13章 三角形（知识框架+知识梳理）讲义2025-2026学年人教版数学八年级上册

第13章三角形章末复习 一、知识框架 二、知识梳理 1.三角形的定义：由 的三条线段 所组成的图形叫作 . 2.三角形的基本元素：组成三角形的线段叫作 ，相邻两边的公共端点叫作 ，相邻两边所组成的角叫作 ，简称 ，例如，在图中，线段AB，BC，CA是三角形的边;点A，B，C是三角形的顶点；∠A，∠B，∠C是三角形的角. 3.三角形的表示：顶点是A，B，C的三角形，记作 ，读作“ ”，△ABC的三边有时也用a，b，c来表示：如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示. 4.三角形的分类：有两边相等的三角形叫作 ，其中相等的两 边叫作 ，另一边叫作 ，两腰的夹角叫作 ，腰和底边的夹角叫作 ．三边都相等的三角形叫作 ，等边三角形 是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形． 即： 5、三角形三边的关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于 ．三角形的两边差 第三边． 注意：在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （2）三角形的稳定性：三角形具有 ． 6、三角形的中线、高线以及角平分线 （1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做 ． （2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做 ． （3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做 ． （4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是 ． （5）锐角三角形的三条高在 ，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是 ；钝角三角形有两条高在 ，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． （6）三角形的重心是三角形 7、三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和 ． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）直角三角形 ． （5）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 8、三角形外角相关知识 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与 ．，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和 ．． ②三角形的一个外角等于 ．． ③三角形的一个外角大于 ．． 三、知识过关检测 一、单选题 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．1，2，5 B．2，2，4 C．2，3，5 D．2，3，4 2．已知三角形的两边长分别是4cm和10cm，则下列长度的线段中能作为第三边的是（    ） A．4cm B．6cm C．8cm D．14cm 3．小颖在学习三角形时发现三角形的中线可以将三角形的面积分成相等的两部分，课后小颖和同学们进一步研究三角形中线的问题．如图，已知的面积为2，分别延长至点，使，延长至点，使，延长至点，使，依次连接，则阴影部分的面积为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 4．如图，在中，E是上的一点，，点D是的中点，设，的面积分别为，且，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．下列命题中，说法错误的个数有（   ） ①同一平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交； ②一个锐角的补角比这个角的余角大； ③过直线外一点作这条直线的垂线段，则这条垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离； ④两条直线被第三条直线所截，同位角一定相等； ⑤三角形三条中线的交点可能在三角形的外部． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，在中，，，．将绕点B旋转得，分别取、的中点E、F，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．如图，将绕点A逆时针旋转得到，点恰好在边BC上，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 8．如图，的中线、交于点O，，连接，则的面积为（　　） A． B． C． D．2 9．已知的三边长分别为a、b、c，下列三角形中是直角三角形的是（    ） A．三角形的三边满足关系 B．三角形的三边长分别为2，3，4 C．三角形的一边等于另一边的一半 D．三角形的三边长为6，8，10 10．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，取EF的中点G，连接CG，BG，BD，DG，下列结论： ①BE＝CD； ②∠DGF＝135°； ③∠ABG＋∠ADG＝180°； ④若，则．    其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题 11．如图，在中，的对边是 ．    12．如图，已知，，点P是上一点，平分交直线于点N，若，则的度数为 ． 13．对于命题“有两个角是锐角的三角形是锐角三角形．”能说明它是假命题的反例： ． 14．如图，在三角形纸片ABC中，．将三角形纸片的一角折叠，使点C落在内，如果，那么 ． 15．如图，把纸片沿折叠，使点A落在四边形的外部．已知，，则的度数是 度． 16．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，且点D恰好在AC上，∠BAE＝∠CDE＝136°，则∠C的度数是 ． 三、解答题 17．在△ABC中，∠A：∠B：∠C =1：3：5，求∠A、∠B、∠C的度数． 18．【学科融合】 如图1，有一种反光板，由两面镜子组成，入射光线经过镜子反射后形成反射光线．在光线反射时，，． 【问题初探】 （1）如图1，当两面镜子的夹角时，试判断与的位置关系_______，并说明理由； （2）如图2，当两面镜子的夹角且，入射光线经两次反射后与反射光线交于点，求入射光线与反射光线的夹角的度数； 【深入探究】 （3）如图3，当两面镜子的夹角，且时，入射光线经两次射后形成反射光线，设入射光线所在直线与反射光线所在直线交于点，则的度数为_______． 19．如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，∠BAC＝90°． (1)求AD的长度； (2)求△ABE的面积． 20．如图，在四边形中，已知，，，，． (1)判断是直角三角形吗？请说明理由． (2)连接，求的面积． 21．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．将向左平移1格，再向上平移3格． (1)请在图中画出平移后的； (2)再在图中画出的高； (3)在图中能使的格点的个数有______个（点异于）． 第13章 三角形章末复习 一、单选题 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（    ） A．1，2，5 B．2，2，4 C．2，3，5 D．2，3，4 【答案】D 【分析】根据三角形三边关系分析判断即可． 【详解】解：根据三角形任意两边之和大于第三边得： A、∵1+2＜5， ∴不能组成三角形，故此选项不符合题意； B、∵2+2=4， ∴不能组成三角形，故此选项不符合题意； C、∵3+2=5， ∴不能组成三角形，故此选项不符合题意； D、∵3+2＞4， ∴能组成三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能组成三角形，否则不能构成三角形；熟练应用三角形三边关系是解题的关键． 2．已知三角形的两边长分别是4cm和10cm，则下列长度的线段中能作为第三边的是（    ） A．4cm B．6cm C．8cm D．14cm 【答案】C 【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边，进行解答即可． 【详解】 cm<第三边< (10 + 4)cm， 6cm<第三边< 14cm， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边之差的绝对值，而小于两边的和． 3．小颖在学习三角形时发现三角形的中线可以将三角形的面积分成相等的两部分，课后小颖和同学们进一步研究三角形中线的问题．如图，已知的面积为2，分别延长至点，使，延长至点，使，延长至点，使，依次连接，则阴影部分的面积为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中线的性质，连接，可得，即得，进而得到，同理可得，，再根据即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，的面积为2， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，，， ∴， 故选：B． 4．如图，在中，E是上的一点，，点D是的中点，设，的面积分别为，且，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，则S△AEC=S△ABC=12，S△BCD=S△ABC=9，然后利用S△AEC-S△BCD=3即可得到答案． 【详解】解：∵EC=2BE， ∴S△AEC=S△ABC=×18=12， ∵点D是AC的中点， ∴S△BCD=S△ABC=×18=9， ∴S△AEC-S△BCD=3， 即S△ADF+S四边形CEFD-（S△BEF+S四边形CEFD）=3， ∴S△ADF-S△BEF=3． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=×底×高；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 5．下列命题中，说法错误的个数有（   ） ①同一平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交； ②一个锐角的补角比这个角的余角大； ③过直线外一点作这条直线的垂线段，则这条垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离； ④两条直线被第三条直线所截，同位角一定相等； ⑤三角形三条中线的交点可能在三角形的外部． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查命题，涉及相交线与平行线，补角的定义，点到直线的距离，三角形中线，理解相关的知识逐一判断即可． 【详解】解：①：同一平面内，两条直线的位置关系只有平行和相交两种，垂直是相交的特殊情况，并非独立关系，因此①错误； ②：设锐角为，补角为，余角为，补角比余角大，计算正确，因此②正确； ③：点到直线的距离定义为垂线段的长度，符合教材定义，因此③正确； ④：同位角相等需满足两直线平行，否则不一定相等，命题未说明平行条件，因此④错误； ⑤：三角形三条中线的交点（重心）始终在三角形内部，不可能在外部，因此⑤错误； 综上，错误的命题为①④⑤，共3个， 故选：C． 6．如图，在中，，，．将绕点B旋转得，分别取、的中点E、F，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理求出的长，在根据旋转的性质可得，，，利用中位线的性质可求，，在根据三角形的三边关系即可求出结果． 【详解】解：取的中点G，连接、， ∵，，， ， 由旋转的性质可知：，，， ∵点E、F、G分别是、、的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ，， 当点E、F、G不共线时， ，即， 当点G在线段上时，， 当点F在线段上时，， 综上所述，， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形中线的性质、三角形三边关系及勾股定理，熟练掌握旋转的性质和三角形中线的性质求出、的值是解题的关键． 7．如图，将绕点A逆时针旋转得到，点恰好在边BC上，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转变换，注意旋转的不变性是解题的关键． 由旋转得对应角，对应边相等，利用等边对等角及外角即可求解． 【详解】解：∵绕点A逆时针旋转得到，点恰好在边BC上， ∴， ∴， ∴在中，, ∵， ∴ 故选：B． 8．如图，的中线、交于点O，，连接，则的面积为（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的面积、相似三角形的性质与判定及三角形中位线定理，熟知三角形的中位线定理及三角形面积公式是解题的关键．根据题意，得出为的中位线，令的面积为x，结合三角形的中位线定理，用x分别表示出图中三角形的面积，再根据的面积为8求出x的值即可解决问题． 【详解】解：由题知， ∵，是的中线， ∴E，F分别为和的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴． 令的面积为x， 则和的面积都为，的面积为． 又∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 故选：C． 9．已知的三边长分别为a、b、c，下列三角形中是直角三角形的是（    ） A．三角形的三边满足关系 B．三角形的三边长分别为2，3，4 C．三角形的一边等于另一边的一半 D．三角形的三边长为6，8，10 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的判定，勾股定理的逆定理，三角形三边关系等知识，根据三角形三边关系可以判断A，根据勾股定理的逆定理可以判断B和D，由第三边不确定，无法判断此三角形形状，从而判定C． 【详解】解：A、三角形的三边不可能满足关系，故此选项不合题意； B、三角形的三边长分别为2，3，4，由可知此三角形不是直角三角形，故此选项不合题意； C、三角形的一边等于另一边的一半，第三边不确定，无法判断此三角形形状，故此选项不合题意； D、三角形的三边长为6，8，10，由可知此三角形是直角三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 10．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，取EF的中点G，连接CG，BG，BD，DG，下列结论： ①BE＝CD； ②∠DGF＝135°； ③∠ABG＋∠ADG＝180°； ④若，则．    其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】只需要证明∠AEB＝45°＝∠BAE，即可判断①；先证明△CEF为等腰直角三角形，再由点G为EF的中点，得到CG⊥EF，∠CGF＝90°，∠FCG＝45°，由三角形外角的性质得到∠FCG＝∠CGD＋∠CDG＝45°，则∠CGD＜45°，即可判断②；证明，∠EBG＝∠CDG，再由∠ABG＝∠ABC＋∠EBG，∠ADG＝∠ADC−∠CDG，即可判断③；过点G作GM⊥DF于点M，如图所示，设AB＝2a（a＞0），则AD＝3a．证明△ADF为等腰直角三角形，得到DF＝AD＝3a．根据△CGF为等腰直角三角形，得到，则，然后求出，即可判断④． 【详解】解：①∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AB＝CD， ∵AE是∠BAD的角平分线， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°， ∴∠AEB＝90°−∠BAE＝45°＝∠BAE， ∴BE＝AB＝CD，①正确； ②∵AB∥CD， ∴∠CFE＝∠BAE＝45°， ∵∠CEF＝∠AEB＝45°， ∴△CEF为等腰直角三角形， ∵点G为EF的中点， ∴CG⊥EF，∠CGF＝90°，∠FCG＝45°， ∵∠FCG＝∠CGD＋∠CDG＝45°， ∴∠CGD＜45°， ∴∠DGF＝∠CGD＋∠CGF＜45°＋90°＝135°，②不正确；    ③∵△CEF为等腰直角三角形，点G为EF的中点， ∴CG＝EG． ∵∠BEG＝180°−∠CEF＝135°，∠DCG＝180°−∠FCG＝135°， ∴∠BEG＝∠DCG， 在△BEG和△DCG中， ， ∴（SAS）， ∴∠EBG＝∠CDG， ∵∠ABG＝∠ABC＋∠EBG，∠ADG＝∠ADC−∠CDG， ∴∠ABG＋∠ADG＝∠ABC＋∠ADC＝180°，③正确； ④过点G作GM⊥DF于点M，如图所示．    ∵， ∴设AB＝2a（a＞0），则AD＝3a． ∵∠DAF＝45°，∠ADF＝90°， ∴△ADF为等腰直角三角形， ∴DF＝AD＝3a． ∵△CGF为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ． ∴，④正确． 综上可知：正确的结论有①③④． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形面积，角平分线的定义等等，熟练掌握等腰直角三角形的性质与判定条件是解题的关键． 二、填空题 11．如图，在中，的对边是 ．    【答案】/ 【分析】根据三角形的定义，找准所在三角形，然后确定答案即可． 【详解】解：在中，的对边是， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的边、三角形的角的定义． 12．如图，已知，，点P是上一点，平分交直线于点N，若，则的度数为 ． 【答案】30 【分析】由得到，由平分得到，由知，△BMP中三个内角均相等，进而由内角和定理求出，最后在△MPN中，结合由内角和定理即可求出=30°． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又已知， ∴， ∵， ∴， 在△MPN中，由三角形内角和定理可知：， 故答案为：30． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理等知识点，属于基础题，本题的关键是得到． 13．对于命题“有两个角是锐角的三角形是锐角三角形．”能说明它是假命题的反例： ． 【答案】直角三角形有两个锐角（答案不唯一） 【分析】本题考查了三角形分类，根据角三角形有两个锐角，即可得出命题为假命题． 【详解】解：直角三角形有两个锐角，所以有两个角是锐角的三角形是锐角三角形，是假命题， 故答案为：直角三角形有两个锐角（答案不唯一）． 14．如图，在三角形纸片ABC中，．将三角形纸片的一角折叠，使点C落在内，如果，那么 ． 【答案】42°/42度 【分析】如图延长AE、BF交于点，连接C，根据三角形内角和定理求出∠AB，根据三角形外角的性质求出∠1＋∠2＝2∠AB即可解决问题． 【详解】解：如图延长AE、BF交于点，连接C． 在△AB中，∠AB＝180°−74°−70°＝36°， ∵∠ECF＝∠AB＝36°，∠1＝∠EC＋∠EC，∠2＝∠FC＋∠FC， ∴∠1＋∠2＝∠EC＋∠EC＋∠FC＋∠FC＝2∠AB＝72°， ∵∠1＝30°， ∴∠2＝42°， 故答案为：42°． 【点睛】本题考查翻折变换、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，也可以记住基本结论∠1＋∠2＝2∠AC′B． 15．如图，把纸片沿折叠，使点A落在四边形的外部．已知，，则的度数是 度． 【答案】50 【分析】先根据图形翻折变换的性质得出∠A′=∠A，再根据三角形外角和三角形内角和定理进行解答即可． 【详解】 解：如图 ∵∠1=100°， ∴∠ADF=80°， ∵△A′ED是△AED翻折变换而成， ∴∠A′=∠A=25°， ∵∠A′FE是△ADF的外角， ∴∠A′FE=∠A+∠ADF=25°+80°=105°， ∵∠A′FE+∠2+∠A′=180°， ∴105°+∠2+25°=180°， ∴∠2=50°． 故答案为：50． 【点睛】此题考查了折叠的性质，解题的关键是掌握折叠的性质，注意折叠前后图形是全等的，注意折叠中的对应关系． 16．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，且点D恰好在AC上，∠BAE＝∠CDE＝136°，则∠C的度数是 ． 【答案】24° 【分析】由旋转的性质可得∠DAE=∠BAC，∠B=∠ADE=44°，由周角的性质可求∠BAC的度数，即可求解． 【详解】解：∵∠CDE=136°， ∴∠ADE=44°， ∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE， ∴∠DAE=∠BAC，∠B=∠ADE=44°， ∵∠DAE+∠BAC+∠BAE=360°， ∴∠BAC=112°， ∴∠C=180°∠B∠BAC=24°， 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 三、解答题 17．在△ABC中，∠A：∠B：∠C =1：3：5，求∠A、∠B、∠C的度数． 【答案】∠A=20°，∠B=60°，∠C=100° 【分析】设∠A=x，则∠B=3x，∠C=5x，再根据三角形内角和定理求出x的度数，进而可得出结论． 【详解】解：∵△ABC中∠A：∠B：∠C=1：3：5， ∴设∠A=x，则∠B=3x，∠C=5x， ∴∠A+∠B+∠C=180°，即x+3x+5x=180°，解得x=20°， ∴∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键． 18．【学科融合】 如图1，有一种反光板，由两面镜子组成，入射光线经过镜子反射后形成反射光线．在光线反射时，，． 【问题初探】 （1）如图1，当两面镜子的夹角时，试判断与的位置关系_______，并说明理由； （2）如图2，当两面镜子的夹角且，入射光线经两次反射后与反射光线交于点，求入射光线与反射光线的夹角的度数； 【深入探究】 （3）如图3，当两面镜子的夹角，且时，入射光线经两次射后形成反射光线，设入射光线所在直线与反射光线所在直线交于点，则的度数为_______． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3） 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质、图形中角的计算、三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质． （1）先求出，再求出，即可得证； （2）先求出，再求出，再根据三角形的内角和即可求得； （3）先求出，再求出，再根据三角形的内角和即可求得． 【详解】解：（1）， 理由如下： ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）， ， ， ， ， ； （3）， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 19．如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，∠BAC＝90°． (1)求AD的长度； (2)求△ABE的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的面积求出AD即可； （2）根 据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出BE，再根据三角形面积公式求出面积即可． 【详解】（1）解：在中，，是边上的高， ，，， 根据可得 ； （2）解：在中，是边上的中线，且， ， 在中，是边上的高，且由（1）知， ． 【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形的性质，解题关键是巧用面积法求直角三角形斜边上的高． 20．如图，在四边形中，已知，，，，． (1)判断是直角三角形吗？请说明理由． (2)连接，求的面积． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，同角（或等角）的余角相等，三角形全等的判定和性质．熟练掌握勾股定理及其逆定理，三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键． （1）根据勾股定理可求出，从而得出，结合勾股定理逆定理即证明是直角三角形； （2）过点D作交延长线于点M．证明，得出，再结合三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：是直角三角形． 理由：∵，，， ∴． ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且； （2）解：如图，过点D作交延长线于点M． 由（1）可知， 所以． ∵，， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 21．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．将向左平移1格，再向上平移3格． (1)请在图中画出平移后的； (2)再在图中画出的高； (3)在图中能使的格点的个数有______个（点异于）． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)5 【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出、、的对应点、、即可； （2）延长，取格点，连接； （3）过作的平行线得到满足条件的格点有3个，利用对称在的另一侧可得到满足条件的2个格点． 【详解】（1）解：如图， 将点、、分别向左平移1格，再向上平移3格得到点、、， 连接、、， 则为所作； （2）如图，延长，取格点，连接， ∵每个小正方形边长为1， ∴，，， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴是的边上的高， ∴即为所作； （3）如图，连接， ∵每个小正方形边长为1， ∴，， ，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴和是等底等高的三角形， ∴， 此时经过的格点有3个（点除外），而在的另一侧满足条件的格点有2个． ∴在图中能使的格点的个数有5个． 故答案为：5． 【点睛】本题考查作图—平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．掌握平移变换的基本要素是解题的关键．也考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理及勾股定理的逆定理，等积变换． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$