精品解析：重庆市巴蜀中学教育集团中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年重庆市巴蜀中学教育集团中学九年级（上） 期中数学试卷 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1. －6的绝对值是（ ） A. -6 B. 6 C. - D. 2. 一个三棱柱如图所示摆放在地面，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如果两个相似三角形的相似比为，那么这两个三角形对应边上的高之比为（　　） A. B. C. D. 4. 若反比例函数的图象经过点，则k的值为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图是一块玻璃的a，b两面，且，现有一束光线从玻璃中射向空气时发生折射，光线变成，F为射线延长线上一点，已知，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 已知点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形ABCD中，以点A为圆心，以AD长为半径画弧，恰好交BC边于中点E，若AD＝2，则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，正方形中，M是边的中点，N是边的中点，连接，相交于点E，连接并延长，交于点F．若，则的长度为（　　） A. B. C. D. 10. 在初2025届的素养系列课程活动中，数学兴趣小组从这n个自然数中，任取两数之和大于n的取法种数m进行了探究．比如：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；小蜀同学进一步研究得到了以下结论，其中正确的个数是（　　） ①若，则m的值为6； ②若从这n个自然数中，任取两数之和大于n的取法恰好有100种，则； ③若从这n（n为偶数）个自然数中，任取两数之和大于n的取法恰好有A种； 如果从中任取两数之和大于的取法恰好有B种，则的最大值为12． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：的值为 _______________． 12. 一个多边形的内角和是，则这个多边形是_______边形． 13. 若，则 __________________． 14. 如图，同一时刻在阳光照射下，树的影子，小明的影子，已知小明的身高，则树高 ________m． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数的图象与交于点，与交于点，若，且四边形的面积为，则的值为___________． 16. 若关于x的不等式组只有1个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 _______． 17. 如图，以为直径的上有两点、，且点平分劣弧，连接、，过点作的切线交的延长线于点，连接，若，，则_____，_____． 18. 若一个两位数满足其十位数字小于个位数字，则称这个两位数为“逐增数”，将“逐增数”的个位数字与十位数字的差放在的前面得到的三位数记为，将的个位数字与十位数字的差放在的后面得到的三位数记为，，如：当时，，，，若m为最大的“逐增数”，则________，已知，(，，为整数且，，)，，均为“逐增数”且满足为完全平方数，则的最大值与最小值之差为_______． 三、解答题：（本大题8个小题，第20题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 小达同学在一次学习过程中，发现了一个规律：在平行四边形中，如图所示，分别以点和点为顶点向四边形内部作等于，分别交、于点、，分别交、于点、，连接、，则四边形为平行四边形．为了验证上述结论，小达同学按以下步骤进行探究： （1）【初步探究】如图，用尺规完成以下基本作图：以为顶点，以为边向平行四边形内部作等于，另一条边分别交、于点、，连接，；（保留作图痕迹，不写作法和结论） （2）【验证结论】以上述为条件，证明四边形是平行四边形，请补全下列证明过程． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，①　 　， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴（）， ∴② 　，， ∴③ 　， ∴，且， ∴四边形是平行四边形． （3）【深入探究】如果四边形为菱形，则按照题干中的操作可以得到四边形应该为④　 　． 21. 为了提高新时代青少年良好的禁毒意识和健康向上的精神风貌，某校开展了以“青春无毒，阳光一生”为主题的禁毒知识讲座．讲座后，该校还开展了“禁毒”知识答题竞赛活动．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．）．下面给出了部分信息： 八年级10名学生的成绩是：82，92，99，84，89，92，94，92，86，100． 九年级10名学生的成绩在C组中的数据是：90，92，95，91． 八、九年级抽取的学生成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 91 91 中位数 92 b 众数 c 95 方差 31.6 17.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： 　 　， 　 　， 　 　； （2）根据以上数据填空：从稳定性的角度分析，你认为该校 　 　年级学生掌握知识较好．上述调查过程中，从八、九年级分别抽取的10名学生中，达到95及95分以上的同学共有5人，现从这5人中任选两名学生作为代表参加重庆市的“禁毒知识”比赛，请问选中的两名学生都是九年级学生的概率为 　 　； （3）该校八年级800人、九年级600人参加了此次答题竞赛活动，请估计两个年级参加竞赛活动的成绩不低于90分的共有多少人？ 22. 学校为了打造书香校园，准备分三月份和四月份两个批次分别购入A、B两款读物若干本．今年三月购入第一批读物，经了解，购买A款读物的数量为购买B款读物数量的4倍还多300本，且A、B两种读物的单价分别为15元和25元，共用去资金30000元． （1）求第一批购入A、B两款读物的数量； （2）今年四月份，恰逢世界读书月，全国各地书籍需求量增加，A款读物单价有所上涨．学校决定，若A款读物的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批A款读物的数量减少50本．因B款读物单价与第一批相同，所以B款读物的购入数量在第一批B款读物的基础上增加，最终花费的总资金比第一批增加了5000元，求A款读物的单价上涨了多少元？（涨价金额为正数） 23. 如图1，在小雅家的北偏东方向处有一家儿童乐园，北偏西的方向处有一家游乐场，在这两个地方都有最受欢迎的项目荡秋千．周末，小雅的爸爸妈妈带她到儿童乐园玩，如图2，正是小雅在儿童乐园里荡秋千的画面，点C处是秋千静止时的起始点，小雅在起点处两脚在地面上用力一蹬，秋千便开始旋转起来，当摆角恰为时，妈妈在点B处接住她后用力一推，然后爸爸在A处接住她，此时摆角为，已知妈妈接住小雅的位置点B距离地面高，秋千链子的长度为．（参考数据：）． （1）请问儿童乐园和游乐场之间的距离是多少米？ （2）请问爸爸是在距离地面多高的地方接住小雅的？（结果保留一位小数） 24. 如图1，在四边形中，，且，已知，且．动点P从点B起沿B→C→D→A的路线运动，到A点停止．设点P运动的路程为x，的面积为．已知反比例函数表达式为，平面直角坐标系中已画出函数的图象，如图所示． （1）请直接写出与x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）请在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）如图2，结合（2）中所画与的函数图象，直接估计出当时，x的取值范围：　 　．（结果精确到，误差不超过） 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）交轴于点，点（在的左侧），与轴交于点，连接，，． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线下方抛物线上的一动点，过点作交轴于，作轴，垂足为，交于点．点和点分别是轴，轴上的动点，连接，，，当取得最大值时，求的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线′经过的中点，且与直线相交于另一点，点为新抛物线上的一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 26. 如图，为等边三角形，D是同一平面内任意一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，在线段上取一点F，连接，使得平分，与交于点G． （1）如图1，若A、C、D三点共线，且，，求线段的长； （2）如图2，若A、C、D三点共线，且F为中点，在线段上取点P使得，连接，请用等式表示线段之间的数量关系，并证明； （3）如图3，若，请直接写出当线段取最大值时的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年重庆市巴蜀中学教育集团中学九年级（上） 期中数学试卷 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑． 1. －6的绝对值是（ ） A. -6 B. 6 C. - D. 【答案】B 【解析】 【分析】在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． 【详解】负数的绝对值等于它的相反数，所以-6的绝对值是6． 故选：B． 2. 一个三棱柱如图所示摆放在地面，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确掌握观察角度得出主视图是解题关键． 直接利用从正面看几何体的形状进而得出其主视图． 【详解】解：如图所示：这个三棱柱，它的主视图是， 故选：B． 3. 如果两个相似三角形的相似比为，那么这两个三角形对应边上的高之比为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形性质，直接根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：两个相似三角形的相似之比为，相似三角形对应高的比等于相似比， 这两个三角形对应边上的高之比为， 故选：B． 4. 若反比例函数的图象经过点，则k的值为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，将已知点代入反比例函数解析式，解方程即可求出参数k的值． 【详解】解：∵已知反比例函数的图象经过点， ∴将点坐标代入函数解析式：得 解得： 故选B． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项，积的乘方，同底数幂乘法，平方差公式求解判断即可． 【详解】解：A、，计算错误，不符合题意； B、，计算正确，符合题意； C、与不是同类项，不能合并，不符合题意； D、，计算错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了积的乘方，平方差公式，同底数幂乘法和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 6. 光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图是一块玻璃的a，b两面，且，现有一束光线从玻璃中射向空气时发生折射，光线变成，F为射线延长线上一点，已知，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，由平行线的性质可得，再由对顶角相等可得，从而可求． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 7. 已知点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数解析式可得反比例函数图象分别在一、三象限，当时，当时，据此解答即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数， ∴反比例函数图象分别在一、三象限，当时，，当时，， ∵点，在反比例函数的图象上，且， ∴， 故选：． 8. 如图，在矩形ABCD中，以点A为圆心，以AD长为半径画弧，恰好交BC边于中点E，若AD＝2，则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角函数，扇形面积公式． 利用矩形的性质可得，即得，，得到，进而得，最后根据计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 9. 如图，正方形中，M是边的中点，N是边的中点，连接，相交于点E，连接并延长，交于点F．若，则的长度为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正方形性质及中点条件，证明，得出．根据三角函数关系及已知，求出、、、、的长度．由得到，利用相似三角形对应边成比例求出的长度． 【详解】∵四边形是正方形，、分别为边、的中点， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及三角函数的应用，解题关键是利用正方形性质证明三角形全等与相似，结合相关性质和线段长度关系逐步推导． 10. 在初2025届的素养系列课程活动中，数学兴趣小组从这n个自然数中，任取两数之和大于n的取法种数m进行了探究．比如：当时，只有一种取法，即；当时，有和两种取法，即；小蜀同学进一步研究得到了以下结论，其中正确的个数是（　　） ①若，则m的值为6； ②若从这n个自然数中，任取两数之和大于n的取法恰好有100种，则； ③若从这n（n为偶数）个自然数中，任取两数之和大于n的取法恰好有A种； 如果从中任取两数之和大于的取法恰好有B种，则的最大值为12． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查数字类规律探究，理解题意，能够从特殊到一般，得到当n为偶数或奇数时的不同取法是解答的关键．先根据前几个n值所对应m值，找到变化规律求解即可． 【详解】解：当时，只有一种取法，则； 当时，有和两种取法，则； 当时，有，，，四种取法，则； 故当时，有，，，，，六种取法，则； 当时，有，，，，，，，，九种取法，则； 依次类推， 当n为偶数时，； 当为奇数时，； ①当，则m的值为6；正确． ②当时，若为偶数，则，解得；若为奇数，，此时非整数．故，故②正确； ③当为偶数时，；为奇数，， ∴， ∵为偶数， ∴当或时，最大为12，故③正确； 故选D． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的正确答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：的值为 _______________． 【答案】 【解析】 【分析】先依据零指数幂的性质得出的值，再根据特殊锐角三角函数值确定，进而结合绝对值的性质化简，最后将两部分结果相加计算．本题主要考查了零指数幂、特殊锐角三角函数值以及绝对值的性质，熟练掌握零指数幂的定义（任何非零数的次幂都为 ）、特殊锐角三角函数值（ ）和绝对值的化简规则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 12. 一个多边形的内角和是，则这个多边形是_______边形． 【答案】八 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为是解答本题的关键．根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】设这个多边形是n边形， 由题意得， 解得， ∴这个多边形是八边形． 故答案为：八． 13. 若，则 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式的求值．根据题意，•，把代入，即可． 【详解】解：根据题意可知，•， 又∵， ∴则． 故答案为：． 14. 如图，同一时刻在阳光照射下，树的影子，小明的影子，已知小明的身高，则树高 ________m． 【答案】5.1 【解析】 【详解】本题主要考查了相似三角形的应用，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 在同一时刻物高和影长对应成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似． 解：设树高是x米，则， 解得：， ∴树高为， 故答案为：5.1． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数的图象与交于点，与交于点，若，且四边形的面积为，则的值为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的关系，掌握反比例系数与几何图形面积的关系是解题的关键． 如图所示，连接，设，则，，由此得到，，由得到，，，再根据，且，得到，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，边分别在轴、轴的正半轴上， ∴， 如图所示，连接，设， ∴，， ∵点在反比例函数的图象上， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， 解得，， 故答案为：6 ． 16. 若关于x的不等式组只有1个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组，不等式组的解，分式方程的整数解，由得，因不等式组只有1个奇数解，故，而方程的解是整数，可得整数a可取的值有，，1，即可得到答案． 【详解】解：由得， ∵不等式组只有1个奇数解， ∴， ∴， 由方程得， ∵方程的解是整数，且， ∴整数a可取的值有，，1， ∴所有满足条件的整数a的值之和为； 故答案为：． 17. 如图，以为直径的上有两点、，且点平分劣弧，连接、，过点作的切线交的延长线于点，连接，若，，则_____，_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接、交于点，连接，由为的直径，且，得，，根据垂径定理得，且，由切线的性质得，所以，则，而，则，求得，再证明，得，求得，，所以，则， 【详解】解：连接、交于点，连接， ∵为的直径，且， ∴，， ∵点平分劣弧， ∴，且， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】于是得到问题的答案．本题主要考查了圆的性质（直径所对圆周角为直角、垂径定理）、切线性质、相似三角形判定与性质及勾股定理，熟练掌握圆的相关性质、相似三角形判定和勾股定理应用是解题的关键． 18. 若一个两位数满足其十位数字小于个位数字，则称这个两位数为“逐增数”，将“逐增数”的个位数字与十位数字的差放在的前面得到的三位数记为，将的个位数字与十位数字的差放在的后面得到的三位数记为，，如：当时，，，，若m为最大的“逐增数”，则________，已知，(，，为整数且，，)，，均为“逐增数”且满足为完全平方数，则的最大值与最小值之差为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义，代数式，不等式的性质，数的整除等知识点，正确理解题意是解题的关键． 根据新定义，得到的最大值，结合题意，得到，，结合a，b，c为整数且，b，，以及完全平方数的定义，得到结果． 【详解】解：∵为最大的“逐增数”， ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴ ， ∵为完全平方式， ∴是完全平方式， ∵，，为整数，且，，， ∴或1，9， 根据“逐增数”的定义可知，， ∴或(与题意不符)或(不合题意)， ∴， ∴ ， ∵c最大为， ∴a最大为， ∴当，时，最大，， 当，时，最小，， ∴， 故答案为：， 三、解答题：（本大题8个小题，第20题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，分式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）原式利用单项式乘多项式，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再利用除法法则变形，约分即可得到结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 小达同学在一次学习过程中，发现了一个规律：在平行四边形中，如图所示，分别以点和点为顶点向四边形内部作等于，分别交、于点、，分别交、于点、，连接、，则四边形为平行四边形．为了验证上述结论，小达同学按以下步骤进行探究： （1）【初步探究】如图，用尺规完成以下基本作图：以为顶点，以为边向平行四边形内部作等于，另一条边分别交、于点、，连接，；（保留作图痕迹，不写作法和结论） （2）【验证结论】以上述为条件，证明四边形是平行四边形，请补全下列证明过程． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，①　 　， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴（）， ∴② 　，， ∴③ 　， ∴，且， ∴四边形是平行四边形． （3）【深入探究】如果四边形为菱形，则按照题干中的操作可以得到四边形应该为④　 　． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2）；； （3）菱形． 【解析】 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的作图方法即可得到结论； （2）根据平行四边形的性质得到，①，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，得到，且，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形， （3）连接交于，根据菱形的判定和性质定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接交于， ∵四边形为菱形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， 故答案为：菱形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形与菱形的性质和判定、全等三角形的判定与性质以及基本作图，熟练掌握平行四边形和菱形的性质、全等三角形判定及基本作图方法是解题的关键． 21. 为了提高新时代青少年良好的禁毒意识和健康向上的精神风貌，某校开展了以“青春无毒，阳光一生”为主题的禁毒知识讲座．讲座后，该校还开展了“禁毒”知识答题竞赛活动．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．）．下面给出了部分信息： 八年级10名学生的成绩是：82，92，99，84，89，92，94，92，86，100． 九年级10名学生的成绩在C组中的数据是：90，92，95，91． 八、九年级抽取的学生成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 91 91 中位数 92 b 众数 c 95 方差 31.6 17.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： 　 　， 　 　， 　 　； （2）根据以上数据填空：从稳定性的角度分析，你认为该校 　 　年级学生掌握知识较好．上述调查过程中，从八、九年级分别抽取的10名学生中，达到95及95分以上的同学共有5人，现从这5人中任选两名学生作为代表参加重庆市的“禁毒知识”比赛，请问选中的两名学生都是九年级学生的概率为 　 　； （3）该校八年级800人、九年级600人参加了此次答题竞赛活动，请估计两个年级参加竞赛活动的成绩不低于90分的共有多少人？ 【答案】（1）30，91.5，92 （2）九， （3）900 【解析】 【分析】本题考查的是从统计表与扇形图中获取信息，求解中位数，众数，利用样本估计总体，利用画树状图求解随机事件的概率； （1）先利用扇形统计图计算出九年级D组人数，再计算D组人数所占的百分比得到a的值，接着根据中位数和众数的定义确定b、c的值； （2）利用方差的意义，从稳定性的角度分析得到该校九年级学生掌握知识较好．再画树状图展示所有等可能的结果，接着找出选中的两名学生都是九年级学生的结果数，然后根据概率公式计算； （3）用800乘以样本中八年级C、D两组人数所占的百分比，用600乘以样本中九年级C、D两组人数所占的百分比，然后求和即可． 【小问1详解】 解：∵九年级A组人数为（名）， B组人数为（名），C组人数为4（名）， ∴九年级D组人数为（名）， ∴， 即； 九年级成绩的中位数为， 即； 八年级成绩的众数为92， 即； 【小问2详解】 解：∵八年级成绩的方差为31.6，九年级成绩的方差为17.8， ∴八年级成绩的方差大于九年级成绩的方差， ∴九年级的成绩比较稳定，掌握知识较好； 九年级的三名同学用A、B、C表示，八年级2名同学同a、b表示， 画树状图为： 共有20种等可能的结果，其中选中的两名学生都是九年级学生的结果数为6， 所以选中的两名学生都是九年级学生的概率． 【小问3详解】 解：（人）， 所以估计两个年级参加竞赛活动的成绩不低于90分的共有900人． 22. 学校为了打造书香校园，准备分三月份和四月份两个批次分别购入A、B两款读物若干本．今年三月购入第一批读物，经了解，购买A款读物的数量为购买B款读物数量的4倍还多300本，且A、B两种读物的单价分别为15元和25元，共用去资金30000元． （1）求第一批购入A、B两款读物的数量； （2）今年四月份，恰逢世界读书月，全国各地书籍需求量增加，A款读物单价有所上涨．学校决定，若A款读物的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批A款读物的数量减少50本．因B款读物单价与第一批相同，所以B款读物的购入数量在第一批B款读物的基础上增加，最终花费的总资金比第一批增加了5000元，求A款读物的单价上涨了多少元？（涨价金额为正数） 【答案】（1）第一批购入A款读物1500本，B款读物300本 （2）A款读物的单价上涨了15元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，根据题意得到数量关系是解题的关键． （1）设第一批购入B款读物x本，则第一批购入A款读物本，利用总价单价数量，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即第一批购入B款读物的数量），再将其代入中，即可求出第一批购入A款读物的数量； （2）设A款读物的单价上涨了y元，则购入数量为本，利用总价单价数量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设第一批购入B款读物x本，则第一批购入A款读物本，根据题意，得 ， 解这个方程，得， ∴． 答：第一批购入A款读物1500本，B款读物300本； 【小问2详解】 解：设A款读物的单价上涨了y元，则购入数量为本，根据题意，得： ， 化简，得， 解这个方程，得（不符合题意，舍去）． 答：A款读物的单价上涨了15元． 23. 如图1，在小雅家的北偏东方向处有一家儿童乐园，北偏西的方向处有一家游乐场，在这两个地方都有最受欢迎的项目荡秋千．周末，小雅的爸爸妈妈带她到儿童乐园玩，如图2，正是小雅在儿童乐园里荡秋千的画面，点C处是秋千静止时的起始点，小雅在起点处两脚在地面上用力一蹬，秋千便开始旋转起来，当摆角恰为时，妈妈在点B处接住她后用力一推，然后爸爸在A处接住她，此时摆角为，已知妈妈接住小雅的位置点B距离地面高，秋千链子的长度为．（参考数据：）． （1）请问儿童乐园和游乐场之间的距离是多少米？ （2）请问爸爸是在距离地面多高的地方接住小雅的？（结果保留一位小数） 【答案】（1）儿童乐园和游乐场之间的距离是多少米米 （2）爸爸是在距离地面米高的地方接住小雅的 【解析】 【分析】本题主要考查方位角，勾股定理，锐角三角函数的计算，掌握锐角三角函数的计算是关键． （1）由题意得米，米，，根据勾股定理即可得到结论； （2）过点作于，过点作于，根据矩形的性质得到，解直角三角形即可得到结论． 【小问1详解】 解：由题意得米，米，， 在中，（米）． 答：儿童乐园和游乐场之间的距离是多少米米； 【小问2详解】 解：过点作于，过点作于， 则四边形是矩形， ∴， 在中，米， ， ∴（米）， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 答：爸爸是在距离地面米高的地方接住小雅的． 24. 如图1，在四边形中，，且，已知，且．动点P从点B起沿B→C→D→A的路线运动，到A点停止．设点P运动的路程为x，的面积为．已知反比例函数表达式为，平面直角坐标系中已画出函数的图象，如图所示． （1）请直接写出与x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）请在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）如图2，结合（2）中所画与的函数图象，直接估计出当时，x的取值范围：　 　．（结果精确到，误差不超过） 【答案】（1） （2） 根据（1）中的函数表达式，绘图如下： 由图象可知，的最大值为20，关于直线对称等（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】此题考查了动点问题的函数图象和性质，正确求出函数解析式是关键． （1）根据P所在线段不同分类讨论，由三角形的面积公式得出的函数表达式即可； （2）采用描点法画出的图象，根据图象写出一条性质即可； （3）根据图象得出结论即可． 【小问1详解】 解：∵，且， ∴四边形为等腰梯形， ∴， 过C作于E，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， 过P作于Q， 当P在上时，如图： 此时， ∵， ∴， ∴； 当P在上时，如图： ∵， ∴， ∴， 此时； 当P在上时，如图： 此时，， ∵， ∴， ∴， ∴ 综上所述，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由图象可知，时，或， ∴当时，． 故答案为：． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）交轴于点，点（在的左侧），与轴交于点，连接，，． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线下方抛物线上的一动点，过点作交轴于，作轴，垂足为，交于点．点和点分别是轴，轴上的动点，连接，，，当取得最大值时，求的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线′经过的中点，且与直线相交于另一点，点为新抛物线上的一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）抛物线的表达式为： （2）PM+MN+PN的最小值是 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据的正切可得的长，得点的坐标，最后用待定系数法即可求解； （2）根据点和点的坐标，确定直线的解析式，设点的坐标为，则的坐标为，表示和的长，代入中计算并配方即可解答； （3）先根据点到的平移位置可得：原抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，则，联立方程组可得点的坐标为，分两种情况：①当点在的下方时，如图，过点作交于，过点作轴于，过点作轴于，证明（），即可解答；②当点在的上方时，如图，同理即可解答． 【小问1详解】 解：当时，， ， ， ， ，即， ， ， 将和代入抛物线中得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：，，， ， 如图1， ， ， 轴， ， ， ，即， ， 设直线的解析式为：， ， 解得 直线的解析式为：， 设点的坐标为，则的坐标为， ，， ， ， 当时，有最大值， 此时点的坐标为， 如图2，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点， 由勾股定理得：， 连接，，， ， 的最小值是； 【小问3详解】 解：； ，， 的中点的坐标为， 将抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过的中点， 根据点的坐标到点的坐标为可知：原抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位， ， ， 解得：，， 当时，， ， 分两种情况： ①当点在的下方时，如图3，过点作交于，过点作轴于，过点作轴于， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，， ， 设的解析式为，则 ， 解得， ∴的解析式为：， ， 解得：， ； ②当点在的上方时，如图4，过点作交于，过点作轴于，过点作轴于， 同理得：， ，， ， 同①得的解析式为：， ， 解得：，， ； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数最值、利用对称求最短路径、全等三角形的判定与性质等知识点．熟练掌握二次函数的性质、几何图形的性质及变换，灵活运用相似、全等三角形等知识是解题的关键． 26. 如图，为等边三角形，D是同一平面内任意一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，在线段上取一点F，连接，使得平分，与交于点G． （1）如图1，若A、C、D三点共线，且，，求线段的长； （2）如图2，若A、C、D三点共线，且F为中点，在线段上取点P使得，连接，请用等式表示线段之间的数量关系，并证明； （3）如图3，若，请直接写出当线段取最大值时的面积． 【答案】（1） （2）； 证明如下： 连接，延长至点M，连接，使， 由题意可知，， ∴是等边三角形， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴设，则， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，且F为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）作，则根据角平分线的性质可得，利用特殊角求出的长度，进而得到的长度，再利用特殊角在中求出长度即可； （2）连接，延长至点M，连接，使，先证，得，再证出是得等腰三角形，所以，最后证，即可得解； （3）由，，可以识别出点F的轨迹为以C为圆心，半径的圆，画出图形，求解即可． 【小问1详解】 解：如图，作，H为垂足． ∵平分，且， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴ 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，， ∵， ∴如图，点F的轨迹为以C为圆心，为半径的圆， ∴当A、C、F三点共线时，最大，此时为直径， 如图， ∵AF为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了圆周角定理、解直角三角形、全等三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的性质定理、等边三角形的判定和性质等知识，综合性较强，难度较大，熟练掌握解直角三角形、全等三角形的判定和性质是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $