13.3三角形的内角与外角 同步练习2025-2026学年人教版数学八年级上册

13.3 三角形的内角与外角 一、知识梳理 1、三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和 ． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）直角三角形 ． （5）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 2、三角形外角相关知识 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与 ．，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和 ．． ②三角形的一个外角等于 ．． ③三角形的一个外角大于 ．． 二、习题精练 一、单选题 1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，平分，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．若中，，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线，平分．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，平分，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 7．一副三角板如图放置，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，D，E两点分别在的两边，上，连接，已知，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．若的三个内角度数之比为，则的度数为 ． 10．如图．是的外角的平分线．，．则的度数是 度． 11．如图，在中，D是延长线上一点，，，则等于 ． 12．如图，一条笔直的公路经过处和公园，现要进一步开发景区，经测量，景区位于处的北偏东方向上、位于公园的北偏东方向上，且，则公园与景区的距离为 ．    13．看图填空． （1）图中共有 个三角形，分别是 ； （2）的三个顶点分别是 ，三条边分别是 ，三个角分别是 ； （3）中，顶点A所对的边是 ，边所对的顶点是 ； （4）是 的内角，是 的外角，的对边是 ． 三、解答题 14．如图，在中，是高，是角平分线，，，求的度数．    15．如图，分别交的边于D、E，交延长线于F，若，，，求的度数． 16．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且是的中点，连接． (1)若，求的度数； (2)若的长为，求的周长． 17．（1）【探究发现】 如图1，在中，点是内角和外角的角平分线的交点，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【迁移拓展】 （2）如图2，在中，点是内角和外角的等分线的交点，即，，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【应用创新】 （3）已知，如图3，相交于点C，、、的角平分线交于点P，，，则 ． 13.3三角形的内角与外角 一、单选题 1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形，根据直角三角形两锐角互余的性质，已知一个锐角为，另一个锐角的度数即为减去已知锐角的度数． 【详解】解：∵在直角三角形中，两个锐角的和为， ∴． 故选：D． 2．如图，在中，平分，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，由三角形内角和定理可得的度数，再由角平分线的定义即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 故选：D． 3．若中，，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，一元一次方程的应用， 先设，再根据三角形内角和定理得，求出即可得出答案． 【详解】解：设，根据题意，得 ， 解得， ∴． 故选：C． 4．如图，直线，平分．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质及三角形内角和，熟练掌握平行线的性质及三角形内角和是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据三角形内角和可得，进而问题可求解． 【详解】解：如图， ∵平分．， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 5．如图，在中，平分，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解题的关键．先根据三角形内角和定理求出的度数，再由平分，平分，得出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴． 故选：B． 6．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质求出，根据三角形的外角的性质计算即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 7．一副三角板如图放置，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外角的性质，对顶角相等，三角形内角和定理等知识．明确角度之间的数量关系是解题的关键．如图，由题意知，，由三角形外角的性质得到，求出，由对顶角的定义得到，再根据三角形内角和定理得到，最后由对顶角的定义即可得到结果． 【详解】解：如图，由题意知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 8．如图，D，E两点分别在的两边，上，连接，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查邻补角性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 先根据邻补角性质求得，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 二、填空题 9．若的三个内角度数之比为，则的度数为 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，设，，，由三角形内角和定理得，求出即可求解，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴可设，，， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 10．如图．是的外角的平分线．，．则的度数是 度． 【答案】75 【分析】本题主要查了三角形外角的性质．先根据角平分线的定义可得，然后根据三角形外角的性质解答，即可． 【详解】解：∵是的外角的平分线，， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：75 11．如图，在中，D是延长线上一点，，，则等于 ． 【答案】/71度 【分析】本题考查的是三角形的外角性质．根据“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”即可求解． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 12．如图，一条笔直的公路经过处和公园，现要进一步开发景区，经测量，景区位于处的北偏东方向上、位于公园的北偏东方向上，且，则公园与景区的距离为 ．    【答案】/16千米 【分析】本题考查了方向角问题，等角对等边；根据题意可得：，，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得，即可解答 【详解】解：如图：      由题意得：，， 是的一个外角， ， ， 公园与景区的距离为 故答案为：． 13．看图填空． （1）图中共有 个三角形，分别是 ； （2）的三个顶点分别是 ，三条边分别是 ，三个角分别是 ； （3）中，顶点A所对的边是 ，边所对的顶点是 ； （4）是 的内角，是 的外角，的对边是 ． 【答案】 4 B、G，E / E / 【分析】本题考查三角形相关概念： （1）写出图中的三角形即可； （2）根据顶点，边，角的定义，作答即可； （3）根据对边，对角的定义，作答即可； （4）根据内角，外角，对边的定义，作答即可． 【详解】解：（1）图中共有4个三角形，分别是：， 故答案为：4，； （2）的三个顶点分别是B、G，E，三条边分别是，三个角分别是； 故答案为：B、G，E；；； （3）中，顶点A所对的边是，边所对的顶点是； 故答案为：，； （4）是的内角，是的外角，的对边是； 故答案为：，，． 三、解答题 14．如图，在中，是高，是角平分线，，，求的度数．    【答案】 【分析】根据三角形内角和和角平分线求出，根据三角形的内角和等于求出的度数，然后根据角的关系求出即可． 本题考查了三角形的角平分线，主要利用了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是角平分线， ∴ ∵是高， ∴ ∴ ∴． 15．如图，分别交的边于D、E，交延长线于F，若，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据三角形内角和定理得到，再根据三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴． 16．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且是的中点，连接． (1)若，求的度数； (2)若的长为，求的周长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得，进而利用等腰三角形的性质可得，，然后利用三角形的内角和定理可得，最后利用三角形的外角性质即可解答． （2）根据已知可得，再用线段的和差关系，以及等量代换可得，即可求得的周长． 【详解】（1）解：（1）∵，且是的中点，垂直平分， ∴， ∵，， ∵， ∴， ∴ （2）解：∵是的中点， ∴， ∵，且， ∴的周长． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和，外角的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 17．（1）【探究发现】 如图1，在中，点是内角和外角的角平分线的交点，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【迁移拓展】 （2）如图2，在中，点是内角和外角的等分线的交点，即，，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【应用创新】 （3）已知，如图3，相交于点C，、、的角平分线交于点P，，，则 ． 【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析；（3） 【分析】（1）先根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的外角性质可得，，从而可得出，由此即可得出答案； （2）根据三角形的外角性质可得，，从而可得出，由此即可得出答案； （3）先根据（1）的结论可得，，再根据角的和差可得，由此即可得出答案． 【详解】解：（1），证明如下： 点是内角和外角的角平分线的交点， ，， 由三角形的外角性质得：，， ，即， ； （2），证明如下： ，， 由三角形的外角性质得：，， ，即， ； （3）由（1）的结论得：，， 即，， ， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、角n等分的定义、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$