21.2.3因式分解法 同步练习题 2024-2025学年人教版九年级数学上册

2024-2025学年人教版九年级数学上册《21.2.3因式分解法》同步练习题（附答案） 一、单选题 1．一元二次方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 2．关于的方程的一个根为，则另一个根为（   ） A．2 B． C．1 D． 3．关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为（   ） A．或 B． C．或 D． 4．若则代数式的值为（    ） A．或3 B．1或 C． D．3 5．若矩形相邻两边的长为一元二次方程的两根，则该矩形的对角线长为（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 6．已知等腰三角形的底边长为8，腰长是一元二次方程的一根，则这个等腰三角形的周长是（    ） A．16 B．19 C．22 D．16或22 7．对于实数，，，，定义运算，我们把它叫做二阶行列式，例如：．若，则的值为（   ） A．或4 B．2或 C．2或4 D．或 二、填空题 8．一元二次方程的解是 ． 9．小楼在解一元二次方程时．只得出一个根是，则被他漏掉的一个根是 ． 10．若代数式的值与代数式的值相等，则的值为 ． 11．已知的两直角边长为a、b，且满足，则该三角形的斜边长为 ． 12．若菱形的一条对角线长为3，另一条对角线的长是方程的一个根，则菱形的周长为 ． 13．已知一元二次方程的两根分别为，，则方程的两根分别为 ． 14．如图，将边长为7的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，当两个三角形重叠部分的面积为6时，的长为 ． 三、解答题 15．用因式分解法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 16．用适当的方法解下列方程 (1) (2) (3)． 17．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围． (2)当k取最大整数时，求方程的实数根． 18．将分解因式时，可依据口诀“首尾两项要分解，交叉之积的和在中央”，如图，所以．我们把这种因式分解的方法叫做“十字相乘法”，用式子表示为．依照上面的方法，解下列方程： (1) (2) 19．已知的两边的长是关于x的一元二次方程的两个根，第三边的长是10． (1)求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根． (2)当n为何值时，为等腰三角形？并求的周长． 20．利用数学的“转化”思想，我们可以将一些新的方程转化成我们熟悉的方程来解．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，分别解方程和，可得方程的解． (1)问题：方程的解是， ， ； (2)拓展：用“转化”思想求方程的解； (3)应用：如图，已知矩形草坪的长，宽，小华把一根长为的绳子的一端固定在点，沿草坪边沿，走到点处，把长绳段拉直并固定在点，然后沿草坪边沿、走到点处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点．求的长． 参考答案 1．解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 故选：C． 2．解：∵关于的方程的一个根为， ， 解得：， ∴关于的方程为， 解得：， ∴另一个根为． 故选：D． 3．解：关于的一元二次方程有一个根为， ，且， 解得：， 故选：B． 4．解：设， 原方程变形为：， 或 解得或， ∵， ∴． 故选：D． 5．解：方程变形为 ， 或， 解得，． 矩形相邻两边的长为一元二次方程的两根， 则矩形的长为3或4，宽为4和3， 矩形的对角线的长为． 故选：C． 6．解：∵， ∴， 解得， ∵等腰三角形的底边长为8，腰长是一元二次方程的一根，且， ∴腰长是， ∴这个等腰三角形的周长是， 故选：C． 7．解：∵ ∴ ∴ ∴ 解得：， 故选：A． 8．解：原方程化为， ∴， ∴或， ∴，， 故答案为：，． 9．解：∵， ∴， ∴或， 解得：，， ∴被他漏掉的一个根是； 故答案为： 10．解：根据题意得： 解得：， 故答案为：或 11．解：， ， 或 （舍去）， ， 在中， ， ， （负值舍去）， 该三角形的斜边长为． 故答案为：． 12．解：解方程得：或4， ∵是菱形， ∴， 当时，菱形的边长． ∴菱形的周长是． 当时，菱形的边长． ∴菱形的周长是．故答案为：或． 13．解：一元二次方程的两根分别为，， 方程中或， 解得：或， 方程的两根分别为或， 故答案为：或． 14．解：设，与相交于点， ∵是正方形剪开得到的， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵两个三角形重叠部分的面积为6， ∴，整理得，， 解得：， 即移动的距离等于1或6． 故答案是：1或6． 15． （1）解：， ， 或， ，； （2）解：， ， ，即， 或， ，； （3）解：， ， ， 或， ，； （4）解：， ， ， ． 16．（1）解：∵， ∴ ∴， 解得． （2）解：∵， ∴ ∴， 解得． （3）解：∵, 在这里， ∴， 解得，． 17．（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：； （2）解：由（1）知， ∴可取的最大整数值为， ∴此时原方程为， 解得，． 18．（1）解：， 或， 所以，； （2）， 或， 所以，． 19．（1）证明： ∴无论n为何值方程总有两个不等实根； （2）解：∵方程有两个不相等实根， 为等腰三角形， ∴方程的其中一根应为10， ∴， 即：， 解得， 当时，方程为， 解得， ∴三边为10，10，12，周长为， 当时，方程为， 解得， ∴三边为8，10，12，周长为． 20．（1）解：， ， ． 或或． ，，． 故答案为：，2． （2）解：， 方程的两边平方，得，即． ． 或． 或． 经检验，不是原方程的解． 原方程的解为． （3）解：设，则． 在和中， ，， ， ． 两边平方，得， ， 方程两边平方，得， 整理，得． ． ． 经检验，是原无理方程的解． ． 答：长为． 学科网（北京）股份有限公司 $$