18.2特殊的平行四边形 暑期自主提升训练题 2024-2025学年人教版八年级数学下册

2024-2025学年人教版八年级数学下册《18.2特殊的平行四边形》 暑期自主提升训练题（附答案） 一、单选题 1．下列命题中，是真命题的是（   ） A．两条对角线相等的四边形是矩形 B．两条对角线相互平分的四边形是矩形 C．两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 2．如图，菱形的对角线、，交于点，则下列结论错误的是（   ） A．， B．， C．， D． 3．如图，四边形、分别是菱形与正方形．若，则（   ） A． B． C． D． 4．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，，，则菱形边上高的长度为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在矩形中，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点E，交于点F，若，则矩形的周长为（　　） A．24 B．12 C．8 D．36 6．如图，在矩形中，交于点，于点，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在菱形中，，点E，F分别是边上任意点（不与端点重合），且，连接相交于点G，连接与相交于点H，下列结论：①；②的大小为定值；③与一定不垂直；④若，则，其中正确的结论有（ ） A．①② B．①②④ C．③④ D．①③④ 二、填空题 8．如图，点是菱形对角线上一点，．若，则的面积为 ． 9．如图，在菱形中，于点E，于点F，连接．若，则的度数为 ． 10．如图，，都是矩形，而且点在边上，其中，，则矩形的面积为 ． 11．窦龙（原创）如图，正方形，点E在上，点F在上，连接和交于点L，连接，若，，四边形的面积是65，则的长为 ． 12．如图，四边形为正方形，为上一点，于点，连接，设，若，则 ．（用含的式子表示） 13．如图，正方形的边长为8，点M在上且是上的一动点，则周长的最小值是 ． 14．如图，在矩形中，，，平分交于点E，，垂足为H，连接并延长交于点F．下列结论中正确的是 （填序号）． ①；②；③；④． 三、解答题 15．如图，在菱形中，点是边上的点，连结交对角线于点，连结． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 16． 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作且，连接 、，连接交于点． (1)求证：； (2)若菱形的边长为4，，求的长．    17．如图，在正方形中，对角线上有一点，延长线上有一点．连接交于点，且． (1)求证：； (2)求的度数； 18．如图1，菱形中，点E、F分别为、的中点，连接、． (1)求证：； (2)如图2，若H为上一点，连接、，使，求证：． 19．如图，四边形中，，对角线相交于点O． (1)请从下列条件①，②中选择一个作为已知，求证：四边形为矩形． 条件①：；条件②：（注：如果选择条件①和条件②分别作答，则按第一个解答计分．） (2)在（1）的结论下，作平分交于点E，若，求的度数． 20．（1）【探索发现】如图1，在正方形中，是上一点，是的延长线上一点，若，则________度，线段，之间的数量关系是________； （2）【解决问题】如图2，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且．若在上，且，请判断线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图，在四边形中，，，，是上一点，当，且时，求的长度． 参考答案 1．解：A． 两条对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题，不符合题意； B． 两条对角线相互平分且相等的四边形是矩形，原命题是假命题，不符合题意； C． 两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，，原命题是真命题，符合题意； D． 两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 2．解：∵菱形的对角线、，交于点， ∴，，，，，， 由菱形的性质不能得到， 故选：D． 3．解：连接，则为正方形与菱形的对角线， ， ∵， ， ∵菱形中，， ， ， 故选：C． 4．解：∵四边形是菱形，，， ， 在中，由勾股定理得， ， ， 故选：B． 5．解：由题中尺规作图可知，直线是线段的垂直平分线，连接，如图所示： ，， 在矩形中，，则， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， 在中，，，，则由勾股定理可得，且, 在矩形中，，， 矩形的周长为， 故选：A． 6．解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 7．解：①∵四边形是菱形． ∴， 又， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴①符合题意； ②由①得， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴②符合题意； ③当点E，F分别是中点时， 由（1）知，为等边三角形， ∵点E，F分别是中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴③不符合题意； ④过点F作交于P点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，故本选项符合题意： ∴正确的结论是①②④． 故选：B． 8．解：如图所示，连接交于O， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9．解：∵菱形中，于点E，于点F， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 10．解：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：． 11．解：连接和交于点． 四边形为正方形， ，． ． ， ． ． ． ， ． ． ， ． 又，， ． ，． ． ． ， ． ． ． ， 故答案为：． 12．解：如图所示，过点D作于G， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 13．解：连接， ∵正方形是轴对称图形，点与点是以直线为对称轴的对称点， ∴直线即为的垂直平分线， ∴， ∴， 当点在与的交点处，取得最小值，最小值为的长， ∵正方形的边长为 8 ，且， ∴， ∴， ∴的最小值为10 ． 则周长的最小值， 故答案为：12． 14．解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∵， ∴和是等腰直角三角形， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∵， ∴， ∵和是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴不是等边三角形， ∴， ∴，故②错误； 取中点，连接， ∵， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∵，， ∴， ∴， 又， 故，故④正确； 故答案为：①③④． 15．（1）证明：∵四边形是菱形，是对角线， ∴， 又， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴，， 在中，， ∵是的外角， ∴， ∴，且， 解得，． 16．（1）证明：为菱形， ， ， 四边形是平行四边形． ， ∴， 平行四边形是矩形；   ． （2）解：∵在菱形中，，， 为等边三角形， ， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴在中，由勾股定理得． 17．（1）证明：在正方形中，，平分， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， 即 18．（1）证明：∵四边形是菱形， ， ， ∵点E、F分别为、的中点， ，， ， 在和中， ， （）， ； （2）证明：，， ， 是直角三角形，， ， 延长交延长线于点G， 在菱形中，， ，， 在和中， ， （）， ， ， ， ， 由（1）得， ， ， ∵菱形中，， ， ， 即． 19．（1）解：选择条件①：； 证明：∵，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形． 选择条件②： ∵， ∴， ∵， ∴，、 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． （2）∵四边形为矩形． ∴，， ∵平分 ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴ 20．解：（1）证明：如图1， 四边形是正方形， ，， 又， ， ，． ∴ 故答案为：，． （2）如图2，． 理由如下：由（1）得，，， ， ． ． ， ． ， ． （3）如图3，过点作，交 的延长线于点，则 °， ∵，， ． 四边形是矩形，又 ， 四边形是正方形， ． 由（1）（2）可得，， 设，则， ， 在中，由勾股定理可得，， 即，解得． ∴ 的长度为． 学科网（北京）股份有限公司 $$