精品解析：2025年四川省成都市石室联合中学中考数学三诊试卷

2025年四川省成都市石室联中中考数学三诊试卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 如图几何体的左视图是（　　） A. ． B. C. D. 2. 若x的相反数是3，则x的值是（ ） A. B. C. 3 D. 3. 锦州是辽宁省主要产食盐区之一，拥有海岸线总长977000米，素有“海上锦州”的美誉，用科学记数法可表示为（　　） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中，是假命题的是（　　） A. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 B. 等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合 C. 成中心对称的两个三角形是全等三角形 D. 一条直角边相等且斜边相等的两个直角三角形全等 8. 已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表： … … … … 以下结论：①该抛物线的开口向上；②对称轴为直线；③关于的方程的根为和；④当时，的取值范围是或．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 9. 因式分解：______． 10. 已知反比例函数y＝的图象在第二、四象限，则m的取值范围是________． 11. 某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、能力和态度三个方面进行测试，将学历、能力和态度三项成绩按的比例确定最终成绩．某面试者学历、能力和态度三项测试成绩分别为80分，85分，90分，则该面试者的最终成绩为____分． 12. 如图，是的内接三角形，若，，则_______． 13. 如图，在中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D；（2）分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F；（3）画射线交于点E．若，，，则的长为__________． 三、解答题（共5小题，共48分） 14. （1）计算： （2）求不等式组的整数解． 15. 单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下． 实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验说明 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，，，；当摆球运动至点C时，，．（点O，A，B，C，D，E在同一平面内） 实验图示 解决问题：根据以上信息，求的长．（结果精确到） 参考数据：，． 16. 为落实国家“双减”政策，某中学在课后延时服务时间里开展了“剪纸社团、足球社团、文学社团、合唱社团”活动．该校从全校540名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢”一种社团活动（每人必选且只选一种）的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）条形统计图中的值为_____，扇形统计图中的度数为_____； （2）根据调查结果，可估计该校540名学生中最喜欢“合唱社团”的约有_____人； （3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙三名同学中随机选取两名去参加演讲比赛和诗词大会，每人限参加一项，请用列表或画树状图的方法求出恰好由甲参加演讲比赛、乙参加诗词大会的概率． 17. 如图1，在等腰三角形中，是边上的高，以为直径的与相交于点E，连接． （1）求证：； （2）如图2，连接，当与相切时，若，求的值和的半径r． 18. 如图，点和点是反比例函数图象上的两点，一次函数的图象经过点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，连接．已知与的面积满足． （1）求的面积和的值； （2）求直线的表达式； （3）过点的直线分别交轴和轴于M，N两点，，若点为的平分线上一点，且满足，请求出点的坐标． 一、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 19. 已知一次函数的图象不经过第二象限，则的范围___________． 20. 若，是方程的两个根，则的值是______． 21. 在，，，，，，这个数中，随机选取一个数，记为，使得直线与双曲线没有交点的概率为______ ． 22. 定义：如图，点P，Q为三条边上的任意两点，若线段同时平分该三角形的周长和面积，则称为该三角形的“完全等分线段”．在中，，，，则的“完全等分线段”的长为____． 23. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线．当时，t的值为____；点在抛物线上，若，则的取值范围为____． 二、解答题（共00分） 24. 2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空，将航天员叶光富、李聪和李广苏顺利送入太空，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型．已知销售店老板购进2个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要200元；购进3个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要180元． （1）求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进货价格； （2）该航天模型销售店计划购进两种模型共100个，且“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半．若每个“神舟”模型的售价为60元，每个“天宫”模型的售价为45元，则购进多少个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大？最大利润是多少元？ 25. 如图，抛物线经过两点． （1）求抛物线所对应的函数表达式； （2）若在直线下方的抛物线上存在一点P，使得的面积等于1，求P点横坐标； （3）若直线是常数，与抛物线有且只有一个公共点． ①求直线l解析式； ②将直线l向下平移2个单位得到直线，过点A的直线与抛物线的另一个交点为D（异于点B），过点B的直线与抛物线的另一交点为E（异于点A），当直线m，n的交点P在定直线上时，试探究直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 26. 在平行四边形中，点E，F分别为线段和延长线上的点，连接与交于点G，连接，设． 【问题提出】（1）如图1，延长交于点P，求证：=； 【深入探究】（2）如图2，若，求的最小值； 【拓展提高】（3）如图3，若，当时，直接写出k的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年四川省成都市石室联中中考数学三诊试卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 如图几何体的左视图是（　　） A. ． B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图，根据三视图的特点，左视图是从图形的左边看得到的，由此可解． 【详解】解：从左面看，看到的图形为： 故选：B． 2. 若x的相反数是3，则x的值是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由于3的相反数是-3，则由题意可求得x的值． 【详解】∵3的相反数是-3，x的相反数是3 ∴x=－3 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数的概念，掌握相反数的概念是关键． 3. 锦州是辽宁省主要产食盐区之一，拥有海岸线总长977000米，素有“海上锦州”的美誉，用科学记数法可表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的标准形式为，其中，为整数，熟练掌握科学记数法是解题的关键． 由即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同类项的合并法则、乘法公式及单项式除以单项式即可完成． 【详解】A、，故运算错误； B、，运算正确； C、，故运算错误； D、，故运算错误； 故选：B 【点睛】本题考查了乘法公式、单项式除以单项式、同类项的合并等知识，掌握它们的运算法则、熟记乘法公式是关键． 5. 如图，直线，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质．利用平行线的性质求得的度数，再利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6. 《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据题意列二元一次方程组． 根据甲和乙的陈述，甲得乙9只羊后，羊数是乙的2倍；乙得甲9只羊后，两人羊数相等．由此列出二元一次方程组． 【详解】解：设甲有x只羊，乙有y只羊， 甲得乙9只羊后，甲有只，乙有只，且； 乙得甲9只羊后，乙有只，甲有只，且； ∴方程组为． 故选：B． 7. 下列命题中，是假命题的是（　　） A. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 B. 等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合 C. 成中心对称的两个三角形是全等三角形 D. 一条直角边相等且斜边相等的两个直角三角形全等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查命题的真假判断，涉及三角形外角性质、等腰三角形的三线合一、中心对称图形性质及直角三角形全等的判定等知识，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角之和，因此必定大于任一不相邻的内角，为真命题； B、等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合，但腰上的高线、中线不一定重合，原命题未限定条件，表述错误，为假命题； C、成中心对称的两个图形全等，因此两个三角形全等，为真命题； D、直角三角形中，若一条直角边和斜边对应相等（定理），则两三角形全等，为真命题． 故选：B 8. 已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表： … … … … 以下结论：①该抛物线的开口向上；②对称轴为直线；③关于的方程的根为和；④当时，的取值范围是或．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决． 【详解】解：由表格可知， 抛物线的对称轴是直线，故②正确； 设抛物线解析式为，将代入解得， ∵， 故抛物线的开口向下，故①错误； 由抛物线关于直线对称知， 当时，或， 故方程的根为和，故③正确； 当时，的取值范围是或，故④正确 ． 故选：C． 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 9. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可. 【详解】解：. 10. 已知反比例函数y＝的图象在第二、四象限，则m的取值范围是________． 【答案】m<－2 【解析】 【详解】∵反比例函数y＝的图象在第二、四象限， ∴m+2<0， 解得m<−2， 故答案为：m<−2. 11. 某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、能力和态度三个方面进行测试，将学历、能力和态度三项成绩按的比例确定最终成绩．某面试者学历、能力和态度三项测试成绩分别为80分，85分，90分，则该面试者的最终成绩为____分． 【答案】86 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题关键． 根据加权平均数的计算公式即可得． 【详解】解：由题意，应聘者甲的平均成绩为（分）． 故答案为：86． 12. 如图，是的内接三角形，若，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，连接，由圆周角定理求出，再由三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出，根据平行线的性质求出，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ． 13. 如图，在中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D；（2）分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F；（3）画射线交于点E．若，，，则的长为__________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了尺规作线段的垂线、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角性质以及勾股定理等知识，读懂作图信息、熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键； 易得，连接，如图，据题意可得：，垂直平分，可得，，证明，再利用勾股定理即可求出答案. 【详解】解：∵，， ∴, 连接，如图，据题意可得：，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则在直角三角形中，根据勾股定理可得； 故答案为：12. 三、解答题（共5小题，共48分） 14. （1）计算： （2）求不等式组的整数解． 【答案】（1）；（2）整数解为1，2，3． 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算、解一元一次不等式组，涉及负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． （1）先计算负整数指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂及绝对值，再加减运算即可求解； （2）先求得每个不等式的解集，再求得公共部分得到不等式组的解集，进而可求得整数解． 【详解】解：（1） ； （2）， 由①得：； 由②得：， ∴不等式组的解集为， 则原不等式组的整数解为1，2，3． 15. 单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下． 实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验说明 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，，，；当摆球运动至点C时，，．（点O，A，B，C，D，E在同一平面内） 实验图示 解决问题：根据以上信息，求的长．（结果精确到） 参考数据：，． 【答案】的长为 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，先求解，再求解，从而可得答案； 【详解】解：∵，，； ∴， ， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∴的长为； 16. 为落实国家“双减”政策，某中学在课后延时服务时间里开展了“剪纸社团、足球社团、文学社团、合唱社团”活动．该校从全校540名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢”一种社团活动（每人必选且只选一种）的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）条形统计图中的值为_____，扇形统计图中的度数为_____； （2）根据调查结果，可估计该校540名学生中最喜欢“合唱社团”的约有_____人； （3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙三名同学中随机选取两名去参加演讲比赛和诗词大会，每人限参加一项，请用列表或画树状图的方法求出恰好由甲参加演讲比赛、乙参加诗词大会的概率． 【答案】（1）15； （2）99 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，树状图或列表法求解概率等知识点，正确读懂统计图是解题的关键． （1）先求出参加问卷调查的学生人数，即可求出的值；利用剪纸社团所占百分比乘以即可求出的度数； （2）用540乘以样本中最喜欢“合唱社团”的人数占比即可得到答案； （3）用列表或画树状图的方法先得到所有等可能的结果数，然后找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：由统计图可得，参加问卷调查的学生人数为（人）， ，扇形统计图中的度数为． 故答案为：15；． 【小问2详解】 解：由题意得，（人）， 估计该校540名学生中最喜欢“合唱社团”的约有99人． 故答案为：99． 【小问3详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 甲 乙甲 丙甲 乙 甲乙 丙乙 丙 甲丙 乙丙 由列表可得，共有6种等可能的结果，恰好由甲参加演讲比赛、乙参加诗词大会的结果有1种， 恰好由甲参加演讲比赛、乙参加诗词大会的概率． 答：恰好由甲参加演讲比赛、乙参加诗词大会的概率为． 17. 如图1，在等腰三角形中，是边上的高，以为直径的与相交于点E，连接． （1）求证：； （2）如图2，连接，当与相切时，若，求的值和的半径r． 【答案】（1） 证明：∵为直径，， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴． （2）和的半径 【解析】 【分析】（1）证明，，即可得到结论； （2）与的交点记为F，证明．则，即，得到，则，得到，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图，与的交点记为F， ∵为直径，， ∴是的切线，又与相切， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴，的半径． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、切线的性质、切线长定理、圆周角定理、勾股定理等知识，熟练掌握圆的相关性质定理是关键． 18. 如图，点和点是反比例函数图象上的两点，一次函数的图象经过点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，连接．已知与的面积满足． （1）求的面积和的值； （2）求直线的表达式； （3）过点的直线分别交轴和轴于M，N两点，，若点为的平分线上一点，且满足，请求出点的坐标． 【答案】（1）的面积为，的值为3 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，k的几何意义，相似三角形的判定与性质等知识． （1）首先可知C的坐标，从而得出的面积，再根据，得，可得k的值； （2）由点在反比例函数上，可得，再将点A的坐标代入反比例解析式即可； （3）设，分点N在y轴正半轴上或点N在y轴负半轴两种情形，分别根据相似三角形的判定与性质求出和的长，从而得出的长，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵一次函数与y轴交于C， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点B在反比例函数上， ∴， ∴的面积为，的值为3； 【小问2详解】 解：∵点在反比例函数上， ∴， ∴， 将代入一次函数得， ， ∴， ∴直线的表达式为：； 【小问3详解】 解：设，则， 分以下三种情况： 当点N在y轴正半轴上，点M在轴正半轴上时，作轴于H，则，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点P为的平分线上一点，， ∴点P到x轴和y轴的距离相等，设为，则， ∴，解得， ∴； 当点N在y轴负半轴上，点M在轴正半轴上时，如图， 同理可得，，， ∴，， ∴， ∵点P为的平分线上一点，， ∴同理可得点P到x轴和y轴的距离相等为， ∴， 当点M在x轴负半轴上时，，不合题意，舍去． 综上：或． 一、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 19. 已知一次函数的图象不经过第二象限，则的范围___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数经过的象限得到，求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴图象经过第一，三，四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一次函数的性质：时图象经过一，二，三象限；时图象经过第一，三，四象限；时图象经过一，二，四象限；时经过二，三，四象限，熟记一次函数的性质是解题的关键． 20. 若，是方程的两个根，则的值是______． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，，将变形后求值即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，，， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，涉及完全平方公式．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 21. 在，，，，，，这个数中，随机选取一个数，记为，使得直线与双曲线没有交点的概率为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，概率公式，根的判别式，联立方程，得到，整理得，即有无实数根，故有，然后找到的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：联立方程，得到， 整理得：， ∵直线与双曲线没有交点， ∴无实数根， ∴， ∴， ∵在，，，，，，这个数中满足的有个，即，，，，， ∴概率为， 故答案为：． 22. 定义：如图，点P，Q为三条边上的任意两点，若线段同时平分该三角形的周长和面积，则称为该三角形的“完全等分线段”．在中，，，，则的“完全等分线段”的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元二次方程组. 先计算得到，，再分三种情况讨论即可. 【详解】解：，． ①如图1，设，则， 可得方程组， 解得（不成立）或（不成立）． ②如图2，设，则， ∵， ∴，即， 可得方程组， 无解； ③如图3，设，则， ∵， ∴，即. 可得方程组 解得或（不成立）． ， ∴； 综上所述，的长为． 故答案为：. 23. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线．当时，t的值为____；点在抛物线上，若，则的取值范围为____． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质．将及点，代入抛物线，解得，即可得到t的值；根据确定对称轴的取值范围，进而可确定的取值范围． 【详解】解：将点，代入抛物线，得 ， 解得， ∴； ∵， ∴抛物线开口向上， ∵， ∴， 解得， ∴，即， 当时，； 当时，， ∴的取值范围是． 故答案为：2；． 二、解答题（共00分） 24. 2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空，将航天员叶光富、李聪和李广苏顺利送入太空，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型．已知销售店老板购进2个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要200元；购进3个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要180元． （1）求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进货价格； （2）该航天模型销售店计划购进两种模型共100个，且“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半．若每个“神舟”模型的售价为60元，每个“天宫”模型的售价为45元，则购进多少个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）每个“神舟”模型的进货价格为40元，每个“天宫”模型的进货价格为30元 （2）当购进33个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大，最大利润为1665元 【解析】 【分析】（1）设每个“神舟”模型的进货价格为x元，每个“天宫”模型的进货价格为y元．由题意得，解方程组即可． （2）设购进m个“神舟”模型， 个“天宫”模型时，销售这批模型的利润最大，最大利润为w元．由题意得，．结合一次函数的性质，不等式的解集，整数解，解答即可． 本题考查了方程组的应用，一次函数的性质，不等式的应用，熟练掌握方程组的解法，一次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 设每个“神舟”模型的进货价格为x元，每个“天宫”模型的进货价格为y元． 由题意得， 解得． 答：每个“神舟”模型的进货价格为40元，每个“天宫”模型的进货价格为30元． 【小问2详解】 设购进m个“神舟”模型， 个“天宫”模型时，销售这批模型的利润最大，最大利润为w元． 由题意得，． ， 解得，， ∵， ∴w随m的增大而增大．由题意知，m取整数． ∴当 时，w取得最大值，为（元）． ∴当购进33个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大，最大利润为1665元． 25. 如图，抛物线经过两点． （1）求抛物线所对应的函数表达式； （2）若在直线下方的抛物线上存在一点P，使得的面积等于1，求P点横坐标； （3）若直线是常数，与抛物线有且只有一个公共点． ①求直线l解析式； ②将直线l向下平移2个单位得到直线，过点A的直线与抛物线的另一个交点为D（异于点B），过点B的直线与抛物线的另一交点为E（异于点A），当直线m，n的交点P在定直线上时，试探究直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的表达式为 （2）存在，P点横坐标为 （3）①直线l的表达式为；②直线是过定点，该定点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合运用，涉及到根和系数关系的运用、待定系数法求函数表达式、图形的平移等，强大的运算能力是解题的关键． （1）依据题意，由待定系数法即可求解； （2）待定系数法求得直线的解析式为，过作轴交于，设，则，根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）①依据题意，直线与抛物线有且只有一个公共点，则，即可求解； ②依据题意，求出点的坐标为：，得到，设直线的表达式为：，得到，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：． 【小问2详解】 解：如图，∵， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 过作轴交于， 设，则， ∵的面积等于 1 ，且点 P 在直线下方， ， 解得：， ∴存在，点横坐标为； 【小问3详解】 解：①由题意，当时，，即点， 将点代入得，即， 则直线的表达式为：， ∵直线与抛物线有且只有一个公共点， 则联立上述两个函数表达式得：， 则， 解得：， 则直线的表达式为：； ②由题意，直线过定点， 理由：直线向下平移 2 个单位得到直线，则直线为：， 联立直线与抛物线的表达式得：， 即， 而，则， 即点， 联立直线与抛物线的表达式得：， 即， 而，则， 即点， 联立直线的表达式得：， 解得：， 则点的坐标为：， ∵点在直线上， 则， 整理得：， 设直线的表达式为：， 则， 解得：， ， 则直线的表达式， ∴当时，， 即直线过定点． 26. 在平行四边形中，点E，F分别为线段和延长线上的点，连接与交于点G，连接，设． 【问题提出】（1）如图1，延长交于点P，求证：=； 【深入探究】（2）如图2，若，求的最小值； 【拓展提高】（3）如图3，若，当时，直接写出k的值． 【答案】 （1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴即； （2）（3） 【解析】 【分析】（1）根据平行线得出，，列出比例式即可求证； （2）由（1）可知，根据，求出点G在上运动，当时，最小，根据面积求出最小值即可； （3）延长交于点P，由（1）得，作于N，利用三角函数求出即可． 【详解】（1）略 （2）延长交于点P，由（1）得， ∵ ∴ ∴点G在上运动，当时，最小， 作于I， ∵ ∴，， ∴， ∴， ， 则最小值为， （3）延长交于点P，由（1）得， 作于N， ∵ ∴，， ∵，， ∴， ∴， ， ∴， ， ， ， ， ， 所以． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形，解题关键是恰当构建直角三角形，再解直角三角形求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $