精品解析：江苏省扬州市翠岗中学2024-2025学年上学期九年级数学期中试卷

2024-2025学年第一学期期中测试 九年级数学试卷 一．选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径是5，，则点P与的位置关系是（　　） A. 点P在圆上 B. 点P在圆内 C. 点P在圆外 D. 不能确定 3. 已知，则的值等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知方程的一个根是6，则它的另一个根是（ ） A. B. 1 C. D. 3 5. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 某服装品牌经销商今年推出新品销售，1月份销货量为5万件，由于质量过硬，市场反馈良好，销售量逐月增加，第一季度共销售23.75万件，已知2，3两个月份销售量的月增长率相同，设2月份销售是的月增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点D、E、F分别在、、上，，，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，的半径为5，弦的长为8，将劣弧沿直线折叠后的图形如图，则点O到弧所在圆的切线长为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 二．填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 如果a是一元二次方程的根，则代数式的值为______． 10. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 11. 顶角为的等腰三角形为黄金三角形且满足底与腰的比等于黄金比，如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分），已知，则的长为______． 12. 如图，在⊙O中， =，则下列结论中：①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④=，正确的是______填序号． 13. 如图，在扇形中，，，则的长为______． 14. 如图，在中，，若，，则与的面积之比为______． 15. 《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽：有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺：斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是__________尺． 16. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为9cm，圆锥的底面圆的半径r为3cm，则扇形的圆心角为__°． 17. 如图，中，点在上，，若，，则线段的长为___________． 18. 如图，点、，直线与轴、轴分别交于点，点是平面内一动点，且，则面积的最大值是______． 三．解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 实践与操作：如图，在平面直角坐标系中，点、点的坐标分别为，． （1）以点为位似中心，相似比为，在x轴的上方画出放大后的． （2）的坐标为 ． （3）若点是内任意一点，则位似变换后对应点坐标为 ． 21. 如图，点分别在正方形的边，上，连接和，，，．求证：． 22. 已知中，．以为直径的与的交点分别为D，E． （1）如图①，求的大小： （2）如图②，当时，求的大小． 23. 为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用的篱笆围成．生态园的面积能否为？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由． 24. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°． （1）请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长． 25. 某商店经销一种销售成本为每千克40元的产品，根据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出，销售单价每涨1元，月销售量就减少，针对这种情况，请解答以下问题： （1）当销售单价定为每千克55元时，销售量为 ，月销售利润为 元； （2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？ 26. 如图，为的直径，过圆上一点D作的切线交的延长线于点C，过点O作交于点E，连接． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的半径及的长． 27. 【初步感知】如图1，点A，B，P均在上，若，则锐角的大小为 度； 【深入探究】如图2，小明遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A，C重合），连接．求证：；小明发现，延长至点E，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．请根据小明的分析思路完成证明过程． 【启发应用】如图3，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连接，若，则的值为 ． 28. 【基础巩固】（1）如图1，在中，是边上一点，是边上一点，．求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形中，点是边的中点，，若，，求线段的长． 【拓展提高】（3）在中，，以为直角顶点作等腰直角三角形（其中），点在上，点在上．若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期中测试 九年级数学试卷 一．选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义（整式方程、一个未知数、未知数最高次数为2）逐一分析选项． 【详解】解：A. 含有两个未知数，不是一元二次方程，排除； B. 右边为分式，不是整式方程，排除； C. 整理为 ，是只含未知数的整式方程，且最高次数为2，符合定义； D. 化简后为 ，是一元一次方程，排除； 故选：C． 2. 已知的半径是5，，则点P与的位置关系是（　　） A. 点P在圆上 B. 点P在圆内 C. 点P在圆外 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此求解即可． 【详解】解：∵半径是5，， ∴， ∴点P在圆外， 故选：C． 3. 已知，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质，先根据，化简得，再代入，即可作答． 【详解】解：因为， 所以， 则， 故选：D． 4. 已知方程的一个根是6，则它的另一个根是（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知：若是一元二次方程的两个根，则，．根据一元二次方程根与系数的关系可得出，计算即可． 【详解】解：设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系可得：， 解得：， 则它的另一个根是． 故选：A． 5. 如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，掌握圆的内接四边形对角互补是解题的关键．根据圆的内接四边形对角互补得到，根据圆周角定理即可得到的度数． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：B． 6. 某服装品牌经销商今年推出新品销售，1月份销货量为5万件，由于质量过硬，市场反馈良好，销售量逐月增加，第一季度共销售23.75万件，已知2，3两个月份销售量的月增长率相同，设2月份销售是的月增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，由1月份的销售量及2、3两个月份销售量的月增长率，可得出2、3两个月份的销售量，结合一季度共销售23.75万件，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】1月份销售量为5万件，2，3两个月份销售量的月增长率均为 月份销售量为万件，3月份销售量为万件． 根据题意，得， 故选：D． 7. 如图，在中，点D、E、F分别在、、上，，，则下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，由平行线分线段成比例及相似三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：， ，，故A正确，D错误； ， ，故B正确； ，， ， ， ，故C正确； 故选：D． 8. 如图，的半径为5，弦的长为8，将劣弧沿直线折叠后的图形如图，则点O到弧所在圆的切线长为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了翻转变换、垂径定理及圆的切线的性质，难度不大，找出翻转过后的弧所在圆的圆心是解题关键．根据题意先画出图形，可知翻转过后的弧所在的圆和全等，且两个圆的圆心相距为6，又已知圆的半径，故根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解解：如图所示： 根据题意：，点为翻转过后的弧所在圆的圆心， 则有， 又∵，是的切线， ∴． 故选：B． 二．填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 如果a是一元二次方程的根，则代数式的值为______． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．先把代入，得，再整体代入计算即可作答． 【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 则． 故答案为：2025． 10. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得． 故答案为：9． 11. 顶角为的等腰三角形为黄金三角形且满足底与腰的比等于黄金比，如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分），已知，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金三角形、正五边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识．先根据多边形内角和定理与正多边形的性质得出为黄金三角形，再根据黄金三角形的底与腰之比求出，即可得出结果． 【详解】解：∵如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分）， ∴设， ∵黄金三角形的底与腰之比为， 由题意得， 同理，， ∵， ∴与全等， ∴， ∴是黄金三角形， ∴， 即， 解得， 即， 五边形是正五边形， ，正五边形内角和， ， ∴， ， 则， ， 则， ∴为黄金三角形， 黄金三角形的底与腰之比为， 即，， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在⊙O中， =，则下列结论中：①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④=，正确的是______填序号． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可． 【详解】解：∵在⊙O中，=， ∴AB=CD，故①正确； ∵BC为公共弧， ∴=，故④正确； ∴AC=BD，故②正确； ∴∠AOC=∠BOD，故③正确． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了弧，弦、圆心角之间的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等以及推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 13. 如图，在扇形中，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了弧长公式，把已知数据代入弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意得的长为 ， 故答案为： 14. 如图，在中，，若，，则与的面积之比为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质．先判定，然后求得相似比，最后根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15. 《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽：有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺：斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是__________尺． 【答案】8 【解析】 【分析】设门高尺，则竿长为尺，门的对角线长为尺，门宽为尺，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：设门高尺，依题意，竿长为尺，门的对角线长为尺，门宽为尺， ∴， 解得：或（舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，根据题意建立方程是解题的关键． 16. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为9cm，圆锥的底面圆的半径r为3cm，则扇形的圆心角为__°． 【答案】120 【解析】 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图的圆心角，根据圆锥的底面周长等于扇形的弧长，列出等式，求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：120． 17. 如图，中，点在上，，若，，则线段的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】延长到，使，连接，可得等腰和等腰，，再证明，利用相似三角形对应边成比例即可求出． 【详解】解：如图所示，延长到，使，连接， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质和相似三角形的判定和性质，利用已知二倍角关系①构造等腰和②构造等腰是解题关键． 18. 如图，点、，直线与轴、轴分别交于点，点是平面内一动点，且，则面积的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先判断点的运动轨迹，因为度数不变，对边长度不变，所以点在的外接圆圆周上运动，从而确定点到的最大距离，过点M作交于点F，交于点H，过点B作于点G，求出的长，最后根据三角形面积公式求得即可． 【详解】解：直线与轴、轴分别交于点、， ， ， ，， 要使面积的最大值，只需点到距离最大， 如图，作的外接圆圆P， 因为度数不变，对边长度不变， 所以点在圆周上运动， 过点M作交于点F，交于点H，过点B作于点G， 根据点圆最值，点到距离最大值为的长度， 点、， ，， ， ， ， ， ∴， ， ∴， ∴，， ， 是等边三角形， ，， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴, 面积的最大值是. 故答案为:． 【点睛】本题考查了“定弦定角”隐形圆模型，等边三角形的性质，圆周角定理，线圆最值，垂径定理，找到点的运动轨迹及到的距离最大时的线段是解题的关键． 三．解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键． （1）先移项，可得，可以通过配方法求出即可； （2）先整体移项，然后分解因式，即方程左边可得出两个一元一次方程相乘，求出方程的解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 或 20. 实践与操作：如图，在平面直角坐标系中，点、点的坐标分别为，． （1）以点为位似中心，相似比为，在x轴的上方画出放大后的． （2）的坐标为 ． （3）若点是内任意一点，则位似变换后对应点坐标为 ． 【答案】（1） 如图所示： （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查作图—位似变换、位似图形的性质，熟练掌握位似图形的作法是解答本题的关键． （1）根据位似变换的知识作图即可； （2）根据（1）中的图形，即可得出的坐标； （3）位似变换后的内任意一点根据相似比，横纵坐标各扩大3倍． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可知，的坐标为． 故答案为：． 【小问3详解】 解：相似比为， 位似变换后的内任意一点的横纵坐标各扩大3倍， 是位似变换后对应点坐标为 21. 如图，点分别在正方形的边，上，连接和，，，．求证：． 【答案】 证明：四边形是正方形，， ，， ， ， ， ， ， ， △△． 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相关性质和判定是解题的关键．根据已知条件求出，再证明，又由正方形的性质，得，根据“两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似”即可证明出结论． 【详解】略 22. 已知中，．以为直径的与的交点分别为D，E． （1）如图①，求的大小： （2）如图②，当时，求的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，“弧，弦，圆周角”之间的关系，直径所对的圆周角是直角． （1）根据圆内接四边形对角互补得出，进而得出答案； （2）连接，根据“弧，弦，圆周角”的关系得出，再根据“直径所对的圆周角是直角”得出，最后根据直角三角形的两个锐角互余得出答案． 【小问1详解】 解：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴． ∵是的直径， ∴． 在中，． 23. 为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用的篱笆围成．生态园的面积能否为？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由． 【答案】的长为米或米 【解析】 【分析】设米，则米，根据矩形生态园面积为，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设米，则米，根据题意得， ， 解得：， 答：的长为米或米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 24. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°． （1）请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长． 【答案】（1） 如图，切线AD即为所求； （2）2 【解析】 【分析】（1）连接OA，过点A作AD⊥AO即可； （2）连接OB，OC．过点O作于点H，先证明∠ACB＝75°，再利用三角形内角和定理求出∠CAB，推出∠BOC＝120°，求出CH可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图：连接OB，OC．过点O作于点H， ∵AD是切线， ∴OA⊥AD， ∴∠OAD＝90°， ∵∠DAB＝75°， ∴∠OAB＝15°， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA＝15°， ∴∠BOA＝150°， ∴∠BCA＝∠AOB＝75°， ∵∠ABC＝45°， ∴∠BAC＝180°﹣45°﹣75°＝60°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝120°， ∵OB＝OC＝2， ∴∠BCO＝∠CBO＝30°， ∵OH⊥BC， ∴CH＝BH＝OC•cos30°＝， ∴BC＝2． 【点睛】本题主要考查了作圆的 、三角形的外接圆、切线的判定和性质、解直角三角形等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 25. 某商店经销一种销售成本为每千克40元的产品，根据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出，销售单价每涨1元，月销售量就减少，针对这种情况，请解答以下问题： （1）当销售单价定为每千克55元时，销售量为 ，月销售利润为 元； （2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？ 【答案】（1）450；6750 （2）80元 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，与实际结合的比较紧密，解答本题的关键是仔细审题，得出等量关系，有一定的难度． （1）根据单价每涨1元，月销售量就减少10千克可得出销量，继而能得出销售利润． （2）销售成本不超过10000元，即进货不超过．根据利润表达式求出当利润是8000时的售价，从而计算销售量，与进货量比较得结论． 【小问1详解】 解：当销售单价定为每千克55元时， 月销售量：（千克）， 利润：（元）； 【小问2详解】 解：由题意产品进货不超过， 设定价为元， 则， 解得：，， 当时，进货，符合题意， 当时，进货，舍去． 答：销售单价应为80元． 26. 如图，为的直径，过圆上一点D作的切线交的延长线于点C，过点O作交于点E，连接． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的半径及的长． 【答案】（1） 证明：与相切于点D， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 直线是的切线； （2）的半径为3；的长为6 【解析】 【分析】（1）由切线的性质可得，然后利用平行线和等腰三角形的性质可得平方，从而可得，进而可证，最后利用全等三角形的性质即可解答； （2）设的半径为r，在中，利用勾股定理求出r的长，再利用（1）的结论可得，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 设的半径为r， 在中，， ， ， ， ， 由（1）得， ， 在中，， ， 解得． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及勾股定理是解题的关键． 27. 【初步感知】如图1，点A，B，P均在上，若，则锐角的大小为 度； 【深入探究】如图2，小明遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A，C重合），连接．求证：；小明发现，延长至点E，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证．请根据小明的分析思路完成证明过程． 【启发应用】如图3，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连接，若，则的值为 ． 【答案】【初步感知】45； 【深入探究】证明：如图，延长至点E，使，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 【启发应用】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 初步感知：根据圆周角定理即可得出答案； 深入探究：先构造出，得出，进而得出是等边三角形，即可得出结论； 启发应用：先构造出，进而判断出，进而得出是等腰直角三角形，即可得出结论． 【详解】解：初步感知：∵， ∴， 故答案为：45； 深入探究：略 启发应用：如图，延长至点G，使，连接． ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 28. 【基础巩固】（1）如图1，在中，是边上一点，是边上一点，．求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在四边形中，点是边的中点，，若，，求线段的长． 【拓展提高】（3）在中，，以为直角顶点作等腰直角三角形（其中），点在上，点在上．若，求的长． 【答案】 （1）证明：，， ， ， ∴， ， ， ， ； （2）5； （3）10 【解析】 【分析】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握一线三等角基本几何模型是解题的关键． （1）利用一线三等角模型，可说明，得； （2）如图2中，延长交的延长线于点．证明，推出，求出，，再利用勾股定理求解； （3）过点作与交于点，使，由（1）同理得，可知，再利用，可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图2中，延长交的延长线于点． ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ； （3）解：如图，过点作与交于点，使， ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，（舍去） ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $