° ， 则 a · b= （ ） A. 2 B. 1 2 C. 1 D. 1 4 2. 如果 a ， b 是两个单位向量 ， 那么下列四个结论中正确的是 （ ） A. a=b B. a · b=1 C. a 2 ≠b 2 D. |a| 2 =|b| 2 3. 在 △ABC 中 ， A A$ B ·B A$ C >0 ， 则 △ABC 是 （ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 4. 设 a ， e 均为单位向量 ， 当 a ， e 的夹角为 π 4 时 ， a 在 e 方向上的投影为 （ ） A. - 2 姨 2 B. 1 2 C. 2 姨 2 D. 3 姨 2 5. 已知点 A （ -1 ， 1 ）， B （ 1 ， 2 ）， C （ -2 ， -1 ）， D （ 3 ， 4 ）， 则向量 C A$ D 在 A A$ B 方向上的投影为 （ ） A. 3 2 姨 2 B. 3 5 姨 C. - 3 2 姨 2 D. -3 5 姨 6. 已知 a ， b 为单位向量 ， 其夹角为 60° ， 则向量 2b-a 与向量 a 的关系是 （ ） A. 相等 B. 垂直 C. 平行 D. 共线 7. 已知两个单位向量 e 1 ， e 2 的夹角为 θ ， 则下列结论不正确的是 （ ） A. e 1 在 e 2 方向上的投影为 sinθ B. e 1 2 =e 2 2 C. 坌θ∈R ， （ e 1 +e 2 ） ⊥ （ e 1 -e 2 ） D. 不存在 θ ， 使 e 1 · e 2 = 2 姨 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.1.1 向量数量积的概念 夯实 · 基础 8.1 向量的数量积 22 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高一数学 第 周 年 月 日 8. 已知向量 a ， b 的夹角为 5 6 π ， 且 |a|= 3 姨 ， |b|=2 ， 则 （ a+b ）·（ a-2b ） = . 9. 已知向量 a= （ cosθ ， sinθ ）， 向量 b= （ 3 姨 ， -1 ）， 求 |2a-b| 的最大值 . 拓展 · 探究 能力 · 提升 23 暑 假 作 业 新课程 由 tan - 5 4 ! " π =-tan π 4 =-1 可知 ， 所求符合条件的第二象限角为 x=- 5 4 π. ∴ 在 ［ -2π ， 0 ］ 内满足条件的 x 是 - π 4 与 - 5π 4 . 7. 解 ： ∵cos 2x+ π 3 ! " =- 1 2 ， 则 cos 2 3 π=- 1 2 ， cos 4 3 π=- 1 2 ， ∴2x+ π 3 =2kπ+ 2π 3 （ k∈Z ） 或 2x+ π 3 =2kπ+ 4π 3 （ k∈ Z ）， 即 x=kπ+ π 6 （ k∈Z ） 或 x=kπ+ π 2 （ k∈Z ） . 又 ∵x∈ ［ 0 ， 2π ］， ∴x 的取值集合为 π 6 ， π 2 ， 7π 6 ， 3π 2 2 % . 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.1 向量的数量积 8.1.1 向量数量积的概念 1. B 2. D 3. C 4. C 5. B 6. B 7. A 8. -2 9. 解 ： ∵2a-b= （ 2cosθ- 3 姨 ， 2sinθ+1 ）， ∴｜2a-b｜ 2 = （ 2cosθ- 3 姨 ） 2 + （ 2sinθ+1 ） 2 =8+4sinθ-4 3 姨 cosθ=8sin θ- π 3 ! " +8≤ 16 ， ∴｜2a-b｜≤4. 此时 sin θ- π 3 ! " =1 ， ∴｜2a-b｜ 的最大值为 4. 8.1.2 向量数量积的运算律 1. A 2. D 3. B 4. 2 5. 2 6. 7 姨 7. π 6 8. 5 9. 解 ： （ 1 ） 设向量 a 与 b 的夹角为 θ ， ∵a ·（ b-a ） =a · b-a 2 =2 ， ∴a · b=4 ， ∴cosθ= a · b ｜a｜｜b｜ = 2 姨 2 . ∵θ∈ ［ 0 ， π ］， ∴θ= π 4 . （ 2 ） 由 ｜ta-b｜=2 2 姨 ， 得 8=t 2 ｜a｜ 2 -2ta · b+｜b｜ 2 =2t 2 -8t+16 ， ∴2t 2 -8t+8=0 ， 解得 t=2. 10. 解 ： （ 1 ） 由平面向量数量积的定义可得 a · b=｜a｜ · ｜b｜cos60°=3×2× 1 2 =3. （ 2 ） ∵c⊥d ， ∴c · d= （ 3a+5b ）（ ma-b ） =3ma 2 + （ 5m-3 ） a · b-5b 2 =3m×3 2 +3 （ 5m-3 ） -5×2 2 =42m-29=0 ， 解得 m= 29 42 . 11. 22 8.1.3 向量数量积的坐标运算 1. B 2. C 3. D 4. D 5. C 6. B 7. A 8. B 9. B 10. -6 11. 5 12. 解 ： （ 1 ） 向量 a= （ 1 ， 2 ）， b= （ 2 ， -3 ）， 则 a-b= （ -1 ， 5 ）， ∴｜a-b｜= （ -1 ） 2 +5 2 姨 = 26 姨 . （ 2 ） a+b= （ 3 ， -1 ）， ∴ （ a+b ）·（ a-b ） =-1×3+5× （ -1 ） =-8 ， ∴｜a+b｜= 3 2 + （ -1 ） 2 姨 = 10 姨 ， ∴ 向量 a+b 与 a-b 夹角的余弦值为 cos 〈 a+b ， a-b 〉 = （ a+b ）·（ a-b ） ｜a+b｜ · ｜a-b｜ = -8 26 姨 × 10 姨 =- 4 65 姨 65 . 13. 解 ： （ 1 ） 当 m=3 ， n=-1 时 ， a= （ 1 ， 3 ）， b= （ 2 ， -1 ）， ∴a+λb= （ 1 ， 3 ） +λ （ 2 ， -1 ） = （ 1+2λ ， 3-λ ） . 若 a⊥ （ a+λb ）， 则 a ·（ a+λb ） =0 ， 即 （ 1+2λ ） +3 （ 3-λ ） =0 ， 解得 λ=10. （ 2 ） ∵a= （ 1 ， m ）， b= （ 2 ， n ）， ∴a+b= （ 3 ， m+n ） . ∵｜a+b｜=5 ， ∴3 2 + （ m+n ） 2 =5 2 ， 则 （ m+n ） 2 =16 ， ∴a · b=1×2+mn≤2+ 1 4 （ m+n ） 2 =2+ 1 4 ×16=6 ， 故当 m=n=2 或 m=n=-2 时 ， a · b 的最大值为 6. 8.2 三角恒等变换 8.2.1 两角和与差的余弦 1. A 2. D 3. C 4. C 5. B 6. B 7. A 8. B 9. C 10. C 11. C 12. A 13. C 14. A 15. ABC 16. 4-3 3 姨 10 17. 2 5 姨 5 18. 1 26 19. π 3 20. 1 21. 3 姨 22. 解 ： （ 1 ） 根据三角函数的定义可知 sinα= 4 5 ， cosα=- 3 5 ， ∴sin （ α+π ） =-sinα=- 4 5 . 70