7.2.2 单位圆与三角函数线-【新课程暑假作业】2024-2025学年高一数学暑假作业

暑 假 作 业 新课程 参考答案 第七章 三 角 函 数 7.1 任意角的概念与弧度制 7.1.1 角 的 推 广 1. B 2. B 3. C 4. B 5. B 6. B 7. D 8. B 9. C 10. -330° 或 30° 11. {α ｜k · 360°-45°<α<k · 360°+120° ， k∈Z} 12. 解 ： 根据题意可知 14α ， 14β 均为 360° 的整数倍 ， 故可设 14α=m · 360° ， m∈Z ， 14β=n · 360° ， n∈Z ， 从而可知 α= m 7 · 180° ， β= n 7 · 180° ， m ， n∈Z. 又由两只蚂蚁在第 2 s 时均位于第二象限 ， 则 2α ， 2β 在第二象限 . 又 0°＜α＜β＜180° ， 从而可得 0°＜2α＜2β＜360° ， 因此 2α ， 2β 均为钝角 ， 即 90°＜2α＜2β＜180°. 于是 45°＜α＜90° ， 45°＜β＜90°. ∴45°＜ m 7 · 180°＜90° ， 45°＜ n 7 · 180°＜90° ， 即 7 4 ＜m＜ 7 2 ， 7 4 ＜n＜ 7 2 . 又 ∵α＜β ， ∴m＜n ， 从而可得 m=2 ， n=3 ， 即 α= 360 7 7 # ° ， β= 540 7 7 7 ° . 7.1.2 弧度制及其与角度制的换算 1. C 2. C 3. A 4. B 5. B 6. C 7. （ 24π-36 3 姨 ） cm 2 8. 3π 8 9. 10 3 π 10. 解 ： （ 1 ） α=60°= π 3 rad ， ∴l=α · r= π 3 ×10= 10π 3 （ cm ） . （ 2 ） 由已知得 ， l+2r=20 ， ∴S= 1 2 lr= 1 2 （ 20-2r ） r=10r-r 2 =- （ r-5 ） 2 +25 ， ∴ 当 r=5 时 ， S 取得最大值 25 ， 此时 l= 10 cm ， α=2 rad. 11. 解 ： （ 1 ） ∵ 半径为 r ， ∴ 弧长为 400-2r ， ∴S= 1 2 r （ 400-2r ） =-r 2 +200r. 由弧度定义可知 θ= 400-2r r ， 而 θ∈ （ 0 ， 2π ）， ∴0< 400-2r r <2π ， 解得 200 π+1 <r<200. 综上可知 S=-r 2 +200r ， r∈ 200 π+1 ， 20 0 7 0 . （ 2 ） ∵S=-r 2 +200r=- （ r-100 ） 2 +10 000 ， ∴ 由二次函数的性质可知 ， 当 r=100 m 时 ， S 有最大值 ， 为 10 000 m 2 . 7.2 任意角的三角函数 7.2.1 三角函数的定义 1. A 2. A 3. B 4. B 5. A 6. B 7. D 8. D 9. ACD 10. 一或三 11. 9 20 12. 2 姨 13. 解 ： 由题意得 r= （ -4a ） 2 + （ 3a ） 2 姨 =5｜a｜. 当 a>0 时 ， r=5a ， 角 α 在第二象限 ， sinα= y r = 3a 5a = 3 5 ， cosα= x r = -4a 5a =- 4 5 ， tanα= y x = 3a -4a =- 3 4 ； 当 a<0 时 ， r=-5a ， 角 α 在第四象限 ， 同理可得 ， sinα=- 3 5 ， cosα= 4 5 ， tanα=- 3 4 . 7.2.2 单位圆与三角函数线 1. C 2. D 3. C 4. D 5. AD 6. C 7. A 8. B 66 高一数学 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 9. 1 10. sin π 5 <cos π 5 11. π 4 或 5π 4 12. E ! F 解析 ： ① 当点 P 在 A ! B 上时 ， 由于弧的位置在第一象限靠近 x 轴的一方 ， ∴cosα>sinα ， 不合题意 ； ② 当点 P 在 C ! D 上时 ， 由于弧的位置在第一象限靠近 y 轴的一方 ， ∴tanα>1 ， 而 0<cosα<sinα<1 ， 不合题意 ； ③ 当点 P 在 E ! F 上时 ， 由于弧的位置在第二象限靠近 y 轴的一方 ， ∴sinα>0 ， cosα<0 ， tanα<0 ， 且 tanα<cosα ， ∴tanα<cosα<sinα ， 符合题意 ； ④ 当点 P 在 G ! H 上时 ， 由于弧的位置在第三象限 ， ∴sinα<0 ， cosα<0 ， tanα>0 ， 不合题意 . 由以上分析可得点 P 所在的圆弧是 E ! F . 13. 证明 ： 如图 ， 当 α∈ 0 ， π 2 ! 2 时 ， 角 α 的始边与单位圆交于点 A ， 终边在第一 象限内 ， 与单位圆交于点 P. 过点 P 作 x 轴的垂线 ， 交 x 轴于点 M ， 则 MP 为正弦线 ； 过点 A 作 x 轴的垂线 ， 交 OP 延长线于点 T ， 则 AT 为正切线 . 再根据弧长公式 l=αR=α · 1=α ， 即图中 AP 弧线的长度为 α. ∵MP<α ， ∴sinα<α. ∵S 扇形 AOP <S △AOT ， 而 S 扇形 AOP = 1 2 ×1×α= 1 2 α ， S △AOP = 1 2 ×1×tanα= 1 2 tanα ， ∴α<tanα. 综上 ， sinα<α<tanα ， α∈ 0 ， π 2 2 & . 7.2.3 同角三角函数的基本关系式 1. C 2. C 3. D 4. B 5. B 6. D 7. A 8. A 9. - 3 姨 10. - 5 姨 5 11. - 4 5 12. 解 ： （ 1 ） tanα= y x = 2 -1 =-2. （ 2 ） ∵tanα=-2 ， ∴cosα≠0 ， 原式上下同时除以 cosα ， sinα+cosα cosα-sinα = tanα+1 1-tanα = -2+1 1- （ -2 ） =- 1 3 . （ 3 ） sin 2 α-sinαcosα+2cos 2 α= sin 2 α-sinαcosα+2cos 2 α sin 2 α+cos 2 α = tan 2 α-tanα+2 tan 2 α+1 = 8 5 . 7.2.4 诱 导 公 式 1. C 2. B 3. B 4. A 5. B 6. B 7. A 8. A 9. - 1 5 10. 0 11. 解 ： （ 1 ） sin 25π 3 +cos 25π 3 +tan - 25π 3 2 2 =sin 8π+ π 3 2 2 +cos 8π+ π 3 2 2 +tan -8π- π 3 2 2 =sin π 3 +cos π 3 +tan - π 3 2 2 = 3 姨 2 + 1 2 - 3 姨 = 1 2 - 3 姨 2 . （ 2 ） cos π 2 - 2 2 α +cos （ 2π-α ） sin （ π-α ） -cos （ -α ） = sinα+cosα sinα-cosα = tanα+1 tanα-1 = 3 1 =3. 12. 解 ： （ 1 ） f （ α ） = sin （ 2π-α ） cos （ π+α ） cos π 2 + 2 2 α cos 11π 2 - 2 2 α cos （ π-α ） sin （ 3π-α ） sin （ -π-α ） sin 9π 2 + 2 2 α = （ -sinα ）（ -cosα ）（ -sinα ）（ -sinα ） （ -cosα ） sinα · sinαcosα =-tanα. （ 2 ） 由 （ 1 ） f （ α ） =-tanα=- 3 姨 ， tanα= 3 姨 ， ∵α 是第三象限角 ， ∴α= （ 2k+1 ） π+ π 3 ， k∈Z ， 则 sinα=sin （ 2k+1 ） π+ π 3 3 * =-sin π 3 =- 3 姨 2 ， cosα=cos （ 2k+1 ） π+ π 3 3 , =-cos π 3 =- 1 2 ， ∴cosα-sinα= 3 姨 -1 2 . 7.3 三角函数的性质与图象 7.3.1 正弦函数的性质与图象 1. C 2. > 3. 6π 4. x - 3 2 <x<0 或 π 6 +2kπ<x< 5π 6 +2kπ ， k∈ ∈ . N 5. - 3 姨 2 ， , 1 2 6. - π 6 +2kπ 2 ， 7 6 π+2k & π 第 13 题答图 O P T y xA M α 67 夯 实 · 基 础 能 力 · 提 升 拓 展 · 探 究 高一数学 第 周 年 月 日 1. 角 π 5 和角 6π 5 有相同的 （ ） A. 正弦线 B. 余弦线 C. 正切线 D. 不能确定 2. sin4 ， cos4 ， tan4 的大小关系是 （ ） A. sin4<tan4<cos4 B. tan4<sin4<cos4 C. cos4<sin4<tan4 D. sin4<cos4<tan4 3. 使不等式 2 姨 －2sinx≥0 成立的 x 的取值集合是 （ ） A. x 2kπ+ π 4 ≤x≤ 2kπ+ 3π 4 ， k∈ & ' Z B. x 2kπ+ π 4 ≤x≤ 2kπ+ 7π 4 ， k∈ & ∈ Z C. x 2kπ- 5π 4 ≤x≤ 2kπ+ π 4 ， k∈ & ∈ Z D. x 2kπ+ 5π 4 ≤x≤ 2kπ+ 7π 4 ， k∈ & ∈ Z 4. 右图中角 α 的正弦线 、 余弦线和正切线分别是 （ ） A. OM ， MP ， AT B. OM ， MP ， A′T′ C. MP ， OM ， AT D. MP ， OM ， A′T′ 5. （ 多选题 ） 下列说法正确的是 （ ） A. 长度等于半径的弧所对的圆心角为 1 弧度 B. 若 tanα≥0 ， 则 kπ≤α≤ π 2 +kπ （ k∈Z ） C. 若角 α 的终边过点 P （ 3k ， 4k ） （ k≠0 ）， 则 sinα= 4 5 D. 当 2kπ<α< π 4 +2kπ （ k∈Z ） 时 ， sinα<cosα 6. 若 MP 和 OM 分别是角 7π 6 的正弦线和余弦线 ， 则 （ ） A. MP<OM<0 B. OM>0>MP C. OM<MP<0 D. MP>0>OM 7. 若 π 4 <α< π 2 ， 以下不等式成立的是 （ ） A. cosα<sinα<tanα B. sinα<cosα<tanα C. cosα<tanα<sinα D. sinα<tanα<cosα 7.2.2 单位圆与三角函数线 夯实 · 基础 x y A A′ M T P O T′ α 第 4 题图 7 暑 假 作 业 新课程 第 周 年 月 日 8. 在 （ 0 ， 2π ） 内 ， 使 sinx>cosx 成立的 x 的取值范围为 （ ） A. π 4 ， ， " π B. π 4 ， 5π 4 ， " C. π 4 ， π 2 ， " ∪ π ， 5π 4 ， " D. π 4 ， ， " π ∪ 5π 4 ， 3π 2 ， " 9. 若角 α 的余弦线长度为 0 ， 则它的正弦线的长度为 . 10. sin π 5 与 cos π 5 的大小关系是 . 11. 已知 α （ 0<α<2π ） 的正弦线和余弦线长度相等 ， 且符号相同 ， 那么 α 的值为 . 12. 在平面直角坐标系中 ， A ， B ， C ， D， E ， F， G ， H 是圆 x 2 +y 2 =1 上的四 段弧 （ 如图 ）， 点 P 在其中一段弧上 ， 角 α 以 Ox 为始边 、 OP 为终边 . 若 tanα<cosα<sinα ， 则点 P 所在的圆弧是 . 13. 已知 α 为锐角 ， 利用三角函数线的有关知识证明 ： sinα<α<tanα. 拓展 · 探究 第 12 题图 x y A B C DE F G O H 能力 · 提升 8