7.3.1-7.3.2 正弦函数的性质与图象 正弦型函数的性质与图象-【新课程暑假作业】2024-2025学年高一数学暑假作业

夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高一数学 第 周 年 月 日 7.3.1 正弦函数的性质与图象 1. 函数 y=2+sinx 的最大值是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 比较大小 ： sin25° （ 填 “ > ” 或 “ < ”） sin23°. 3. 函数 y=sin x 3 的最小正周期为 . 4. 函数 f （ x ） = sinx ， x≥0 ， x+2 ， x<0 0 ， 则不等式 f （ x ） > 1 2 的解集是 . 5. 函数 y=sinx 在区间 - π 3 ， 2π 3 3 $ 上的值域为 . 6. 函数 y= 1 1+2sinx 姨 的定义域是 . 7. 若 - 2π 3 ≤兹≤ π ６ ， 则 sin兹 的取值范围是 . 8. 若 f （ x ） =sin π 3 x ， 则 f （ 1 ） +f （ 2 ） +f （ 3 ） + … +f （ 2 024 ） = . 9. 函数 f （ x ） =cos 2 x+sinx 在区间 - π 4 ， π 4 4 ( 上的最大值是 ， 最小值是 . 10. 判断下列每组中两个三角函数值的大小 . （ 1 ） sin （ -3 ） 与 sin （ -2 ）； （ 2 ） sin - π 8 8 * 与 sin - 15π 8 8 * ； （ 3 ） sin - 31π 7 8 * 与 cos 37π 14 . 11. f （ x ） =a+bsinx （ b>0 ） 的最大值为 3 ， 最小值为 -1. （ 1 ） 求 a ， b ； （ 2 ） 用五点作图法作出函数 f （ x ） （ x∈ ［ 0 ， 2π ］） 的图象 ， 并写出 f （ x ） （ x∈R ） 的对称轴 与对称中心 . 夯实 · 基础 能力 · 提升 拓展 · 探究 7.3 三角函数的性质与图象 13 暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 1. 设函数 f （ x ） =3sin π 2 x+ π 4 ! " ， 则函数 f （ x ） 的最小正周期为 （ ） A. 2π B. 4π C. 2 D. 4 2. 下列函数中 ， 既是奇函数 ， 又是周期函数的是 （ ） A. y=sin|x| B. y=cos2x C. y=cos π 2 + ! " x D. y=x 3 3. 函数 f （ x ） =sin x- π 3 ! " 的单调递增区间是 （ ） A. kπ- π 12 ， kπ+ 5π 12 2 $ ， k∈Z B. 2kπ- π 12 ， 2kπ+ 5π 12 2 $ ， k∈Z C. kπ- π 6 ， kπ+ 5π 6 2 $ ， k∈Z D. 2kπ- π 6 ， 2kπ+ 5π 6 2 $ ， k∈Z 4. 要得到函数 y=3sin 2x+ π 4 ! " 的图象 ， 只需将函数 y=3sin2x 的图象 （ ） A. 向左平移 π 4 个单位长度 B. 向右平移 π 4 个单位长度 C. 向左平移 π 8 个单位长度 D. 向右平移 π 8 个单位长度 5. 若函数 f （ x ） =sin 棕x- π 6 ! " （ 棕>0 ） 的图象的两个相邻最高点的距离为 π ， 则函数 f （ x ） 的 一个单调递增区间为 （ ） A. - π 6 ， π 3 2 $ B. - π 2 ， π 2 2 $ C. - π 3 ， π 6 2 $ D. π 6 ， 2 3 2 $ π 6. 将函数 y=sinx 的图象上各点的纵坐标缩短到原来的 1 3 ， 横坐标不变 ， 则所得图象对应 的函数为 （ ） A. y=3sinx B. y= 1 3 sinx C. y=sin3x D. y=sin 1 3 x 7. 设函数 f （ x ） =Asin （ 棕x+φ ） A>0 ， 棕>0 ， |φ|< π 2 ! " 的部分图象如图所 示 ， 则 f （ 0 ） ＝ （ ） A. 3 姨 B. 3 2 C. 2 姨 D. 1 7.3.2 正弦型函数的性质与图象 夯实 · 基础 x y -2 2 O 5π 12 2π 3 第 7 题图 14 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高一数学 第 周 年 月 日 8. 将函数 y=2sin 2x- π 6 ! " 的图象向左平移 π 4 个单位长度 ， 所得图象的一个对称中心为 （ ） A. π 12 ， ! " 0 B. π 6 ， ! " 0 C. π 3 ， ! " 0 D. π 2 ， ! " 0 9. （ 多选题 ） 如图是某市夏季某一天的温度变化曲线 ， 若该曲线近似地满足函数 y=Asin （ 棕x+φ ） +B （ 0<φ<π ）， 则下列说法正确的是 （ ） A. 该函数的周期是 16 B. 该函数图象的一条对称轴是直线 x=14 C. 该函数的解析式是 y=10sin π 8 x+ 3π 4 ! " +20 （ 6≤x≤14 ） D. 该市这一天中午 12 时的温度大约是 27 ℃ 10. 将函数 f （ x ） =sin （ 棕x+φ ） 棕>0 ， - π 2 <φ< π 2 ! " 图象上每一点的横坐标缩短为原来的一 半 ， 纵坐标不变 ， 再向右平移 π 6 个单位长度得到 y=sinx 的图象 ， 则 f π 6 ! " = . 11. 函数 f （ x ） =sin （ 2x+φ ） （ -π<φ<0 ） 图象的一条对称轴是直线 x= π 8 ， 则 φ= . 12. 如图 ， 某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin （ 棕x+φ ） +b （ A>0 ， 棕>0 ）， 则 8 时的温度大约为 ℃. （ 精确到 1 ℃ ） 13. 已知函数 f （ x ） = 2 姨 sin x+ π 4 + ! " φ 是奇函数 ， 当 φ∈ - π 2 ， π 2 2 ' 时 ， φ 的值为 . 能力 · 提升 第 12 题图 第 9 题图 x/ 时 y/℃ 30 20 10 14106 O O x/ 时 y/℃ 30 20 10 1410 1286 15 暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 14. 已知函数 f （ x ） =Asin 棕x+ π 3 ! " （ A>0 ， 棕>0 ）， x∈R ， 若函数 f （ x ） 的周期为 2π ， 且 f π 6 ! " =2. （ 1 ） 求 A ， 棕 的值及函数 f （ x ） 的单调递增区间 ； （ 2 ） 求使不等式 f x- π 3 ! " ≥ 3 姨 成立的 x 的取值集合 . 15. 已知函数 f （ x ） =Asin （ 棕x+φ ）， x∈R 其中 A>0 ， 棕>0 ， 0<φ< π 2 ! " 的图象与 x 轴的交点 中 ， 相邻两个交点之间的距离为 π 2 ， 且图象上一个最低点为 M 2π 3 ， - ! " 2 . （ 1 ） 求 f （ x ） 的解析式和单调递减区间 ； （ 2 ） 当 x∈ π 12 ， π 2 2 ' 时 ， 求 f （ x ） 的值域 . 拓展 · 探究 16 高一数学 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 9. 1 10. sin π 5 <cos π 5 11. π 4 或 5π 4 12. E ! F 解析 ： ① 当点 P 在 A ! B 上时 ， 由于弧的位置在第一象限靠近 x 轴的一方 ， ∴cosα>sinα ， 不合题意 ； ② 当点 P 在 C ! D 上时 ， 由于弧的位置在第一象限靠近 y 轴的一方 ， ∴tanα>1 ， 而 0<cosα<sinα<1 ， 不合题意 ； ③ 当点 P 在 E ! F 上时 ， 由于弧的位置在第二象限靠近 y 轴的一方 ， ∴sinα>0 ， cosα<0 ， tanα<0 ， 且 tanα<cosα ， ∴tanα<cosα<sinα ， 符合题意 ； ④ 当点 P 在 G ! H 上时 ， 由于弧的位置在第三象限 ， ∴sinα<0 ， cosα<0 ， tanα>0 ， 不合题意 . 由以上分析可得点 P 所在的圆弧是 E ! F . 13. 证明 ： 如图 ， 当 α∈ 0 ， π 2 ! 2 时 ， 角 α 的始边与单位圆交于点 A ， 终边在第一 象限内 ， 与单位圆交于点 P. 过点 P 作 x 轴的垂线 ， 交 x 轴于点 M ， 则 MP 为正弦线 ； 过点 A 作 x 轴的垂线 ， 交 OP 延长线于点 T ， 则 AT 为正切线 . 再根据弧长公式 l=αR=α · 1=α ， 即图中 AP 弧线的长度为 α. ∵MP<α ， ∴sinα<α. ∵S 扇形 AOP <S △AOT ， 而 S 扇形 AOP = 1 2 ×1×α= 1 2 α ， S △AOP = 1 2 ×1×tanα= 1 2 tanα ， ∴α<tanα. 综上 ， sinα<α<tanα ， α∈ 0 ， π 2 2 & . 7.2.3 同角三角函数的基本关系式 1. C 2. C 3. D 4. B 5. B 6. D 7. A 8. A 9. - 3 姨 10. - 5 姨 5 11. - 4 5 12. 解 ： （ 1 ） tanα= y x = 2 -1 =-2. （ 2 ） ∵tanα=-2 ， ∴cosα≠0 ， 原式上下同时除以 cosα ， sinα+cosα cosα-sinα = tanα+1 1-tanα = -2+1 1- （ -2 ） =- 1 3 . （ 3 ） sin 2 α-sinαcosα+2cos 2 α= sin 2 α-sinαcosα+2cos 2 α sin 2 α+cos 2 α = tan 2 α-tanα+2 tan 2 α+1 = 8 5 . 7.2.4 诱 导 公 式 1. C 2. B 3. B 4. A 5. B 6. B 7. A 8. A 9. - 1 5 10. 0 11. 解 ： （ 1 ） sin 25π 3 +cos 25π 3 +tan - 25π 3 2 2 =sin 8π+ π 3 2 2 +cos 8π+ π 3 2 2 +tan -8π- π 3 2 2 =sin π 3 +cos π 3 +tan - π 3 2 2 = 3 姨 2 + 1 2 - 3 姨 = 1 2 - 3 姨 2 . （ 2 ） cos π 2 - 2 2 α +cos （ 2π-α ） sin （ π-α ） -cos （ -α ） = sinα+cosα sinα-cosα = tanα+1 tanα-1 = 3 1 =3. 12. 解 ： （ 1 ） f （ α ） = sin （ 2π-α ） cos （ π+α ） cos π 2 + 2 2 α cos 11π 2 - 2 2 α cos （ π-α ） sin （ 3π-α ） sin （ -π-α ） sin 9π 2 + 2 2 α = （ -sinα ）（ -cosα ）（ -sinα ）（ -sinα ） （ -cosα ） sinα · sinαcosα =-tanα. （ 2 ） 由 （ 1 ） f （ α ） =-tanα=- 3 姨 ， tanα= 3 姨 ， ∵α 是第三象限角 ， ∴α= （ 2k+1 ） π+ π 3 ， k∈Z ， 则 sinα=sin （ 2k+1 ） π+ π 3 3 * =-sin π 3 =- 3 姨 2 ， cosα=cos （ 2k+1 ） π+ π 3 3 , =-cos π 3 =- 1 2 ， ∴cosα-sinα= 3 姨 -1 2 . 7.3 三角函数的性质与图象 7.3.1 正弦函数的性质与图象 1. C 2. > 3. 6π 4. x - 3 2 <x<0 或 π 6 +2kπ<x< 5π 6 +2kπ ， k∈ ∈ . N 5. - 3 姨 2 ， , 1 2 6. - π 6 +2kπ 2 ， 7 6 π+2k & π 第 13 题答图 O P T y xA M α 67 暑 假 作 业 新课程 （ k∈Z ） 7. -1 ， 1 2 " # 8. 3 姨 9. 5 4 1- 2 姨 2 10. 解 ： （ 1 ） y=sinx 在 - 3π 2 ， - π 2 2 & 上是减函数 ， ∵- 3π 2 <-3<-2<- π 2 ， ∴sin （ -3 ） >sin （ -2 ） . （ 2 ） sin - 15π 8 8 ( =sin -2π+ π 8 8 ( =sin π 8 . ∵y=sinx 在 - π 2 ， π 2 2 # 上是增函数 ， 且 - π 2 <- π 8 < π 8 < π 2 ， ∴sin - π 8 8 ( <sin π 8 ， 即 sin - 15π 8 8 ( >sin - π 8 8 ( . （ 3 ） sin - 31π 7 8 ( =sin -6π+ 11π 7 8 ( =sin 11π 7 =sin π+ 4π 7 8 ( =-sin 4π 7 ， cos 37π 14 =cos 2π+ 9π 14 8 ( =cos 9π 14 =cos 3π 2 - 6π 7 8 ( =-sin 6π 7 . ∵y=sinx 在 π 2 ， 3π 2 2 # 上是减函数 ， 且 π 2 < 4π 7 < 6π 7 < 3π 2 ， ∴sin 4π 7 >sin 6π 7 ， ∴-sin 4π 7 <-sin 6π 7 ， ∴sin - 31π 7 8 ( <cos 37π 14 . 11. 解 ： （ 1 ） 由条件得 a+b=3 ， a-b=-1 ， ∴a=1 ， b=2. （ 2 ） 由于 f （ x ） =1+2sinx ， x∈ ［ 0 ， 2π ］， 五点法列表可得 ： 函数 f （ x ） =1+2sinx 的对称轴为 x= π 2 +kπ ， k∈Z ， 对称中心的坐标为 （ kπ ， 1 ）， k∈Z. 7.3.2 正弦型函数的性质与图象 1. D 2. C 3. D 4. C 5. A 6. B 7. D 8. C 9. ABD 10. 2 姨 2 11. - 3π 4 12. 13 13. - π 4 14. 解 ： （ 1 ） ∵ 函数 f （ x ） =Asin ωx+ π 3 8 ( 的周期为 2π ， 故 ω=1. 又 ∵f π 6 8 ( =2 ， ∴f π 6 8 ( =Asin π 6 + π 3 8 ( =2 ， 故 A=2 ， 则 f （ x ） =2sin x+ π 3 8 ( . 令 - π 2 +2kπ≤x+ π 3 ≤2kπ+ π 2 （ k∈Z ）， 解得 - 5π 6 +2kπ≤x≤2kπ+ π 6 （ k∈Z ）， 故函数的单调递增区间为 - 5π 6 +2kπ ， 2kπ+ π 6 2 # （ k∈Z ） . （ 2 ） 由于 f x- π 3 8 ( ≥ 3 姨 ， 故函数 f x- π 3 8 ( =2sinx≥ 3 姨 ， 即 sinx≥ 3 姨 2 . ∴x 的取值集合为 x π 3 +2kπ≤x≤2kπ+ 2π 3 ， k∈ ∈ , Z . 15. 解 ： （ 1 ） 依题意 ， 由最低点为 M 2π 3 ， - 8 ( 2 ， 得 A=2 ， 又周期 T=π ， ∴ω=2. 由点 M 2π 3 ， - 8 ( 2 在图象上 ， 得 2sin 4π 3 + 8 ( φ =-2 ， ∴ 4π 3 +φ=- π 2 +2kπ ， k∈Z ， ∴φ=- 11π 6 +2kπ ， k∈Z. ∵φ∈ 0 ， π 2 8 ( ， ∴φ= π 6 ， ∴f （ x ） =2sin 2x+ π 6 8 ( . 由 2kπ+ π 2 ≤2x+ π 6 ≤2kπ+ 3π 2 ， k∈Z ， 得 kπ+ π 6 ≤x≤kπ+ 2π 3 ， k∈Z. ∴ 函数 f （ x ） 的单调递减区间是 kπ+ π 6 ， kπ+ 2π 3 " & （ k∈Z ） . x 0 π 2 π 3π 2 2π f （ x ） 1 3 1 -1 1 -1 3 2 1 O - 1 2 π 1 2 π π 3 2 π 2π 5 2 π x y 第 11 题答图 68 高一数学 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 （ 2 ） ∵x∈ π 12 ， π 2 2 # ， ∴2x+ π 6 ∈ π 3 ， 7π 6 2 6 . 当 2x+ π 6 = π 2 ， 即 x= π 6 时 ， f （ x ） 取得最大值 2 ； 当 2x+ π 6 = 7π 6 ， 即 x= π 2 时 ， f （ x ） 取得最小值 -1 ， 故 f （ x ） 的值域为 ［ -1 ， 2 ］ . 7.3.3 余弦函数的性质与图象 1. C 2. C 3. B 4. D 5. B 6. ABCD 7. 2 8. π 3 9. ［ -1 ， 2 ］ 10. 6 11. 解 ： （ 1 ） f （ x ） = cosx · sinx -cosx ·（ -tanx ） = sinx tanx =cosx. （ 2 ） ∵f （ x ） =cosx ， 令 2kπ-π≤x≤2kπ ， k∈Z ， ∴f （ x ） 的单调递增区间为 ［ 2kπ-π ， 2kπ ］ （ k∈Z ） . 12. 解 ： （ 1 ） T= 2π 4 = π 2 . 由 π+2kπ≤4x- π 4 ≤2π+2kπ ， k∈Z ， 得 5π 16 + kπ 2 ≤x≤ 9π 16 + kπ 2 ， k∈Z ， ∴ 函数的单调递增区间为 5π 16 + kπ 2 ， 9π 16 + kπ 2 2 6 （ k∈Z ）； 由 2kπ≤4x- π 4 ≤π+2kπ ， k∈Z ， 得 π 16 + kπ 2 ≤x≤ 5π 16 + kπ 2 ， k∈Z ， ∴ 函数的单调递减区间为 π 16 + kπ 2 ， 5π 16 + kπ 2 2 6 （ k∈Z ） . （ 2 ） 令 4x- π 4 =kπ ， k∈Z ， 得 x= π 16 + kπ 4 ， k∈Z ， ∴ 函数图象的对称轴方程为 x= π 16 + kπ 4 （ k∈Z ） . 令 4x- π 4 = π 2 +kπ ， k∈Z ， 得 x= 3π 16 + kπ 4 ， k∈Z ， ∴ 函数图象的对称中心为 3π 16 + kπ 4 ， ， ( 1 （ k∈Z ） . 7.3.4 正切函数的性质与图象 1. B 2. C 3. C 4. A 5. B 6. A 7. C 8. AC 9. x x≠ 1 6 +k ， k∈Z Z + 10. ［ －1 ， 0 ） 11. 0 12. x π 4 +kπ≤x< π 2 +kπ ， k∈Z Z + 13. - 3π 4 ， - π 2 ， ( ∪ π 4 ， π 2 ， ( 14. 解 ： （ 1 ） y=tanx 在 - π 2 ， ， ( 0 上是增函数 ， 且 - π 5 >- 3π 7 ， ∴tan - π 5 ， ( >tan - 3π 7 ， ( . （ 2 ） ∵90°<138°<143°<180° ， y=tanx 在 π 2 ， ， ( π 上是增函数 ， ∴tan138°<tan143°. 15. 解 ： （ 1 ） ∵ω= 1 2 ， ∴ 最小正周期 T= π ω = π 1 2 =2π. 令 x 2 - π 3 = kπ 2 （ k∈Z ）， 解得 x=kπ+ 2π 3 （ k∈Z ）， ∴f （ x ） 图象的对称中心是 kπ+ 2π 3 ， ， ( 0 （ k∈Z ） . （ 2 ） 令 x 2 - π 3 =0 ， 得 x= 2π 3 ； 令 x 2 - π 3 = π 4 ， 得 x= 7π 6 ； 令 x 2 - π 3 =- π 4 ， 得 x= π 6 ； 令 x 2 - π 3 = π 2 ， 得 x= 5π 3 ； 令 x 2 - π 3 =- π 2 ， 得 x=- π 3 . ∴ 函数 y=tan x 2 - π 3 ， ( 的图象与 x 轴的一个交点坐标是 2π 3 ， ， ( 0 . 在这个交点左 、 右两侧相邻的两条渐近线方程分别是 x=- π 3 ， x= 5π 3 . 从而得到函数 y=f （ x ） 在一个周期 - π 3 ， 5π 3 ， ( 内的简图如图所示 . 7.3.5 已知三角函数值求角 1. C 2. B 3. B 4. π 8 ， 3π 8 ， 5π 8 ， 7π 8 Z + 5. - 7 4 π 或 - 5 4 π 6. 解 ： ∵tanx=-1<0 ， ∴x 是第二或第四象限角 . 由 tan - π 4 ， ( =-tan π 4 =-1 可知 ， 所求符合条件的第四象限角为 x=- π 4 . y=tan x 2 - π 3 ， ( 1 π 6 - π 3 O 2π 3 7π 6 5π 3 x y 第 15 题答图 69