1.1集合的概念 导学案、同步练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

[键入文字] 第一章 集合与常用逻辑用语 §1．1 集合的概念 【导学目标】： 1．了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； 2．能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 3． 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征． 【知识要点】 一、集合的概念 1.定义 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的整体叫做集合（简称集） 2.集合与元素的表示 集合通常用大写字母，，，表示，元素用小写字母，，，表示。 3.元素与集合的关系 元素与集合的关系 记法 读法 是集合的元素 属于集合 不是集合的元素 不属于集合 4.常用数集及其记法 数集 记法 非负整数集（自然数集） 正整数集 或 整数集 有理数集 实数集 5.集合中元素的性质 （1） 确定性 给定的集合，它的元素必须是确定的； 也就是说，给定一个集合，那么任何元素在不在这个集合中就确定了。 （2） 互异性 一个给定集合中的元素是互不相同的； 也就是说，集合中的元素是不能重复出现的。 （3） 无序性 组成集合的元素没有顺序之分，只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。 二、集合的表示 1．列举法 把集合中的元素一一列举出来，并用大括号“{　　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 2．描述法 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 【典型例题】 题型一　判断元素能否构成集合 【例1-1】　下列对象能构成集合的是(　　) A. 高一年级全体较高的学生 B．sin 30°，sin 45°，cos 60°，1 C．全体很大的数 D．平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点 【例1-2】下列各组对象不能构成集合的是（ ） A. 参加2024年奥运会的全体运动员 B．小于的正整数 C．2025年高考数学难题 D．所有无理数 题型二　元素与集合的关系 【例2-1】填或 -2 N，0 ，4.5 Z， Q ， Q， R． 【例2-2】下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2-3】已知集合中的元素满足，则下列选项正确的是（  ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 题型三　集合的表示 【例3-1】试分别用描述法和列举法表示下列集合： (1) 由大于8小于20的所有整数组成的集合； (2) 方程的所有实数根组成的集合； (3) 不等式的解集； (4) 所有正奇数组成的集合； (5) 坐标平面内第二、三象限内所有点的集合； (6) 一次函数的图象与二次函数的图象的交点组成的集合； (7) 抛物线上的所有点组成的集合； (8)方程组的解集． 【例3-2】用列举法表示下列集合． (1)不大于10的非负偶数组成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合B； (3)方程的实数根组成的集合C； (4)一次函数与的图象的交点组成的集合D． 题型四　集合相等及参数求解 【例4-1】已知，，若集合，则的值为 ． 【例4-2】设a，，若集合，则 . 题型五　求集合中元素的个数 【例5-1】设集合，，，则中的元素个数为 ． 【例5-1】设非空数集同时满足条件：①中不含元素；②若，则.则下列结论正确的是（    ） A．集合中至多有2个元素 B．集合中至多有3个元素 C．集合中有且仅有4个元素 D．集合中至少有5个元素 题型六　集合元素的互异性及互异性求参数 【例6-1】已知集合，若，求实数a的取值集合． 【例6-2】含有三个实数的集合，若且，求的值. 题型七 根据集合中元素的个数求参数 【例7-1】已知集合是单元素集，则实数的取值集合为 ． 【例7-2】已知集合，若集合A中至多有一个元素，则实数a应满足（    ） A． B． C．或 D．不确定 【例7-3】已知集合. (1)若A中只有一个元素，求的值； (2)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 认真听讲，勤于思考 18 / 24 17 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$第一章 集合与常用逻辑用语 第一章 集合与常用逻辑用语 §1．1 集合的概念 一、单选题 1．下列各组对象不能组成集合的是（    ） A．2019篮球世界杯参数队伍 B．中国文学四大名著 C．抗日战争中著名的民族英雄 D．我国的直辖市 【答案】C 【分析】根据集合中的元素需满足确定性，一一判断即可． 【详解】解：A，B，D所表示的对象都能确定，能组成集合， 选项C抗日战争中著名的民族英雄，怎样算著名不能确定，不能组成集合， 故选：C． 【点睛】本题主要考查集合的概念，集合元素的确定性，难度不大，属于基础题． 2．下列给出的对象中，能组成集合的是（    ） A．一切很大的数 B．好心人 C．漂亮的小女孩 D．方程的实数根 【答案】D 【分析】都不满足集合的确定性，排除，解出方程可以确定构成集合. 【详解】A. 一切很大的数B. 好心人C. 漂亮的小女孩均不满足集合的确定性，排除； D. 方程的实数根为，可以构成集合. 故选 【点睛】本题考查了能否构成集合，属于简单题型. 3．下列语句中，正确的个数是（    ） （1）；（2）；（3）由3、4、5、5、6构成的集合含有5个元素；（4）数轴上由1到1.01间的线段的点集是有限集；（5）方程的解能构成集合. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据集合的概念和性质判断即可. 【详解】是自然数，故，（1）正确； 是无理数，故，（2）错误； 由3、4、5、5、6构成的集合为有4个元素，故（3）错误； 数轴上由1到1.01间的线段的点集是无限集，（4）错误； 方程的解为，可以构成集合，（5）正确； 故选：A 4．下列说法中正确的是（    ） A．与定点等距离的点不能组成集合 B．由“title”中的字母组成的集合中元素的个数为5 C．一个集合中有三个元素，其中是的三边长，则不可能是等腰三角形 D．高中学生中的游泳能手能组成集合 【答案】C 【分析】根据集合中的元素的互异性、确定性等性质对选项逐一判断即可得出结论. 【详解】对于A，与定点等距离的点是线段的垂直平分线上的所有点，满足集合中元素的性质，能构成集合，即A错误； 对于B，因为集合中的元素具有互异性，因此由“title”中的字母组成的集合中元素的个数为4，可知B错误； 对于C，由集合中的元素具有互异性可知，各不相同，所以不可能是等腰三角形，即C正确； 对于D，高中学生中的游泳能手不具有确定性，不能组成集合，即D错误. 故选：C 5．已知集合，若下列三个关系有且只有一个正确：①；②；③，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】B 【分析】根据集合相等的定义分类讨论进行求解即可. 【详解】假设①，②错，③对， 因为， 所以有，此时； 假设①，③错，②对， 因为错，必有，而，不符合集合元素的互异性，假设不成立； 假设②，③错，①对， 因为错，所以， 因为错，所以对，而对，因此只能，不符合集合元素的互异性，假设不成立， 综上所述：， 故选：B 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用假设法、应用集合元素的互异性进行判断. 6．下面有五个命题： ①集合 (自然数集)中最小的数是1；②是不大于3的自然数组成的集合；③，则；④，则；⑤集合中没有元素.其中正确命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据的性质可判断①②③④的正误，根据集合的定义可判断⑤的正误. 【详解】因为中的最小数为0，故①错误； 不大于3的自然数有0,1,2,3，故②错误； 若，则，此时，故③错误； 而，则成立，故④正确； 集合中有元素0，故⑤错误. 故选：B. 7．下列对象能构成集合的是(　　) ①NBA联盟中所有优秀的篮球运动员；②所有的钝角三角形；③2015年诺贝尔经济学奖得主；④大于等于0的整数；⑤我校所有聪明的学生． A．①②④ B．②⑤ C．③④⑤ D．②③④ 【答案】D 【详解】由集合中元素的确定性知，①中“优秀的篮球运动员”和⑤中“聪明的学生”不确定，所以不能构成集合． 选D 8．下列选项中，表示同一集合的是 A．A={0，1}，B={（0，1）} B．A={2，3}，B={3，2} C．A={x|–1<x≤1，x∈N}，B={1} D．A=∅， 【答案】B 【分析】利用集合相等的定义直接求解． 【详解】在A中，A={0，1}是数集，B={（0，1）}是点集，二者不表示同一集合，故A错误；在B中，A={2，3}，B={3，2}，集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等，表示同一集合，故B正确；在C中，A={x|–1<x≤1，x∈N}={0，1}，B={1}，二者不相等，不表示同一集合，故C错误；在D中，A=∅，={0}，二者不相等，不表示同一集合，故D错误．故选B． 【点睛】本题考查集合相等的判断，考查集合相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 二、多选题 9．已知集合，集合，下列关系正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据集合的定义判断，注意集合中代表元形式． 【详解】由已知集合，集合是由抛物线上的点组成的集合， A正确，B错，C正确，D正确， 故选：ACD． 【点睛】本题考查集合的概念，确定集合中的元素是解题关键． 10．已知集合，，，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由描述法得各集合中元素的共同特征，由，，，分别设出的特征表达式，通过运算及变形整理找到新元素的特征归属即可. 【详解】因为，可设，，， 选项A，， 则，故A正确； 所以， 则，故B正确； 所以，其中， 则，故C错误； 所以，其中， 则，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 11．以下各结论①；②；③符号表示空集，则；④集合和集合的表示法都是正确的，只是两个集合表示的含义不同； 其中正确的有 （只填写编号）； 【答案】②③④ 【分析】根据常见集合符号的意义可判断①②正确与否，根据元素与集合的关系可判断③是正确的，而④中的两个均为实数集，从而可得正确的选项. 【详解】实数0不属于正整数集合，①是错误的； 为有理数，故，故②正确； 表示由一个元素组成的集合，所以③正确； 表示的是函数的自变量的取值组成的集合，该集合为 表示的是函数的函数值的值组成的集合，该集合为， 所以④正确， 故答案为：②③④. 【点睛】本题考查常见集合的符号表示，也考查了元素与集合的关系判断，还考查了对集合的理解，本题属于基础题. 12．给出下列四个结论： （1）若集合，，且，则，； （2）已知函数，若，则； （3）函数的单调减区间是； （4）若，且，则 其中不正确的有 . 【答案】 【分析】（1）由集合相等可知元素相同，当时，不满足元素的互异性；当时可求得，可知（1）正确； （2）根据可求得，代入可求得结果，（2）正确； （3）根据反例可知（3）错误； （4）由已知等式可知，化简可求得结果，（4）正确. 【详解】（1）当时 若，则，不符合集合元素的互异性     若，则，解得：或（舍）    ，，（1）正确； （2）由得： ，（2）正确； （3）当，时，，不符合减函数定义 的单调减区间为，，（3）错误； （4）     ，（4）正确. 故答案为（3） 【点睛】本题考查根据集合相等求解参数值、函数单调性、奇偶性和抽象函数关系式的应用；是对集合和函数部分知识的综合考查. 四、解答题 13．判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由： （1）与定点A，B等距离的点；（2）高中学生中的游泳能手. 【答案】（1）是，理由见解析；（2）不是，理由见解析. 【解析】（1）与定点A，B等距离的这些点是确定的，根据集合的确定性判断； （2）游泳能手没有一个固定的标准，即不满足集合的确定性. 【详解】（1）与定点A，B等距离的点可以组成集合，因为这些点是确定的. （2）高中学生中的游泳能手不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的. 【点睛】本题主要考查了判断是否构成集合，一般从集合的确定性进行判断，属于基础题. 14．集合中的元素为、，集合中的元素为0、，且集合，求的值． 【答案】 【分析】由集合相等，得到方程，求出相应的，检验后得到答案. 【详解】由集合相等的定义得 或， 当时，，此时与元素的互异性矛盾，舍去； 当时，或（舍去）， 当，时，满足元素的互异性， 综上所述，． 15．已知集合，. （1）若集合，，求的值； （2）是否存在实数，使得?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）不存在实数，见解析 【分析】（1）根据，两个集合元素相同列方程组，解方程组求得的值，进而求得的值. （2）根据是的子集，分别令和，解方程，然后根据集合元素的性质，判断出符合题意的不存在. 【详解】（1）由题可知所以所以. （2）假设存在实数使得， 则或. 若，则，此时没有意义，舍去. 若，则，化简得，解得或（舍）， 当时，不符合集合中元素的互异性，舍去. 故不存在实数，使得. 【点睛】本小题主要考查两个集合相等的概念，考查元素、子集的概念和运用，考查含有根式的方程的解法，属于基础题. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$第一章 集合与常用逻辑用语 第一章 集合与常用逻辑用语 §1．1 集合的概念 一、单选题 1．下列各组对象不能组成集合的是（    ） A．2019篮球世界杯参数队伍 B．中国文学四大名著 C．抗日战争中著名的民族英雄 D．我国的直辖市 2．下列给出的对象中，能组成集合的是（    ） A．一切很大的数 B．好心人 C．漂亮的小女孩 D．方程的实数根 3．下列语句中，正确的个数是（    ） （1）；（2）；（3）由3、4、5、5、6构成的集合含有5个元素；（4）数轴上由1到1.01间的线段的点集是有限集；（5）方程的解能构成集合. A．2 B．3 C．4 D．5 4．下列说法中正确的是（    ） A．与定点等距离的点不能组成集合 B．由“title”中的字母组成的集合中元素的个数为5 C．一个集合中有三个元素，其中是的三边长，则不可能是等腰三角形 D．高中学生中的游泳能手能组成集合 5．已知集合，若下列三个关系有且只有一个正确：①；②；③，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 6．下面有五个命题： ①集合 (自然数集)中最小的数是1；②是不大于3的自然数组成的集合；③，则；④，则；⑤集合中没有元素.其中正确命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 7．下列对象能构成集合的是(　　) ①NBA联盟中所有优秀的篮球运动员；②所有的钝角三角形；③2015年诺贝尔经济学奖得主；④大于等于0的整数；⑤我校所有聪明的学生． A．①②④ B．②⑤ C．③④⑤ D．②③④ 8．下列选项中，表示同一集合的是 A．A={0，1}，B={（0，1）} B．A={2，3}，B={3，2} C．A={x|–1<x≤1，x∈N}，B={1} D．A=∅， 二、多选题 9．已知集合，集合，下列关系正确的是（    ）． A． B． C． D． 10．已知集合，，，且，，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．以下各结论①；②；③符号表示空集，则；④集合和集合的表示法都是正确的，只是两个集合表示的含义不同； 其中正确的有 （只填写编号）； 12．给出下列四个结论： （1）若集合，，且，则，； （2）已知函数，若，则； （3）函数的单调减区间是； （4）若，且，则 其中不正确的有 . 四、解答题 13．判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由： （1）与定点A，B等距离的点；（2）高中学生中的游泳能手. 14．集合中的元素为、，集合中的元素为0、，且集合，求的值． 15．已知集合，. （1）若集合，，求的值； （2）是否存在实数，使得?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$