22.1.1 二次函数 课件2024-2025学年人教版九年级数学上册

22.1.1 二次函数 问题2 如图是一个正方体，如果改变正方体的棱长 x，那么正方体的表面积y会随之改变，y与x之间是函数关系吗？是一次函数关系吗？ 课堂引入 现在得到的函数是用自变量的一次式表示吗？ 是一个怎样的多项式？ 问题3 n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m与球队n有什么关系？m是n的函数吗？ 合作学习 问题4 某种产品现在的年产量是20 t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？y是x的函数吗？ y是x的一次函数吗？函数y是用含自变量x 的怎样的多项式表示的？你认为这个函数叫什么函数比较合适？说说你的理由. 合作学习 归纳总结 一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)的函数，叫做二次函数。其中x是自变量，a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项． 注意：判断二次函数注意自变量最高次数为2，且二次项系数不为0 例题练习 03 1．已知二次函数y＝1－3x＋2x2，则二次项系数a＝_____，一次项系数b＝_____，常数项c＝ ． 2．已知两个变量x，y之间的关系式为y＝(a－2)x2＋(b＋2)x－3. (1)当 时，x，y之间是二次函数关系； (2)当 时，x，y之间是一次函数关系． 例题 定义：一般地，把形如 （其中 为常数， 且 ）的函数叫做二次函数。其中 称为二次项， 称作二次项系数； 称为一次项， 称作一次项系 数； 称作常数项. ☆ 二次函数定义 （1）等号左边是变量 ，右边是关于自变量 的二次整式； （2）其中为常数 ，且 ； （3）等式的右边自变量最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 和 可以为零，解析 式有何变化？ ☆ 多维刻画，剖析概念 二次函数的几种特殊形式： 没有一次项 没有常数项 没有一次项和常数项 ☆ 多维刻画，剖析概念 3.若函数 为二次函数，求m的值. 解①得：m=2或m=-1; 解②得：m≠1且m≠-1; 所以 m=2. ① ② 【解】因为该函数为二次函数， 3．已知函数y＝(a＋3)xa2＋a－4＋(a＋2)x＋3. (1)当a为何值时，y为x的二次函数？ 解：根据题意得a＋3≠0且a2＋a－4＝2， 解得a＝2，即当a为2时，y是x的二次函数． (2)当a为何值时，y为x的一次函数？ (2)当a为何值时，y为x的一次函数？ 2、函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( ) A . m,n是常数,且m≠0 B . m,n是常数,且n≠0 C. m,n是常数,且m≠n D . m,n为任何实数 1、把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_____,一次项 系数为______，常数项为 . 3、下列函数是二次函数的是 ( ) A．y＝2x＋1 B． C．y＝3x2＋1 D． C C -3x2 -16 12 随堂练习 4、下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A.y=3x-1 B.y=ax2+bx+c C.s=2t2-2t+1 D.y=x2+ C 5、若函数 是二次函数，求： （1）求a的值. （2）求函数关系式. （3）当x=-2时，y的值是多少？ 解： （1）由题意，得 解得 （2）当a=-1时，函数关系式为 . （3）将x=-2代入函数关系式中，有 随堂练习 6、已知函数 y=（m²-m）x²+（m-1）x+m+1． （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？ 解：（1）根据一次函数的定义，得m2-m=0， 解得m=0或m=1，又∵m-1≠0即m≠1； ∴当m=0时，这个函数是一次函数； （2）根据二次函数的定义， 得：m2-m≠0，解得m1≠0，m2≠1； ∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数. 随堂练习 例2 (1) y=(k－4)x2＋2x是二次函数，求k的取值范围. ∵ k－4 ≠ 0， ∴ k ≠ 4. (2) y=－3xm－5＋x－4是二次函数，求m的值. ∵ m－5 = 2， ∴ m = 7. 解： 解： 能够识别出二次函数之后，下面我们要用二次函数的概念来解题了 下列二次函数中都含有字母系数，试试看能否依据二次函数的概念，把字母的取值范围解出来？ 第一小题二次项的系数是k-4，只有k-4≠0的时候才能保证这是一个二次函数，所以解出k≠4 第二小题一眼没看到二次项，但是x是一次项，-4是常数项，只有m-5次能达到二次这个要求，所以得出m-5=2，解出m=7 19 (3) y=(m－2) xm2－2＋4是二次函数，求m的取值范围和函数解析式. 也即m=－2， (4) y＝(a－b)x3＋2x2＋2是y关于x的二次函数，求a，b的关系． 解： 解：由a－b=0，得a=b. 此时y=－4x2＋4. 得 第三小题是刚才两题的综合，只有这一项有希望成为二次项（用手指），所以要让次数m²-2为2次，而且系数m-2还不能得0，列出条件组……解出m=±2的时候可以保证次数为2次，但m=2时系数就是0，还是没有二次项，所以m=-2，此时函数解析式为y=－4x2＋4； 第四小题，说是个二次函数，可是我明明看到了等号右边的三次项啊，它不应该存在二次函数里的。没错，就是得让这项消失，也就是让他的系数是0，列出方程a－b=0，解出a=b 20 例3 计算求值与解方程 从地面向上抛一个小球，小球的飞行高度y(m)与飞行时间t(s)之间的关系式为y=20t－5t2. (1)抛出小球2s后，小球的飞行高度是多少？ y=20×2－5×22=40－20=20， 抛出小球2s后，小球的飞行高度是20m. 解：当a＋3＝0且a＋2≠0，即a＝－3时，y是x的一次函数； 当a2＋a－4＝0且a＋2≠0时，y是x的一次函数，解得a＝； 当a2＋a－4＝1且a＋3＋a＋2≠0时，y是x的一次函数，解得a＝. 综上，当a为－3或或时，y是x的一次函数． $$