7.3.4-7.3.5 正切函数的性质与图象 已知三角函数值求角-【新课程暑假作业】2024-2025学年高一数学暑假作业

夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高一数学 第 周 年 月 日 1. 下列函数中 ， 最小正周期为 π 的奇函数是 （ ） A. y=cos2x B. y=sin2x C. y=sin 2x- π 2 2 " D. y=tan2x 2. 已知 a=tan1 ， b=tan2 ， c=tan3 ， 则 （ ） A. a<b<c B. c<b<a C. b<c<a D. b<a<c 3. 函数 y=tanx - π 4 <x< π 3 2 " 的值域是 （ ） A. （ -1 ， 1 ） B. -1 ， 3 姨 3 2 " C. （ -1 ， 3 姨 ） D. ［ -1 ， 3 姨 ］ 4. 函数 y=tan １ 2 x- π 3 2 " 在一个周期内的图象是 （ ） 5. 已知函数 f （ x ） =2tan 棕x+ π 4 2 " （ 棕>0 ） 的图象与直线 y=2 的两个相邻交点的距离等于 2π ， 则 f - π 2 2 " 的值是 （ ） A. 2 B. 0 C. -1 D. - 3 姨 6. 函数 f （ x ） =tan x+ π 6 2 " 的图象的一个对称中心是 （ ） A. π 3 ， 2 " 0 B. π 4 ， 2 " 0 C. π 2 ， 2 " 0 D. π 6 ， 2 " 0 7. 在区间 - 3π 2 ， 3π 2 2 " 内 ， 函数 y＝tanx 与函数 y＝sinx 的图象交点的个数为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. （ 多选题 ） 下列关于函数 f （ x ） =tan 2x+ π 4 2 " 的相关性质的命题 ， 正确的有 （ ） 7.3.4 正切函数的性质与图象 夯实 · 基础 A B C D 能力 · 提升 x y O 5π 3 2π 3 - π 3 x y O 7π 6 2π 3 π 6 x y O - 2π 3 π 3 4π 3 x y O - π 6 π 3 5π 6 19 暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 A. f （ x ） 的定义域是 x x≠ π 8 + kπ 2 ， k∈ # $ Z B. f （ x ） 的最小正周期是 π C. f （ x ） 的单调递增区间是 kπ 2 - 3π 8 ， kπ 2 + π 8 8 & （ k∈Z ） D. f （ x ） 的对称中心是 kπ 2 - π 8 ， 8 & 0 （ k∈Z ） 9. 函数 y=tan πx+ π 3 8 & 的定义域是 . 10. 已知函数 y＝tanωx 在 - π 2 ， π 2 8 & 内是单调减函数 ， 则 ω 的取值范围是 . 11. 若 “ 坌x∈ 0 ， π 4 ( ) ， tanx-1≤m ” 是真命题 ， 则实数 m 的最小值为 . 12. 使 tanx≥1 成立的 x 的集合为 . 13. 已知函数 f （ x ） =lg （ tanx-1 ） + 9-x 2 姨 ， 则 f （ x ） 的定义域是 . 14. 不求值 ， 分别比较下列各组正切值的大小 . （ 1 ） tan - π 5 8 & 和 tan - 3π 7 8 & ； （ 2 ） tan138° 和 tan143°. 15. 设函数 f （ x ） =tan x 2 - π 3 8 & . （ 1 ） 求函数 f （ x ） 的最小正周期及图象的对称中心 ； （ 2 ） 作出函数 f （ x ） 在一个周期内的简图 . 拓展 · 探究 20 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高一数学 第 周 年 月 日 1. 若 tanα= 3 姨 3 ， 且 α∈ π 2 ， 3π 2 2 $ ， 则 α= （ ） A. π 6 B. 5π 6 C. 7π 6 D. 11π 6 2. 已知 cosx=- 2 姨 2 ， π<x<2π ， 则 x= （ ） A. 3π 2 B. 5π 4 C. 4π 3 D. 7π 4 3. 在 x∈ ［ 0 ， 2π ］ 上满足 cosx≤ 1 2 的 x 的取值范围是 （ ） A. 0 ， π 3 3 ' B. π 3 ， 5π 3 3 3 C. π 3 ， 2π 3 3 3 D. 5π 3 ， 3 3 π 4. 若 0≤x<π ， 则满足方程 tan 4x- π 4 2 4 =1 的解的集合是 . 5. 若 sin （ x-π ） =- 2 姨 2 ， 且 -2π<x≤0 ， 则 x= . 6. 已知 tanx=-1 ， 写出在区间 ［ -２π ， 0 ］ 内满足条件的 x. 7. 已知 cos 2x+ π 3 2 4 =- 1 2 ， x∈ ［ 0 ， 2π ］， 求 x 的取值集合 . 7.3.5 已知三角函数值求角 夯实 · 基础 能力 · 提升 21 高一数学 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 （ 2 ） ∵x∈ π 12 ， π 2 2 # ， ∴2x+ π 6 ∈ π 3 ， 7π 6 2 6 . 当 2x+ π 6 = π 2 ， 即 x= π 6 时 ， f （ x ） 取得最大值 2 ； 当 2x+ π 6 = 7π 6 ， 即 x= π 2 时 ， f （ x ） 取得最小值 -1 ， 故 f （ x ） 的值域为 ［ -1 ， 2 ］ . 7.3.3 余弦函数的性质与图象 1. C 2. C 3. B 4. D 5. B 6. ABCD 7. 2 8. π 3 9. ［ -1 ， 2 ］ 10. 6 11. 解 ： （ 1 ） f （ x ） = cosx · sinx -cosx ·（ -tanx ） = sinx tanx =cosx. （ 2 ） ∵f （ x ） =cosx ， 令 2kπ-π≤x≤2kπ ， k∈Z ， ∴f （ x ） 的单调递增区间为 ［ 2kπ-π ， 2kπ ］ （ k∈Z ） . 12. 解 ： （ 1 ） T= 2π 4 = π 2 . 由 π+2kπ≤4x- π 4 ≤2π+2kπ ， k∈Z ， 得 5π 16 + kπ 2 ≤x≤ 9π 16 + kπ 2 ， k∈Z ， ∴ 函数的单调递增区间为 5π 16 + kπ 2 ， 9π 16 + kπ 2 2 6 （ k∈Z ）； 由 2kπ≤4x- π 4 ≤π+2kπ ， k∈Z ， 得 π 16 + kπ 2 ≤x≤ 5π 16 + kπ 2 ， k∈Z ， ∴ 函数的单调递减区间为 π 16 + kπ 2 ， 5π 16 + kπ 2 2 6 （ k∈Z ） . （ 2 ） 令 4x- π 4 =kπ ， k∈Z ， 得 x= π 16 + kπ 4 ， k∈Z ， ∴ 函数图象的对称轴方程为 x= π 16 + kπ 4 （ k∈Z ） . 令 4x- π 4 = π 2 +kπ ， k∈Z ， 得 x= 3π 16 + kπ 4 ， k∈Z ， ∴ 函数图象的对称中心为 3π 16 + kπ 4 ， ， ( 1 （ k∈Z ） . 7.3.4 正切函数的性质与图象 1. B 2. C 3. C 4. A 5. B 6. A 7. C 8. AC 9. x x≠ 1 6 +k ， k∈Z Z + 10. ［ －1 ， 0 ） 11. 0 12. x π 4 +kπ≤x< π 2 +kπ ， k∈Z Z + 13. - 3π 4 ， - π 2 ， ( ∪ π 4 ， π 2 ， ( 14. 解 ： （ 1 ） y=tanx 在 - π 2 ， ， ( 0 上是增函数 ， 且 - π 5 >- 3π 7 ， ∴tan - π 5 ， ( >tan - 3π 7 ， ( . （ 2 ） ∵90°<138°<143°<180° ， y=tanx 在 π 2 ， ， ( π 上是增函数 ， ∴tan138°<tan143°. 15. 解 ： （ 1 ） ∵ω= 1 2 ， ∴ 最小正周期 T= π ω = π 1 2 =2π. 令 x 2 - π 3 = kπ 2 （ k∈Z ）， 解得 x=kπ+ 2π 3 （ k∈Z ）， ∴f （ x ） 图象的对称中心是 kπ+ 2π 3 ， ， ( 0 （ k∈Z ） . （ 2 ） 令 x 2 - π 3 =0 ， 得 x= 2π 3 ； 令 x 2 - π 3 = π 4 ， 得 x= 7π 6 ； 令 x 2 - π 3 =- π 4 ， 得 x= π 6 ； 令 x 2 - π 3 = π 2 ， 得 x= 5π 3 ； 令 x 2 - π 3 =- π 2 ， 得 x=- π 3 . ∴ 函数 y=tan x 2 - π 3 ， ( 的图象与 x 轴的一个交点坐标是 2π 3 ， ， ( 0 . 在这个交点左 、 右两侧相邻的两条渐近线方程分别是 x=- π 3 ， x= 5π 3 . 从而得到函数 y=f （ x ） 在一个周期 - π 3 ， 5π 3 ， ( 内的简图如图所示 . 7.3.5 已知三角函数值求角 1. C 2. B 3. B 4. π 8 ， 3π 8 ， 5π 8 ， 7π 8 Z + 5. - 7 4 π 或 - 5 4 π 6. 解 ： ∵tanx=-1<0 ， ∴x 是第二或第四象限角 . 由 tan - π 4 ， ( =-tan π 4 =-1 可知 ， 所求符合条件的第四象限角为 x=- π 4 . y=tan x 2 - π 3 ， ( 1 π 6 - π 3 O 2π 3 7π 6 5π 3 x y 第 15 题答图 69 暑 假 作 业 新课程 由 tan - 5 4 ! " π =-tan π 4 =-1 可知 ， 所求符合条件的第二象限角为 x=- 5 4 π. ∴ 在 ［ -2π ， 0 ］ 内满足条件的 x 是 - π 4 与 - 5π 4 . 7. 解 ： ∵cos 2x+ π 3 ! " =- 1 2 ， 则 cos 2 3 π=- 1 2 ， cos 4 3 π=- 1 2 ， ∴2x+ π 3 =2kπ+ 2π 3 （ k∈Z ） 或 2x+ π 3 =2kπ+ 4π 3 （ k∈ Z ）， 即 x=kπ+ π 6 （ k∈Z ） 或 x=kπ+ π 2 （ k∈Z ） . 又 ∵x∈ ［ 0 ， 2π ］， ∴x 的取值集合为 π 6 ， π 2 ， 7π 6 ， 3π 2 2 % . 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 8.1 向量的数量积 8.1.1 向量数量积的概念 1. B 2. D 3. C 4. C 5. B 6. B 7. A 8. -2 9. 解 ： ∵2a-b= （ 2cosθ- 3 姨 ， 2sinθ+1 ）， ∴｜2a-b｜ 2 = （ 2cosθ- 3 姨 ） 2 + （ 2sinθ+1 ） 2 =8+4sinθ-4 3 姨 cosθ=8sin θ- π 3 ! " +8≤ 16 ， ∴｜2a-b｜≤4. 此时 sin θ- π 3 ! " =1 ， ∴｜2a-b｜ 的最大值为 4. 8.1.2 向量数量积的运算律 1. A 2. D 3. B 4. 2 5. 2 6. 7 姨 7. π 6 8. 5 9. 解 ： （ 1 ） 设向量 a 与 b 的夹角为 θ ， ∵a ·（ b-a ） =a · b-a 2 =2 ， ∴a · b=4 ， ∴cosθ= a · b ｜a｜｜b｜ = 2 姨 2 . ∵θ∈ ［ 0 ， π ］， ∴θ= π 4 . （ 2 ） 由 ｜ta-b｜=2 2 姨 ， 得 8=t 2 ｜a｜ 2 -2ta · b+｜b｜ 2 =2t 2 -8t+16 ， ∴2t 2 -8t+8=0 ， 解得 t=2. 10. 解 ： （ 1 ） 由平面向量数量积的定义可得 a · b=｜a｜ · ｜b｜cos60°=3×2× 1 2 =3. （ 2 ） ∵c⊥d ， ∴c · d= （ 3a+5b ）（ ma-b ） =3ma 2 + （ 5m-3 ） a · b-5b 2 =3m×3 2 +3 （ 5m-3 ） -5×2 2 =42m-29=0 ， 解得 m= 29 42 . 11. 22 8.1.3 向量数量积的坐标运算 1. B 2. C 3. D 4. D 5. C 6. B 7. A 8. B 9. B 10. -6 11. 5 12. 解 ： （ 1 ） 向量 a= （ 1 ， 2 ）， b= （ 2 ， -3 ）， 则 a-b= （ -1 ， 5 ）， ∴｜a-b｜= （ -1 ） 2 +5 2 姨 = 26 姨 . （ 2 ） a+b= （ 3 ， -1 ）， ∴ （ a+b ）·（ a-b ） =-1×3+5× （ -1 ） =-8 ， ∴｜a+b｜= 3 2 + （ -1 ） 2 姨 = 10 姨 ， ∴ 向量 a+b 与 a-b 夹角的余弦值为 cos 〈 a+b ， a-b 〉 = （ a+b ）·（ a-b ） ｜a+b｜ · ｜a-b｜ = -8 26 姨 × 10 姨 =- 4 65 姨 65 . 13. 解 ： （ 1 ） 当 m=3 ， n=-1 时 ， a= （ 1 ， 3 ）， b= （ 2 ， -1 ）， ∴a+λb= （ 1 ， 3 ） +λ （ 2 ， -1 ） = （ 1+2λ ， 3-λ ） . 若 a⊥ （ a+λb ）， 则 a ·（ a+λb ） =0 ， 即 （ 1+2λ ） +3 （ 3-λ ） =0 ， 解得 λ=10. （ 2 ） ∵a= （ 1 ， m ）， b= （ 2 ， n ）， ∴a+b= （ 3 ， m+n ） . ∵｜a+b｜=5 ， ∴3 2 + （ m+n ） 2 =5 2 ， 则 （ m+n ） 2 =16 ， ∴a · b=1×2+mn≤2+ 1 4 （ m+n ） 2 =2+ 1 4 ×16=6 ， 故当 m=n=2 或 m=n=-2 时 ， a · b 的最大值为 6. 8.2 三角恒等变换 8.2.1 两角和与差的余弦 1. A 2. D 3. C 4. C 5. B 6. B 7. A 8. B 9. C 10. C 11. C 12. A 13. C 14. A 15. ABC 16. 4-3 3 姨 10 17. 2 5 姨 5 18. 1 26 19. π 3 20. 1 21. 3 姨 22. 解 ： （ 1 ） 根据三角函数的定义可知 sinα= 4 5 ， cosα=- 3 5 ， ∴sin （ α+π ） =-sinα=- 4 5 . 70