15.3等腰三角形 同步练习 2025-2026学年人教版数学八年级上册

15.3等腰三角形 同步练习 2025-2026学年人教版数学八年级上册 学校:___________姓名:___________班级:___________学号:___________ 一、单选题 1．如图，从电线杆离地面4米处向地面拉一条钢索，如果这条钢索与地面的夹角为30度，那么钢索的长为（   ） A．4米 B．6米 C．米 D．8米 2．等腰三角形的周长是，其中一边长是，则该等腰三角形的腰长为（） A． B． C． D．或 3．已知等腰三角形的一个外角为，则它的底角度数为（  ） A． B． C．或 D．或 4．如图，在与中，点B在上，点D在上，且，若，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 5．如图，是等边的边上的中线，以点为圆心，长为半径画弧交的延长线于点，则等于（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，点E，F，D分别在边，，上，∥，∥，则四边形的周长是（   ） A．6 B．15 C．18 D．12 7．如图，将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上，其中折痕分别交边于点E，F，连接．若，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 8．如图，在中，，，点是线段的中点，将一块锐角为的直角三角板按如图放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与、重合，连接、，与交于点下列判断正确的有（ ） ①≌；②；③；④ A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题 9．若一个等腰三角形的顶角比底角的2倍还多，则这个等腰三角形顶角的度数为 ． 10．如图，在中，平分垂直平分，则的长为 ． 11．在中，已知，再添加一个条件 ，就能使是等边三角形．（只要写出一个符合题意的条件即可） 12．如图，中，，点D、E在直线上，，点F在上，，，则的长为 ． 13．如图，在中，，．点在线段上运动．连接，当是等腰三角形时，则中最大内角的度数是 ． 14．如图，在中，于点E，于点F，交于点H，且平分于点D，交于点G．以下结论：①；②；③；④．其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）． 15．如图，在中，，点是边上一动点（点不与点和点重合），将沿所在直线折叠得到，若是等腰三角形，则的度数为 ． 16．如图，在中，，面积是10．的垂直平分线分别交边于E、D两点，若点F为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为 ．    三、解答题 17．如图，，分别是的中线和角平分线，． (1)若的面积是20，且，求的长． (2)若，求的度数． 18．如图，等边三角形中，是中线，延长至使得，过点D作于．试说明：． 19．如图，点D,E在的边上，求证：．    20．某数学社团的同学在研究三角形问题时发现：等边三角形的三个内角都相等，反过来，三个内角都相等或者三条边都相等的三角形均为等边三角形．小明同学画了一个等边，并在边上取了一定点（不与顶点重合），现请你和他一起运用相关知识共同解决以下问题： 【问题发现】 （1）请在图1中画一个等边三角形（点在边上）； 【问题探究】 （2）如图2，点为边上任一个点，连接，以为边在其右侧作等边，连接，试探究线取、、之间的数量关系； 【问题解决】 （3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（点）北偏西的点处，舰艇乙在指挥中心正东方向的点处，两舰艇同时监测到敌舰在点处，且，，三点恰好构成一个等边三角形，若甲、乙两舰艇到指挥中心的距离之和为180海里，求此时敌舰距指挥中心的距离． 参考答案 1．【答案】D 【分析】根据30度角所对的直角边是斜边的一半，进行作答即可． 【详解】解：∵从电线杆离地面4米处向地面拉一条钢索，这条钢索与地面的夹角为30度， ∴钢索的长为米， 故选D 2．【答案】C 【分析】已知给出了其中一边长为，没有明确该边的名称，所以长为3的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论． 【详解】解：由题意知，应分两种情况： 当腰长为时，则另一腰也为，底边为， ∵， ∴边长分别为不能构成三角形； 当底边长为时，腰的长， ∵， ∴边长为，能构成三角形，则该等腰三角形的一腰长是． 故选C． 3．【答案】D 【分析】先确定一个内角为，根据的角是顶角和底角分类讨论，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个外角为， ∴其邻补角为， 即等腰三角形有一个内角为， 当为顶角时，则， 当为底角时，符合题意， ∴它的底角度数为或， 故选D． 4．【答案】C 【分析】先由三角形的外角求出，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出，再由邻补角即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选C． 5．【答案】A 【分析】由等边三角形的性质求解，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得答案． 【详解】解：∵是等边的边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选A 6．【答案】D 【分析】先根据等腰三角形的性质可得，再根据平行线的性质可得，，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，由此即可得． 【详解】解：， ， ，， ，， ， ， 则四边形的周长是， 故选D． 7．【答案】C 【分析】根据等边三角形折叠的性质及垂直的定义得出，结合图形及三角形外角的性质得出，利用折叠得出即可求解． 【详解】解：∵，将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上， ∴， ∴， ∵等边三角形， ∴， ∴， ∵将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上， ∴， 故选C． 8．【答案】C 【分析】利用为等腰直角三角形得到，，则，则可根据“”判断≌，从而对进行判断；再利用证明，则可对进行判断；由于，，而得到，所以，于是可对进行判断；由≌得到，由得到，所以，从而可对进行判断． 【详解】解：，点是线段的中点， ， 为等腰直角三角形， ，， ，， ， 在和中， ， ≌，所以正确； ， ， ，所以正确； ． 而， ， ， 而， ， ， ，所以错误； ≌， ， ， ， ， ，所以正确． 故选C． 9．【答案】/108度 【分析】设这个等腰三角形底角的度数为x，则顶角的度数为，然后根据三角形内角和定理列方程求出底角的度数，进而可得顶角的度数． 【详解】解：设这个等腰三角形底角的度数为x，则顶角的度数为， 由题意得：， 解得：， ∴这个等腰三角形顶角的度数为. 10．【答案】 【分析】由角平分线的定义可得，由线段垂直平分线的性质得到，则可得到，据此可得． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴. 11．【答案】（答案不唯一） 【分析】根据等边三角形的判定方法即可求解． 【详解】解：添加（答案不唯一）． ∵， ∴是等边三角形． 12．【答案】 【分析】由等边对等角得到，再由三角形外角的性质和已知条件可证明，则可证明得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴. 13．【答案】或或 【分析】分、、三种情况，分别运用等腰三角形的性质、三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 当时，则， ∴此时中最大内角是； 当时，， ∴此时中最大内角是； 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴此时中最大内角是， 综上所述：当是等腰三角形时，中最大内角的度数是或或． 14．【答案】①③④ 【分析】根据等腰直角三角形的判定与性质可得，由此即可判断①正确；利用证出，得到，，由线段的和差关系可判断④；根据，结合，得到，推出是等腰三角形，再根据，即可得到，即可判断③；可证明，则可证明不全等，据此可判断②． 【详解】解：，， ∴是等腰直角三角形， ，结论①正确； ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ∴，故④正确； 平分， ， ， ， ， ， ，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴不全等， ∴，故②错误. 15．【答案】或 【分析】根据等边对等角的性质可得，进而得到，分三种情况讨论，利用折叠的性质和等腰三角形的性质分别求解即可． 【详解】解： ， ， ， 由折叠的性质可知，，，， ①如图，当时，则， ， ； ②如图，当时，则， ， ； ③当时，则， 点不与点和点重合， 此种情况不存在， 综上可知，的度数为或. 16．【答案】7 【分析】由垂直平分线的性质可得与关于对称，连接，，当、、三点共线时，周长最小为的长． 【详解】解：是线段的垂直平分线， 与关于对称， 连接，   ， 周长， 当、、三点共线时，周长最小， 为边的中点，， ， ， ， ， 周长， 周长的最小值为7 17．【答案】(1)10； (2). 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得，三角形的面积公式即可求解； （2）先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，．再利用角平分线定义即可得出． 【详解】（1）解：是的中线，， ， 的面积是20，且， ， ， ； （2）是的中线，，， ，， 是的角平分线， ． 18．【答案】见详解 【分析】首先根据三线合一性质得到，然后推出，然后利用三角形外角的性质和等边对等角得到，得到，然后利用三线合一证明即可． 【详解】证明：为等边三角形，是中线， ， 又， ， ， ∵， ， ，为等边三角形， ， ∴， ， ， ． 19．【答案】见详解 【分析】证即可求证． 【详解】证明：∵， ∴, ∵， ∴, ∴， ∴. 20．【答案】（1）见详解；（2）．理由见详解；（3）此时敌舰距指挥中心的距离为180海里． 【分析】1）在上截取，连接，则三角形为等边三角形； （2）如图2，在上截取，连结，运用等边三角形性质即可证明，再利用全等三角形性质即可得出结论； （3）由题意得，，利用三角形的外角性质结合等角对等边求得，推出，由（2）的结论得，可求出答案． 【详解】解：（1）等边三角形如图1所示， （2）．理由如下： 如图2，在上截取，连结， ∵等边， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵以为边在其右侧作等边， ∴，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴； （3）如图，由题意得，， ∴， ∵三角形是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵甲、乙两舰艇到指挥中心的距离之和为180海里， ∴， 由（2）的结论得， ∴此时敌舰距指挥中心的距离为180海里． 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$