精品解析：山西省临汾市第一中学2024-2025学年高二下学期期末数学试题

2024-2025学年度高二年级第二学期期末考试 数学试题（卷） （考试时间120分钟 满分150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量的夹角为，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，已知，，，则（ ） A. 36 B. 18 C. D. 5. 已知函数是定义上的奇函数，满足，且当时，，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 6. 已知等比数列的前n项和为，，，则其公比（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 甲､乙､丙､丁4人站到共有4级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是（ ） A 204 B. 84 C. 66 D. 60 8. 已知，若有唯一解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. (多选)若函数对任意有，则 等于（ ） A －3 B. －1 C. 0 D. 3 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 不等式的解集为 B. 函数在单调递减，在单调递增 C. 函数在定义域上有且仅有一个零点 D. 若关于的方程有解，则实数的取值范围是 11. 如图，点是棱长为3的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 若点满足，则动点的轨迹长度为 B. 当直线与所成角为时，点的轨迹长度为 C. 三棱锥体积的最大值为 D. 当在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若，则__________. 13. 已知件次品和件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出件次品或者检测出件正品时检测结束，则恰好检测四次停止的概率为_____（用数字作答）． 14. 已知实数满足，则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是公比为2的等比数列，数列是等差数列，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 如图，已知平面平面，，，． （1）求证：； （2）若，点在线段上，且三棱锥的体积为，求二面角的余弦值． 17. 等高堆积条形图是一种数据可视化方式，能够清晰呈现多个变量的数据并进行比较，这种类型图表将多个条形图堆积在一起并用颜色进行区分，形成一条整体条形图，每个条形图的高度表示对应变量的值，不同颜色表示不同变量，能够更好的理解每个变量在总体中的占比.北方的冬天室外温度极低，如果轻薄、保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，那么可爱的医务工作者们在冬季行动会更方便.石墨烯发热膜的制作如下：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜.从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有材料、材料可供选择，研究人员对附着在材料、材料上的石墨各做了50次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图. 材料 材料 合计 试验成功 试验失败 合计 单位：次 （1）根据等高堆积条形图，填写列联表，并判断是否有的把握认为试验的结果与材料有关； （2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV胶层；②石墨烯层；③表面封装层.第一、二环节生产合格的概率均为，第三环节生产合格的概率为，且各生产环节相互独立.已知生产1吨石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，第三环节的修复费用为4000元，其余环节修复费用均为2000元.试问如何定价（单位：万元），才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利不低于1万元的目标？（精确到0.001） 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10828 18. 已知函数. （1）求函数在上的最大值； （2）若函数的最小值为1，求实数的值； （3）求证：. 19. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）斜率为的直线与椭圆交于两点，记以为直径的圆的面积分别为，当为何值时，为定值． （3）在（2）的条件下，设不过椭圆中心和顶点，且与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，求周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度高二年级第二学期期末考试 数学试题（卷） （考试时间120分钟 满分150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解一元二次不等式，再求交集. 【详解】因为，所以． 故选：C 2. 若，则在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的四则运算求出复数，再由复数的几何意义即可判断. 详解】由题意得， 则在复平面内对应的点在第一象限. 故选：A. 3. 已知向量的夹角为，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画图，设向量，则，根据平面向量的夹角的定义求与的夹角. 【详解】如图，设向量，则， 因为，所以是顶角为的等腰三角形，底角为，故与的夹角为. 故选：D. 4. 在中，已知，，，则（ ） A. 36 B. 18 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理求出，然后由向量数量积的定义求解即可. 【详解】在中，已知，，， 由余弦定理得 . 故选：D． 5. 已知函数是定义上的奇函数，满足，且当时，，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得的周期为，且，利用函数的周期将转化为求，即可得答案； 【详解】，∴，∴的周期为， ， 函数是定义上的奇函数，， ， 故选：A. 【点睛】本题考查函数的周期性和奇函数的性质，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 6. 已知等比数列的前n项和为，，，则其公比（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】首先可以得出，其次利用等比数列通项公式以及它的前n项和为的基本量的运算即可求解. 【详解】注意到，，首先，（否则，矛盾）， 其次，， 两式相比得，解得. 故选：C. 7. 甲､乙､丙､丁4人站到共有4级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是（ ） A. 204 B. 84 C. 66 D. 60 【答案】A 【解析】 【分析】分三种情况讨论，第一类，甲､乙､丙､丁各自站在一个台阶上，第二类，有2人站在同一台阶上，剩余2人站在另一个台阶上，第三类，有2人站在同一台阶上，剩余2人各自站在一个台阶上，按照分步乘法计数原理及分类加法计数原理计算可得； 【详解】解：因为甲､乙､丙､丁4人站到共有4级的台阶上，且每级台阶最多站2人，所以分为3类： 第一类，甲､乙､丙､丁各自站在一个台阶上，共有：种站法； 第二类，有2人站在同一台阶上，剩余2人站在另一个台阶上，共有：种站法； 第三类，有2人站在同一台阶上，剩余2人各自站在一个台阶上，共有： 所以每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置的不同的站法总数是. 故选：A 8. 已知，若有唯一解，则取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用偶函数性质，只需要研究的零点个数，然后用换元法构造新函数进行求导证明单调性，借助端点值效应，，所以可证明存在唯一零点的参数取值范围. 【详解】，， 为偶函数， ，设，， 则在有唯一零点．，当且仅当取等号． 若,时，，则在单调递增， 又因为，所以在有唯一零点 若,时，令得，即， 解得或， 其中，满足要求， ， 其中，故在时恒成立， 所以，即，不合要求， 当时，，则在单调递减， 所以，时，， 故在有1个零点． 又，所以在上有两个零点，不满足题意， 故的取值范围为． 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. (多选)若函数对任意有，则 等于（ ） A. －3 B. －1 C. 0 D. 3 【答案】AD 【解析】 【分析】由，得到函数的图象关于直线对称，结合三角函数对称轴的性质，即可求解. 【详解】由函数对任意x都有， 可得函数的图象关于直线对称， 所以当时，函数取值最大值或最小值，即. 故选：AD 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 不等式的解集为 B. 函数在单调递减，在单调递增 C. 函数在定义域上有且仅有一个零点 D. 若关于的方程有解，则实数的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】解分式不等式验证选项A；利用导数求函数单调区间验证选项B；解方程得函数的零点验证选项C；通过函数值域求实数的取值范围验证选项D. 【详解】对于A，由，得，因为， 所以，解得，所以不等式的解集为，所以A正确； 对于B，的定义域为，由，得， 令，得或，令，得或， 所以在和上递增，在和上递减，所以B错误； 对于C，令，得，所以在定义域内有且只有一个零点，所以C正确； 对于D，由选项B可知在和上递增，在和上递减， 因，且当从1的左侧趋近于1时，，当从1的右侧趋近于1时，，所以的值域为， 所以若关于的方程有解，则实数的取值范围是，所以D错误. 故选：AC 11. 如图，点是棱长为3的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 若点满足，则动点的轨迹长度为 B. 当直线与所成的角为时，点的轨迹长度为 C. 三棱锥体积的最大值为 D. 当在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用线面垂直的性质定理可得动点的轨迹为矩形，求其周长判断A；连接，以为圆心，为半径画弧，易知当在，上时直线与所成的角为，求其轨迹长判断B；取特殊位置排除C；取的中点分别为，根据面面平行的判定定理可求出点在底面上的轨迹为线段，进而求长度的最大值判断D. 【详解】选项A：因为在正方体中，平面，又平面， 所以动点的轨迹为矩形，动点的轨迹长度为矩形的周长，即为，A说法错误； 选项B：连接，以为圆心，为半径画弧，如图所示， 当点在弧上时，因为直角三角形中，所以与所成的角为， 则当点在线段和弧上时，直线与所成的角为， 又，，， 所以点的轨迹长度为，B说法正确； 选项C：当点在平面时，， 易知此时面积最大值为，所以此时三棱锥体积的最大值为，C说法错误； 选项D：取的中点分别为， 连接，如图所示， 因为，平面，平面，所以平面， ，平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又因为，，， 所以平面和平面是同一个平面，则点的轨迹为线段， 在中，，， 则， 所以是以为直角的直角三角形， 所以，即线段长度最大值为，D说法正确； 故选：BD 【点睛】方法点睛：立体几何中动点轨迹问题经常利用不动点的位置和动点位置关系，利用线面、面面平行或垂直的判定定理和性质定理，找出动点的轨迹进而计算出其轨迹长度. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式分类讨论求解即可. 【详解】由题意知，当时，，解得； 当时，，解得，与矛盾，此时无解. 所以 故答案为：2 13. 已知件次品和件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出件次品或者检测出件正品时检测结束，则恰好检测四次停止的概率为_____（用数字作答）． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可知，2次检测结束的概率为， 3次检测结束的概率为， 则恰好检测四次停止的概率为. 14. 已知实数满足，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】讨论范围得到图象，根据图象考虑直线与椭圆相切和直线与渐近线重合两种情况，分别计算得到范围. 【详解】因为实数满足， 所以当时，， 其图象是位于第一象限，焦点在轴上的双曲线的一部分（含点， 当时，其图象是位于第四象限，焦点在轴上的椭圆的一部分， 当时，其图象不存在， 当时，， 其图象是位于第三象限，焦点在轴上的双曲线的一部分， 作出椭圆和双曲线的图象，其中图象如下： 任意一点到直线的距离 所以， 结合图象知的范围就是图象上一点到直线距离范围的2倍， 双曲线其中一条渐近线与直线平行， 通过图形可得当曲线上一点位于时，取得最小值，无最大值， 小于两平行线与之间的距离3的2倍， 设与其图像在第三象限相切于点， 联立，得， 因为或（舍去）， 所以直线与直线的距离为， 此时， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆和双曲线的综合应用，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中画出图像，根据图像解决最值问题是解题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是公比为2的等比数列，数列是等差数列，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1），. （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差、等比数列公式法求出通项； （2）利用等比数列前项和公式以及裂项相消法求出结果. 【小问1详解】 设数列的公差为， 则解得 所以，. 【小问2详解】 ， 则 . 16. 如图，已知平面平面，，，． （1）求证：； （2）若，点在线段上，且三棱锥的体积为，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题，根据直角梯形的结构特征，结合勾股定理逆定理可得，再根据面面垂直的性质可得平面，进而得到 （2）先证明平面，再以为坐标原点建立空间直角坐标系，结合三棱锥的体积为得到相关点的坐标，进而得到相关向量的坐标，再根据向量的夹角公式可得二面角的余弦值 【小问1详解】 ∵，，∴四边形为直角梯形， 又，，易得，． ∴，∴， ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面，又平面，∴． 【小问2详解】 ∵，平面平面，平面平面，∴平面，故可以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， ∵三棱锥的体积为，∴， 即，解得．∴，，，， ∴，，，设平面的法向量为， 则，得，令，得，∴， 易知平面的一个法向量为， ∴， 故二面角的余弦值为． 17. 等高堆积条形图是一种数据可视化方式，能够清晰呈现多个变量的数据并进行比较，这种类型图表将多个条形图堆积在一起并用颜色进行区分，形成一条整体条形图，每个条形图的高度表示对应变量的值，不同颜色表示不同变量，能够更好的理解每个变量在总体中的占比.北方的冬天室外温度极低，如果轻薄、保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，那么可爱的医务工作者们在冬季行动会更方便.石墨烯发热膜的制作如下：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜.从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有材料、材料可供选择，研究人员对附着在材料、材料上的石墨各做了50次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图. 材料 材料 合计 试验成功 试验失败 合计 单位：次 （1）根据等高堆积条形图，填写列联表，并判断是否有的把握认为试验的结果与材料有关； （2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV胶层；②石墨烯层；③表面封装层.第一、二环节生产合格的概率均为，第三环节生产合格的概率为，且各生产环节相互独立.已知生产1吨石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，第三环节的修复费用为4000元，其余环节修复费用均为2000元.试问如何定价（单位：万元），才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利不低于1万元的目标？（精确到0.001） 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，有的把握认为试验的结果与材料有关 （2）石墨烯发热膜的定价至少为2.233万元/吨，才能实现预期的利润目标. 【解析】 【分析】（1）根据所给等高堆积条形图，得到列联表，计算出卡方，即可判断； （2）依题意可得的可能取值为，，，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望，即可得解. 【小问1详解】 根据题中所给等高堆积条形图，得列联表如下： 材料 材料 合计 试验成功 45 30 75 试验失败 5 20 25 合计 50 50 100 计算可得， 依据的独立性检验，有的把握认为试验的结果与材料有关. 【小问2详解】 设生产1吨石墨烯发热膜所需的修复费用为万元， 易知的可能取值为，，，，， ，， ，， 则的分布列为 0 0.2 0.4 0.6 08 修复费用的期望， 所以石墨烯发热膜的定价至少为万元/吨，才能实现预期的利润目标. 18. 已知函数. （1）求函数在上的最大值； （2）若函数的最小值为1，求实数的值； （3）求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，得出函数的单调区间，进而求得函数的最大值； （2）根据题意，得到，求得，分类讨论，得到函数的单调性和最小值； （3）根据题意，转化证明成立，由（2）知，当时，求得，令，求得，得到单调递增，得出，求得，即可得证. 【小问1详解】 解：由，可得， 令，可得，因为，所以或， 当时，，当上，； 当 上，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的最大值为. 【小问2详解】 解：由函数，可得， 则， 当时，，所以在上单调递减，没有最小值； 当时，令，可得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为，则. 【小问3详解】 证明：根据题意，要证成立，即证成立， 由（2）知当时，， 所以，即，所以， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，即成立，所以原不等式成立. 19. 已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）斜率为的直线与椭圆交于两点，记以为直径的圆的面积分别为，当为何值时，为定值． （3）在（2）的条件下，设不过椭圆中心和顶点，且与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，求周长的最小值． 【答案】（1） （2）时，为定值 （3） 【解析】 分析】（1）由题意，得，进而解出即可求解； （2）设直线l的方程为，，，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示出，进而求解即可； （3）结合（2）求得，，，表示出的周长，再结合基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由题意，得，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设直线l的方程为，，， 联立，消去y整理得， 则， 且，， 又，， 则 ， 则，即时，此时为定值. 【小问3详解】 由（2）知，，，直线l的方程为， 且，，，， 则，， 则直线的方程为， 令，得 ， 即，则，，， 则周长为， 当且仅当，即时等号成立， 则周长的最小值为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$