河南省南阳市2024-2025学年高二下学期期末质量评估数学试题

2025年春期高中二年级期终质量评估 数学试题 注意事项： 1．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效． 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 5．保持卷面清洁，不折叠、不破损． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（课本P25第9题）已知直线ax+y-2=0与直线x+(a-1)y-2=0垂直，则实数a的值为 A. B. C D. 2．（课本P172第4题改编）二项式的展开式中的的系数为 A.-180 B.180 C.-480 D.480 3．已知等差数列前9项的和等于前4项的和，若，则k= A.11 B.13 C.15 D.17 4．（课本P96第5题）已知直线是函数在某点处的切线，则实数a的值为 A.1 B.-1 C. 5．已知平面α的方程为2x+2y+z-7=0，直线l的方向向量为（1,2，-2），则直线l与平面α所成角的正弦值为 A. B. D. 6．已知数列的前n项和为，若为等比数列，则 A. B. C. D. 7．已知，则a，b，c的大小关系为 A.a>b>c B.c>a>b C.b>a>c D.b>c>a 8．已知是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为Q，且Q与短轴顶点的最短距离为，则椭圆的离心率为 A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．（课本P179思考交流）下列说法正确的是 A.随机变量X∼N(3,4)，若P(X>a-2)=P(X<6-3a)，则a=-1 B.已知随机变量X的方差D(X)=3，则D(2X+3)=9 C.若x与y线性相关，则y与x也线性相关 D.已知事件A，B，C满足P(A∪B)=P(A)+P(B)，则：P[(A∪B)|C]=P(A|C)+P(B|C) 10．设函数，则 A.当a=-1时，f(x)的极大值大于0 B.当时，f(x)无极值点 C.∃a∈R，使f(x)在R上是减函数 D.∀a∈R，曲线y=f(x)的对称中心的横坐标为定值 11．已知数列满足，设，记数列的前2n项和为 ，数列的前n项和为，则下列结论正确的是 A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．已知双曲线的离心率为，过焦点的直线l交双曲线于M，N两点，当lx轴时，|MN|=4，则双曲线的方程为 13．（课本P176B组第2题）正六边形的中心和顶点共7个点，则以其中3个点为顶点的三角形有 个. 14．设函数，若f(x)≥0恒成立，则的最小值为 高二数学 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分13分）某研发团队为了解人们对DeepSeek的使用满意度，随机抽查了150名使用过DeepSeek的人员，整理得到如下列联表：（单位：人） 性别 满意度 合计 比较满意 非常满意 男性 x y 50 女性 45 z 100 合计 70 80 150 （1）求x、y、z的值； （2）在样本中，按性别利用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，X表示抽取的2人中男性的人数，求X的分布列与数学期望； （3）根据小概率值α=0.1的独立性检验，分析对DeepSeek的使用满意度是否与性别有关. 附： 0.1 0.01 0.001 k 2.706 6.635 10.828 16．（本小题满分15分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，AB／／CD，PC=AB=2CD=2AD=2,PC⊥平面ABCD. （1）求证：平面PAC⊥平面PBC； （2）若E是PB的中点，求平面PAC与平面ACE夹角的余弦值. 高二数学 第3页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 17．（本小题满分15分） 已知数列满足 （1）数列｛bn｝满足：，试判断是否为等比数列，请说明理由； （2）数列满足：，当a=2时，求数列的前n项和 18．（本小题满分17分） 已知抛物线上一点（1，yo）到抛物线M的焦点的距离为2，圆E：，如图，过E的直线与上述两条曲线自上而下依次交于A，B，C，D四点，T(-1,0). （1）求抛物线M的方程； （2）当a=1,r=1，作D关于x轴的对称点N，求证：T，A，N 三点共线； （3）设O为坐标原点，当时，直线OB，OC分别交抛物线M于P,Q(点P，Q不与O重合），记ΔOBC面积为,ΔOPQ面积为，求的最大值. 19．（本小题满分17分） 已知函数且a≠1) （1）求f(x)的极小值； （2）当a>1时，f(x)在x=1处切线的斜率为e+1，函数 （i）判断g(x)、零点个数并说明理由； （ii）函数，若对任意的正实数x，都有h(x)≥g(x)恒成立，求实数k的取值范围. 高二数学 第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$高二数学参考答案 第 1 页（共 10 页） 2025 年春期高中二年级期终质量评估数学试题 参考答案与评分标准 一、单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B A D B D D C 1.【解析】因为直线 2 0ax y   与直线  1 2 0x a y    垂直， 所以1 1 ( 1) 0a a     ，解得 1 2 a  . 故选 B. 2.【解析】由 2(10 ) 2 1 10 ( 2) rrr r rT C x      ，令 2 10 ) 15 2 rr  （ 得 2r  ， 所以 2 2 10 ( 2) 180C   . 故选 B. 3.【解析】由 4 9S S ，得 5 6 9 0a a a    则 7 0a  ， 又 3 11 72 0a a a   ，所以 11k  . 故选 A. 4.【解析】 1 1 2 y xx    ，设切点坐标为 0 0( , )x y ， 则 0 0 0 0 0 00 3 2 ln 1 1 3 22 y x a y x x xx            ， 所以 0 1x  ， 0 1y  ， 1 2 a   . 故选 D. 5.【解析】根据题意，平面 的一个法向量为 (2, 2,1)，设直线 l与平面 所成角为 ， 则 1 2 2 2 2 1 4sin 99 9          ， 故选 B. 6.【解析】设等比数列 n S n       的公比为 q，由 3 22a S 得： 3 3 3 3 3 2 3 2 2 3 4 2 a Sa S a S         ， 则 3 3 4 2 2 aq a    ，所以 112 n nS na  ， 46 6 5 17 2a S S a    ， 3 5 5 4 16 2a S S a    高二数学参考答案 第 2 页（共 10 页） 所以 6 5 7 3 a a  . 故选 D. 7.【解析】 ln2 ln4 lne ln3, , 2 4 e 3 a b c    .设   lnxf x x  ，则   2 1 lnxf x x   ， 当 ex 时，   0f x  ，所以  f x 在  e, 上为减函数，又 e 3 4  ， 所以      4e 3f ff  ，即 1 ln3 ln4 e 3 4   . 故选：D. 8.【解析】延长 1FQ交 2F P的延长线于M ，连接OQ，由题意知： 1PF MP , 2 2 1 2 2MF MP PF PF PF a     ，所以 2 1 2 OQ MF a  ，则Q的轨迹为以O为圆心、 a为半径的圆，所以Q与短轴顶点的最短距离为 2 ca b  ，则 4 5 e  . 故选 C. 二、多选题 题号 9 10 11 答案 ACD BD ABD 9.【解析】A:由题知 2 6 3 3 2 a a    即 1a   ，故 A正确； B:根据方差性质， 2(2 3) 2 ( ) 4 3 12D X D X     ，故 B错误； C:不妨设 x与 y线性相关系数为 1r ，其中 ( ) ( ) 1 1 2 22 2 1 1 n i i i n n i i i i x y nx y r x n x y n y = = = × - × = - × - å ， y与 x的线性相关系数为 2r ，则 ( ) ( ) 1 2 1 2 22 2 1 1 n i i i n n i i i i y x ny x r r y n y x n x = = = - × = = - × - å ，所以 y与 x也线 性相关. 故 C正确. D：由 ( ) ( ) ( )P A B P A P B   知 A，B互斥，故 D正确. 故选：ACD. 10.【解析】对于 A，当 1a   时，   3 2 1f x x x x    ，求导得   23 2 1f x x x    ， 令   0f x  得 1 3 x = - 或 1x  ，由   0f x  ，得 1 3 x   或 1x  ， 由   0f x  ，得 1 1 3   x ，于是  f x 在 1, 3       ，  1,  上单调递增， 在 1 ,1 3      上单调递减，  f x 在 1 3 x = - 处取得极大值， 高二数学参考答案 第 3 页（共 10 页） 极大值为 1 1 1 1 1 0 3 27 9 3 f            ，故 A错误； 对于 B，   23 2f x x x a    ，当 1 3 a  时， 4 12 0a    ，即   0f x  恒成立， 函数  f x 在R 上单调递增，  f x 无极值点，故 B正确； 对于 C，要使  f x 在R 上是减函数，则   23 2 0f x x x a    恒成立， 而不等式 23 2 0x x a   的解集不可能为R ，故 C错误； 对于 D，由   3 2 3 22 2 2 2 2 581 1 3 3 3 3 3 27 f x f x x x a x x x ax a                                     ， 得曲线  y f x 的对称中心的坐标为 1 29, 3 3 27 a     ，故 D正确. 故选：BD. 11.【解析】对于 A，由 1 0a  ，因 1 1 3 3( ) , , n n n n a na a n       为奇数 为偶数 ， 可得 2 1 3 3a a   ， 3 23 9a a  ，故 A 正确； 对于 B，当 2,n n N 时，     2 2 2 12 1 1 3 n n nna a a      2 1 2 22 2 13 3 3 3 n n n n nna a a        （*）， 因 2n nb a ，则 1 2( 1)n nb a  ， 故由（*）可得 13 3 n n nb b   ，则 1n 1 13 3 n n n b b    ， 即数列 3 n n b      为公差为 1 的等差数列， 则有 21 1 1 1 3 3 3 n n b ab n n n       ，可得 3nnb n  ，故 B 正确； 对于 C，由 2 31 3 2 3 3 3 3nnT n          ， 可得 2 3 4 13 1 3 2 3 3 3 3nnT n           ， 上面两式相减可得 2 3 12 3 3 3 3 3n nnT n            13 1 3 3 1 3 n nn       ， 高二数学参考答案 第 4 页（共 10 页） 可得   12 1 3 3 4 n n n T     ，故 C 错误； 对于 D，由 2 3 n na n  ， 2 2 1 3 n n na a   ，可得： 2 1 2 3 n n na a   ， 则    2 1 3 5 2 1 2 4 6 2n n nS a a a a a a a a          2 2 4 22( ) (3 3 3 ) n na a a           3 1 3 2 1 3 n nT       11 3 3nn     ，故 D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12. 2 2 1 4 4 x y   13.32 14. 3 2 12.【解析】令 x c ，则 2 2 2 2 1 c y a b   ，解得 2by a   ，则 2 2 , , ,b bM c M c a a             ， 22 .bMN a  则 2 2 2 2 2 4 2 b a ce a c a b            ，解得 2 2 a b    ，则双曲线方程为 2 2 1 4 4 x y   . 故答案为： 2 2 1 4 4 x y   . 13.【解析】先从 7个点中任取 3个点，共有 37 35C  种情况， 再考虑取出的三个点共线的情况，有 3种情况， 所以满足条件的三角形有35 3 32  个. 14.【解析】由已知可得：当 0a  则 xe a 恒正， ln( )x b 不恒为正，所以不成立； 高二数学参考答案 第 5 页（共 10 页） 故 0a  .而 xy e a  ， ln( )y x b  均递增且与 x轴均只有一个交点，所以要使得 ( ) 0f x  ，只需要两个函数与 x轴交于同一点，即 ln 1a b  ，所以 2 2 ln 1 2 2 a ab a    ， 令 2 ( ) ln 1( 0) 2 aa a a     ，则 21 1( ) aa a a a     ，所以 ( )a 在 (0,1)单调递减，在 (1, ) 单调递增，故 3( ) (1) 2 a   ，即 2 2 a b 的最小值为 3 2 . 四、解答题 15.【解析】（1）由表中的数据可得 70 45 25x    ， 50 25 25y    ， 100 45 55z    . …………3分 （2）在样本中，按性别利用分层随机抽样的方法抽取6人， 这6人中男性人员的人数为 506 2 150   ，女性人员的人数为 1006 4 150   ， …………5分 由题意可知 X 的可能取值有0、1、 2， 则   2 4 2 6 C 20 C 5 P X    ，   1 1 2 4 2 6 C C 81 C 15 P X    ，   2 2 2 6 C 12 C 15 P X    ， …………8分 所以，随机变量 X 的分布列如下表所示： X 0 1 2 P 2 5 8 15 1 15 故   2 8 1 20 1 2 5 15 15 3 E X        . …………9分 （3）（方法一：北师大版叙述）  22 150 25 55 25 45 75 0.335 50 100 70 80 224            …………11分 因为0.335 2.706 ，所以没有充分的证据判断对 DeepSeek的使用满意度与性别有关. 可以认为对 DeepSeek的使用满意度与性别无关. …………13分 （方法二：人教版叙述） 零假设为 0 :H 对 DeepSeek的使用满意度与性别无关， 根据表中数据可得  22 150 25 55 25 45 75 0.335 2.706 50 100 70 80 224             ， …………11分 高二数学参考答案 第 6 页（共 10 页） 根据小概率 0.1  的独立性检验，没有充分证据推断 0H 不成立， 因此，可以认为 0H 成立，即认为对 DeepSeek的使用满意度与性别无关. …………13分 16.【解答】(1)因为 PC 平面 ABCD , AC 平面 ABCD ,所以 AC PC 因为 2 2 2AB CD AD   , AB AD , / /AB CD ,所以 45BAC  ， 2AC  , 2BC  ,所以 2 2 2AC BC AB  ,所以 AC BC , …………3分 又 BC PC C  , BC , PC 平面 PBC ,所以 AC 平面 PBC 因为 AC 平面 PAC ,所以平面 PAC 平面 PBC …………6分 (2)因为 PC 平面 ABCD，AC BC ，所以以C为原点，以CB  ,CA  ,CP  分别为 x , y , z 轴正方向建立如图空间直角坐标系， 则 (0,0,0)C , ( 2,0,0)B , (0, 2,0)A , (0,0,2)P , 2( ,0,1) 2 E , …………8分 则 (0, 2,0)CA   , 2( ,0,1) 2 CE   ,设平面 ACE的法向量为 ( , , )x y zn ，则 2 0 2 0 2 CA y CE x z              n n ，取 2x  ，得平面 ACE的一个法向量 ( 2,0, 1) n ，…10分 易知平面 PAC 的一个法向量 (1,0,0)m ， …………12分 设平面 PAC 与平面 ACE的夹角为 ， 则 | | 2 6cos | cos , | | || | 31 3         m nm n m n ， 平面 PAC 与平面 ACE夹角的余弦值为 6 3 . …………15分 17.【解析】（1）当 1a   时 nb 不是等比数列；当 1a   时 nb 是等比数列.理由如下： 因为 * 1 3 2 1,n na a n n    N ，故    1 1 3n na n a n     ， …………2分 又 n nb a n  ，故 1 3n nb b  ， …………3分 当 1a   时， 1 0b  ，故 nb 不是等比数列； …………5分 高二数学参考答案 第 7 页（共 10 页） 当 1a   时， 1 0b  ，故 nb 是以 1a  为首项，以 3为公比的等比数列. …………7分 （2）当 2a  时，由（1）可知 3n nb  ，所以 3nna n  ， …………9分 所以      1 3 ( 3) 1n nn nnc n n         ， …………10分 当 n为偶数时， 13[1 ( 3) ] 3 2 3[ 1 2 3 4 ( 1) ] 1 3 4 n n n nT n n                   ；………12分 当 n为奇数时， 1 1 3 2 1 3 2 13 4 4 n n n n n n n nT T c n              . …………14分 综上所述， 1 13 3 2 1, 4 3 ,2 4 . n n n n n T n n             为奇数； 为偶数 …………15分 18.【解析】（1）由抛物线定义知：1 2 2 p   ，则 2p  ， 所以抛物线M的方程为： 2 4 .y x …………2分 （2）设点 1 1 2 2( , ), ( , )A x y D x y ，则 2 2( , )N x y ， 1 1 2 2( 1, ), ( 1, ),TA x y TN x y       设直线 l的方程为 1x ty  ，联立抛物线方程得： 2 4 4 0y ty   ， 所以， 1 2 1 24 , 4y y t y y    . …………5分 由 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2( 1)( ) ( 1) ( 2)( ) ( 2) 2 2( )x y x y ty y ty y ty y y y             8 8 0,t t    所以TA TN   ∥ ， 故T , A , N 三点共线. …………9分 （3）当 4, 2 3a r  时，由 (4,0)E ，可设直线 : 4l x my  ， 3 3 4 4 5 5 6 6( , ), ( , ), ( , ), ( , )B x y C x y P x y Q x y ， 由 2 2 4 ( 4) 12 x my x y       得 2 2 12 , 1 y m   则 3 4 ,y y  且 2 2 3 4 2 12 , 1 y y m    直线OB的方程为 3 3 yy x x  ，代入抛物线方程得， 3 3 4xy y  或 0y  ， 高二数学参考答案 第 8 页（共 10 页） 所以 3 5 3 4xy y  ，同理 46 4 4xy y  . …………13分 3 31 4 4 3 42 5 6 43 1 | | | | sin | | | || | | || | | |2 1 | 4 | | 4 || | | | | | | || | | | sin 2 | || | OB OC BOC y yS y yOB OC x xS OP OQ y yOP OQ POQ yy            2 2 2 3 4 3 4 3 4 2 3 4 3 4 3 4 3 4 ( ) ( ) ( ) 16 | | 16( 4)( 4) 16[ 4 ( ) 16] y y y y y y x x my my m y y m y y         2 2 22 22 2 2 12 9 91 4( 4)( 1)12 516 16 4 9 1 2 m m mm m m                      ， 当 0m  时， 1 2 S S 取得最大值为 9 16 . …………17分 19.【解析】（1）方法一： ( ) ln 2 ln 2 ( 1) ln . x xf x a a x a x a a       因为当 1a  时， ln 0a  ，函数 ( 1) lnxy a a  在 R上是增函数， 当0 1a  时， ln 0a  ，函数 ( 1) lnxy a a  在 R上是增函数， 所以 ( )f x 是 R上的增函数， …………2分 又 (0) 0f   ，所以 ( ) 0f x  的解集为 (0, ) ， ( ) 0f x  的解集为 ( ,0) ， 故函数 ( )f x 的增区间为 (0, ) ，减区间为 ( ,0) ， 所以函数 ( )f x 在 0x  处取得极小值 1. …………4分 方法二：因为 ( ) ln 2 lnxf x a a x a    ， 2( ) (ln ) 2 0xf x a a    ， 所以 ( )f x 在 R上单调递增， …………2分 又 (0) 0f   ，所以 ( ) 0f x  的解集为 (0, ) ， ( ) 0f x  的解集为 ( ,0) ， 所以函数 ( )f x 的增区间为 (0, ) ，减区间为 ( ,0) ， 所以函数 ( )f x 在 0x  处取得极小值 1. …………4分 （2）(ⅰ)因为 ( ) ln 2 lnxf x a a x a    ， 高二数学参考答案 第 9 页（共 10 页） 所以 (1) ln 2 ln ( 1)f a a a a     , 设 ln 2 lny a a a   ，则 11 ln 0y a a      ， 所以 ln 2 lny a a a   在 (1, ) 单调递增， 且当 a e 时， 1y e  ，故 a e ， …………7分 又 2ln ln( ) x x x x e xg x xe x x     ， 令 2( ) lnxx x e x  ， 2 1( ) ( 2 ) 0xx x x e x      ， 所以 ( )x 在 (0, ) 单调递增，且 (1) 0,e  当 0x 时， ( )x  ， 所以存在唯一 0 (0,1)x  ，使得 0( ) 0x  ，即 ( )x 在 (0, ) 只有一个零点， 即 ( )g x 只有一个零点. …………10分 (ⅱ)由题知，对任意 0x  都有 ( 1) ln ln( 2) 1 xx x xk x xe x x     ≥ 恒成立， 即 ( 2) ln 1, 0xk x x xe x   ≤ ， 所以对任意 0x  ，都有 1 ln 2xxk e x   ≤ ， …………12分 令 1 ln( ) 2xxu x e x   = ，则 2 2 2 ln ln( ) x xx x e xu x e x x     = ， 由(ⅰ)知 2 lnxy x e x  在 (0, ) 上单调递增，且在 (0,1)上有唯一零点 0x ， 当 0(0, )x x 时， ( ) 0,u x  当 0( , )x x  ， ( ) 0,u x  x， ( )u x 。 故 k。 …………17分 (附加内容)若题目是：对任意 0x  都有 ( 1) ln ln( 2) 1 xx x xk x xe x x       恒成立， 即 ( 2) ln 1, 0xk x x xe x     ， 高二数学参考答案 第 10 页（共 10 页） 所以对任意 0x  ，都有 1 ln 2xxk e x     ， 令 1 ln( ) 2xxu x e x   = ，则 2 2 2 ln ln( ) x xx x e xu x e x x     = ， 由(ⅰ)知 2 lnxy x e x  在 (0, ) 上单调递增，且在 (0,1)上有唯一零点 0x ， 当 0(0, )x x 时， ( ) 0,u x  当 0( , )x x  ， ( ) 0,u x  所以 000 0 1 ln( ) ( ) 2xxu x u x e x      ， 又 0( ) 0x  ，即 0 2 0 0ln 0, xx e x  即 020 0ln xx x e  即 00 0 0 1 1ln xx e x x  ， 即 0 0 1ln 0 0 1lnx xe e x x  ，又 xy xe 在 (0,1)上单调递增， 所以 0 0 1lnx x  ，则 0 0 0 1 1( ) 2 1xu x x x    ≤ ， 所以 1k  .