专题2.1 直线的倾斜角与斜率（8类必考点）-2025-2026学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册（解析版）

专题2.1 直线的倾斜角与斜率 【知识梳理】 1 【考点1：求直线的倾斜角】 2 【考点2：求直线的斜率】 3 【考点3：直线的方向向量】 5 【考点4：斜率与倾斜角的变化关系】 7 【考点5：已知两点求斜率】 11 【考点6：已知斜率求参数】 12 【考点7：斜率公式的应用】 15 【考点8：由直线与线段的相交关系求斜率范围】 21 【知识梳理】 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 3．直线的方向向量 我们知道,直线P1P2上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量.直线P1P2的方向向量的坐标为. 当直线P1P2与x轴不垂直时,.此时向量也是直线P1P2的方向向量,且它的坐标为,即,其中k是直线P1P2的斜率.因此,若直线l的斜率为k,它的一个方向向量的坐标为(x,y),则. 【考点1：求直线的倾斜角】 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）过点和点的直线倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点坐标得到直线为，即可得倾斜角. 【详解】由过点和点的直线为，即其倾斜角为. 故选：B 2．（24-25高二上·山西吕梁·阶段练习）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的直线方程，直接求出倾斜角作答. 【详解】直线垂直于x轴，所以直线的倾斜角为. 故选：C 3．（24-25高二上·北京海淀·期中）直线的倾斜角是． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由直线方程可知直线的斜率，设直线的倾斜角是，则， 又，所以． 故选． 4．（24-25高二·江苏·假期作业）若直线经过点，则直线的倾斜角为（　　） A．0° B．30° C．60° D．90° 【答案】A 【分析】由两点的纵坐标相等，可直接得到直线的倾斜角. 【详解】因为两点的纵坐标相等， 所以直线平行于轴， 所以直线的倾斜角为0°． 故选：A 5．（24-25高二下·河南周口·开学考试）已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方向向量与直线斜率关系求斜率，再由斜率与倾斜角关系求倾斜角. 【详解】由题意，直线l的斜率为， 结合斜率与倾斜角的关系，得直线l的倾斜角为． 故选：C． 【考点2：求直线的斜率】 1．（24-25高二上·广东汕头·期末）在平面直角坐标系中，直线的斜率为（   ） A．0 B．1 C．90 D．不存在 【答案】D 【分析】根据给定直线的特征确定其斜率情况. 【详解】直线垂直于垂直，所以直线的斜率不存在. 故选：D 2．（24-25高二上·天津滨海新·期末）若直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 . 【答案】 【分析】根据倾斜角与斜率的关系计算可得. 【详解】因为直线的倾斜角为， 所以该直线的斜率. 故答案为： 3．（24-25高一下·江苏徐州·期末）已知点，，则直线的斜率为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把点的坐标代入直线斜率公式即可. 【详解】解：， 故选：B 【点睛】考查直线斜率公式的应用，基础题. 4．（24-25高二上·河北秦皇岛·阶段练习）已知，，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由斜率公式求解即可. 【详解】直线AB的斜率为. 故选：B 5．（24-25高二上·河北石家庄·阶段练习）若直线过，则此直线的斜率是（    ） A． B．1 C． D．不存在 【答案】A 【分析】因为直线上两点横坐标不同，肯定有斜率，代入到两点的斜率公式计算即可. 【详解】因为直线过点，所以直线斜率. 故选：A 6．（24-25高三上·四川达州·阶段练习）已知为直线的倾斜角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系可得，利用二倍角公式及齐次式可得结果. 【详解】∵为直线的倾斜角， ∴直线斜率， ∴. 故选：A. 【考点3：直线的方向向量】 1．（24-25高二上·四川绵阳·期中）直线的一个方向向量为（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【分析】先求出直线的倾斜角，再结合方向向量的定义，即可求解． 【详解】直线的倾斜角为， 故直线的一个方向向量为． 故选：B． 2．（24-25高二上·山东青岛·期中）直线的方向向量可以是（    ） A． B． C．(2，) D．(，2) 【答案】A 【分析】先得到直线的斜率，进而可得解. 【详解】直线的斜率为2，经对比选项，只有满足题意. 故选：A. 3．（24-25高二上·山东济南·阶段练习）直线的一个方向向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的方向向量的概念即可得出结果. 【详解】由题意知，， 所以直线的斜率为，则直线的一个方向向量的坐标为， 故选：D 4．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知直线的斜率为，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用直线方向向量的意义求得答案. 【详解】斜率为的直线的一个方向向量为，因此直线的一个方向向量为， 而ABC中向量与不共线，， 所以直线的一个方向向量的坐标为. 故选：D 5．（24-25高二上·重庆·期中）若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方向向量可得斜率，进而可得倾斜角. 【详解】设倾斜角为， 因为直线的方向向量是，则直线的斜率， 故倾斜角的正切值为， 且，所以的倾斜角为. 故选：A. 6．（24-25高二上·山西·阶段练习）已知直线方程的一个方向向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由直线方程得到直线的斜率，从而求得其方向向量，由此得解. 【详解】因为直线方程可化为，其斜率为， 所以该直线的一个方向向量为. 故选：D. 7．（24-25高二上·江苏苏州·期中）若是直线的一个方向向量，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线先求出一个方向向量，再根据方向向量共线可求出. 【详解】易得直线的一个方向向量为， 则，所以，解得. 故选：C. 8．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知直线 ， 下列说法正确的是（    ） A．倾斜角为 B．倾斜角为 C．方向向量可以是 D．方向向量可以是 【答案】A 【分析】根据直线的一般式可得斜率，进而根据选项即可逐一求解. 【详解】因为直线 的方程为， 所以直线的斜率， 又， 所以直线的倾斜角为， 故A正确，B错误; 对于 C， 若直线 l的方向向量为， 则斜率为， 与题意矛盾， 故C错误; 对于D，若直线 l的方向向量为， 则斜率为， 与题意矛盾， 故D错误; 故选：A 【考点4：斜率与倾斜角的变化关系】 1．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，直线、、、中，斜率最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系可得出结论. 【详解】由图可知的倾斜角为锐角，、、的倾斜角为钝角， 则直线的斜率为正数，直线、、的斜率均为负数， 且、、中，直线的倾斜角最小，故直线的斜率最小. 故选：B. 2．（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可. 【详解】设直线、、的倾斜角为、、，由图可知， 所以，即. 故选：A. 3．（24-25高二上·四川南充·期末）如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用斜率与倾斜角的关系即可判断． 【详解】由，结合的函数图象， 直线对应的倾斜角为钝角，则， 直线与都为锐角，且的倾斜角大于的倾斜角， 则，故． 故选：B 4．（24-25高二上·江西九江·阶段练习）已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用斜率的定义得到直线倾斜角的正切值的范围，再利用正切函数的性质即可得解. 【详解】设的倾斜角为，则，且， 如图，由正切函数的性质知. 故选：C. 5．（24-25高二上·广东广州·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线表示出斜率，求出其范围，再根据正切函数性质求出倾斜角的范围. 【详解】因为，所以， 设其倾斜角为，当时，直线为，， 当，直线的斜率，则， 由正切函数性质可知. 故直线的倾斜角的范围是 故选：C. 6．（2025高三·全国·专题练习）若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的倾斜角，从而得到直线的倾斜角及斜率，得到. 【详解】因为直线的斜率，对应的倾斜角为， 由题意可得，直线的倾斜角为，故其斜率，解得， 故选：C． 7．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知两条直线：，：，其中a为实数，当这两条直线的夹角在内变动时，a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别求出直线的倾斜角再根据夹角范围结合正切函数性质即可求值. 【详解】直线：的倾斜角为，直线：的倾斜角为，则， 所以过原点的直线：，：夹角在内变动时， 可得直线的倾斜角的范围是， 所以，即， 故选：C. 8．（多选）（2025·河南·模拟预测）已知为等腰直角三角形，为坐标原点，点在第一象限，点在第四象限，，若直线的斜率都存在，记直线的斜率分别为，则的关系可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】讨论、，结合斜率与夹角关系判断各项的正误. 【详解】当时，； 当时，. 故选：AB 【考点5：已知两点求斜率】 1．（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）若直线经过点，，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜率公式即可求解. 【详解】由于直线经过点，，故斜率为， 故选：D 2．（24-25高二下·上海宝山·期中）直线过点和，则的斜率为 ． 【答案】 【分析】根据斜率的计算公式求解即可. 【详解】， 故答案为： 3．（24-25高二下·上海浦东新·期中）经过点、的直线的斜率为 . 【答案】 【分析】利用斜率公式可求得直线的斜率. 【详解】经过点、的直线的斜率为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·上海金山·期末）经过两点和的直线的倾斜角是 . 【答案】 【分析】利用斜率公式求得直线的斜率，可得，可求直线的倾斜角. 【详解】因为直线过和， 所以直线的斜率， 记直线的倾斜角为，所以， 又，则可得． 故答案为：. 5．（24-25高二下·上海杨浦·阶段练习）已知直线经过点、两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为 ． 【答案】/ 【分析】根据两点求得直线的斜率，根据二倍角的正切公式求得直线的斜率. 【详解】因为直线经过点、两点，所以， 设直线的倾斜角为，所以，故， 故直线的斜率为. 故答案为：. 【考点6：已知斜率求参数】 1．（24-25高一下·海南海口·期末）已知两点，若直线的倾斜角为，则的值为（   ） A． B．6 C． D．4 【答案】C 【分析】由题意可知直线的斜率，再结合斜率公式运算求解. 【详解】因为直线的倾斜角为，则直线的斜率， 又因为，则，解得. 故选：C. 2．（24-25高二上·河南开封·期中）若经过，两点的直线斜率为1，则实数（    ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据斜率公式结合已知斜率可求实数. 【详解】过，两点的直线斜率为， 所以，解得，． 故选：B． 3．（24-25高二上·山东临沂·期中）过，两点的直线的倾斜角为，则等于（      ） A． B． C．， D．1，2 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用斜率的坐标公式列式求解. 【详解】依题意，，所以. 故选：A 4．（多选）（24-25高二上·重庆黔江·阶段练习）已知点，若在坐标轴上存在一点，使直线的倾斜角为，则点的坐标不能为（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】设轴上点或轴上点，根据斜率公式，列出方程，即可求解. 【详解】设轴上点或轴上点， 因为直线的倾斜角为，可得，得， 解得，故点的坐标为或. 故选：BD. 5．（24-25高二上·青海海南·期中）过，两个不同点的直线l的斜率为1，则实数m的值为 ． 【答案】 【分析】根据斜率公式列式求解即可. 【详解】根据题意可得，解得或， 当时，点A，B重合，不符合题意，舍去； 当时，经验证，符合题意； 综上所述：. 故答案为：. 6．（24-25高二上·全国·课后作业）设坐标平面内三点，，，直线的斜率等于直线的斜率的三倍，则实数的值为 . 【答案】或 【分析】由题设，应用斜率的两点式列方程求m值，注意验证结果. 【详解】由，得，即. 所以，得，即. 或，经验证均符合题意，故的值是或. 故答案为：或. 7．（2025高二上·江苏·专题练习）设直线的方程为，若直线的倾斜角为，试求的值. 【答案】1 【分析】根据直线的斜率求出可得答案. 【详解】由得 ， 因为，所以， 当即时，直线与轴垂直，倾斜角为，不符合题意， 故，可得直线的斜率， 即，得. 【考点7：斜率公式的应用】 1．（24-25高二上·北京·阶段练习）三名同学相约在暑期进行了社会实践活动，同去某工厂加工同一种产品，他们在一天中的工作情况如图所示，其中的横、纵坐标分别为第名同学上午的工作时间和加工的零件数，点的横、纵坐标分别为第名同学下午的工作时间和加工的零件数，，记为第名同学在这一天平均每小时加工的产品个数，则中最大的（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据题意，可将均值问题转化为对应线段中点与原点的斜率问题，通过数形结合即可比较大小 【详解】设,， 根据题意可知表示第名同学早上的工作时间，表示第名同学早上的加工零件数； 同理，表示第名同学下午的工作时间，表示第名同学下午的加工零件数. 所以， 因此，可理解为线段中点与原点连线的斜率（如图） 因此，由图可以看出最大 故选：B 2．（2025·北京石景山·模拟预测）某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（　　）    A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】C 【分析】观察图象判定斜率大小即可. 【详解】 若果树前n年的总产量与n在图中对应点 则前n年的年平均产量，即为直线OP的斜率， 由图易得当n＝9时，直线OP的斜率最大. 即前9年的年平均产量最高. 故选：C. 3．（24-25高二上·浙江台州·期末）台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意三点共线，结合两点式斜率公式，利用斜率相等列式求解即可. 【详解】由题意三点共线，设，因为，， 所以，解得，所以. 故选：B 4．（24-25高二上·福建宁德·期末）中国自古就有“桥的国度”之称，福建省宁德市保留着50多座存世几十年甚至数百年的木拱廊桥，堪称木拱廊桥的宝库.如图是某木拱廊桥的剖面图是拱骨，是相等的步，相邻的拱步之比分别为，若是公差为的等差数列，且直线的斜率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用题中关系建立等式求解即可. 【详解】由题可知因为 所以， 又是公差为的等差数列，所以， 所以， 故选:B 5．（多选）（24-25高三上·山东枣庄·期中）颗粒物过滤效率是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为，其中表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：ind./L），表示经口罩过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量（单位：ind./L）．某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了4次测试，测试结果如图所示．图中点的横坐标表示第i种口罩第j次测试时的值，纵坐标表示第i种口罩第j次测试时的值（，）． 该研究小组得到以下结论，正确的是（    ） A．在第2种口罩的4次测试中，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高 B．在第1种口罩的4次测试中，第4次测试时的颗粒物过滤效率最高 C．在每次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率高 D．在第3次和第4次测试中第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低 【答案】AD 【分析】根据实验数据图表逐个分析选项即可. 【详解】分别将原点与图中各点相连. 设线段的斜率为，根据题意有， 即越小，颗粒物过滤效率越高。 由图可知，； 在第2种口罩的4次测试中，最小，所以第3次测试时的颗粒物过滤效率最高，选项A正确； 在第1种口罩的4次测试中，最小，所以第1次测试时的颗粒物过滤效率最高，选项B错误； 由图知，，所以第3次测试中第2种口罩的颗粒物过滤效率更高，选项C错误； ，所以第3次和第4次测试中第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低，选项D正确. 故选：AD. 6．（2025高二上·全国·专题练习）台球运动中反弹球技法是常见的技巧，其中无旋转反弹球是最简单的技法，主球撞击目标球后，目标球撞击台边之后按照光线反射的方向弹出，想要让目标球沿着理想的方向反弹，就要事先根据需要确认台边的撞击点，同时做到用力适当，方向精确，这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中.如图，现有一目标球从点无旋转射入，经过轴（桌边）上的点反弹后，经过点，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】求点关于轴的对称点，由题意可知三点共线，利用斜率公式，即得解 【详解】设，点关于轴对称的点， 则，， 由题意，三点共线， ，即，解得，故点的坐标为. 故答案为： 7．（24-25高二上·浙江宁波·期中）如图，为保护河上古桥，规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥与河岸垂直；保护区的边界为圆心在线段上，并与相切的圆，且古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于.经测量，点位于点正北方向处，点位于点正东方向处（为河岸），，则新桥的长度为 .    【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，得到，，设，根据条件建立关系式，从而得到，即可求解. 【详解】如图，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 由条件知，，， 因为直线的斜率为，又， 所以直线的斜率， 设点的坐标为，则，， 联立，解得，故 所以，，    故答案为：. 【考点8：由直线与线段的相交关系求斜率范围】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为 ，其斜率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】解法一：根据题意，求出，，结合图形求出直线斜率的范围，进而可求出倾斜角的范围. 解法二：设直线的斜率为，则直线的方程为，点，在直线的两侧或其中一点在直线上，所以，即可求出直线斜率的范围，进而可求出倾斜角的范围. 【详解】解法一：由题意，，． 设直线，的倾斜角分别为α，β，则，． 如图所示，过点作轴的垂线，与线段交点于， 当直线由变化到的位置时，直线的倾斜角由增到，其斜率的范围为；当直线由变化到的位置时，直线的倾斜角由增到，其斜率的范围为． 故直线倾斜角的取值范围为，其斜率的取值范围为． 故答案为：； ． 解法二：设直线的斜率为，则直线的方程为，即． 由题意，点，在直线的两侧或其中一点在直线上， 所以，即，解得或． 故直线的斜率的取值范围为， 所以其倾斜角的取值范围为． 故答案为：； ． 2．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知点、，若过定点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出图形，求出直线、的斜率，观察直线在绕着点旋转时，直线的倾斜角的变化，即可得出直线的斜率的取值范围. 【详解】设过点且垂直于轴的直线交线段于点，如下图所示： ，， 当直线从的位置旋转至与的位置靠近时， 此时直线的倾斜角逐渐增大，且为锐角，则； 当直线从靠近的位置旋转至的位置时， 此时直线的倾斜角逐渐增大，且为钝角，则. 综上所述，直线的斜率的取值范围是. 故选：A. 3．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意作图，利用斜率的计算公式，可得答案. 【详解】由题意作图如下： 设直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为， 由图可知， 由，，，则，， 所以. 故选：B. 4．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾斜角的取值范围． 【详解】直线的方程可化为，由，可得， 所以，直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 将代入方程： 可得：不成立，不在直线上， 所以，即， 因为所以或 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 5．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）已知点.若直线与线段相交，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求直线恒过的定点，再应用两点式求斜率，根据斜率范围求参即可. 【详解】直线恒过定点，又， 直线的斜率为，要使直线与线段有公共点，，解得. 故选：A. 6．（2025高三·全国·专题练习）若直线与连接两点的线段有公共点，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】首先考虑直线过两个端点的情况，再计算直线过线段中间点的情况，利用定比分点的向量公式进行求解即可. 【详解】当直线过点时，，直线过点时，， 当直线与线段的交点在之间时， 设这个交点分的比为， 由定比分点向量公式有， 点的坐标为， 又直线过点，， ，又点在线段上，， ，解得或， 实数的取值范围是. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 直线的倾斜角与斜率 【知识梳理】 1 【考点1：求直线的倾斜角】 2 【考点2：求直线的斜率】 2 【考点3：直线的方向向量】 3 【考点4：斜率与倾斜角的变化关系】 3 【考点5：已知两点求斜率】 5 【考点6：已知斜率求参数】 5 【考点7：斜率公式的应用】 6 【考点8：由直线与线段的相交关系求斜率范围】 9 【知识梳理】 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 3．直线的方向向量 我们知道,直线P1P2上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量.直线P1P2的方向向量的坐标为. 当直线P1P2与x轴不垂直时,.此时向量也是直线P1P2的方向向量,且它的坐标为,即,其中k是直线P1P2的斜率.因此,若直线l的斜率为k,它的一个方向向量的坐标为(x,y),则. 【考点1：求直线的倾斜角】 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）过点和点的直线倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山西吕梁·阶段练习）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·北京海淀·期中）直线的倾斜角是． A． B． C． D． 4．（24-25高二·江苏·假期作业）若直线经过点，则直线的倾斜角为（　　） A．0° B．30° C．60° D．90° 5．（24-25高二下·河南周口·开学考试）已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（    ）． A． B． C． D． 【考点2：求直线的斜率】 1．（24-25高二上·广东汕头·期末）在平面直角坐标系中，直线的斜率为（   ） A．0 B．1 C．90 D．不存在 2．（24-25高二上·天津滨海新·期末）若直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 . 3．（24-25高一下·江苏徐州·期末）已知点，，则直线的斜率为 A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河北秦皇岛·阶段练习）已知，，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·河北石家庄·阶段练习）若直线过，则此直线的斜率是（    ） A． B．1 C． D．不存在 6．（24-25高三上·四川达州·阶段练习）已知为直线的倾斜角，则（    ） A． B． C． D． 【考点3：直线的方向向量】 1．（24-25高二上·四川绵阳·期中）直线的一个方向向量为（    ） A． B． C． D．不存在 2．（24-25高二上·山东青岛·期中）直线的方向向量可以是（    ） A． B． C．(2，) D．(，2) 3．（24-25高二上·山东济南·阶段练习）直线的一个方向向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知直线的斜率为，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·重庆·期中）若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·山西·阶段练习）已知直线方程的一个方向向量可以是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·江苏苏州·期中）若是直线的一个方向向量，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知直线 ， 下列说法正确的是（    ） A．倾斜角为 B．倾斜角为 C．方向向量可以是 D．方向向量可以是 【考点4：斜率与倾斜角的变化关系】 1．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，直线、、、中，斜率最小的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·四川南充·期末）如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江西九江·阶段练习）已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·广东广州·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2025高三·全国·专题练习）若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知两条直线：，：，其中a为实数，当这两条直线的夹角在内变动时，a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（多选）（2025·河南·模拟预测）已知为等腰直角三角形，为坐标原点，点在第一象限，点在第四象限，，若直线的斜率都存在，记直线的斜率分别为，则的关系可能为（    ） A． B． C． D． 【考点5：已知两点求斜率】 1．（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）若直线经过点，，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·上海宝山·期中）直线过点和，则的斜率为 ． 3．（24-25高二下·上海浦东新·期中）经过点、的直线的斜率为 . 4．（24-25高二上·上海金山·期末）经过两点和的直线的倾斜角是 . 5．（24-25高二下·上海杨浦·阶段练习）已知直线经过点、两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为 ． 【考点6：已知斜率求参数】 1．（24-25高一下·海南海口·期末）已知两点，若直线的倾斜角为，则的值为（   ） A． B．6 C． D．4 2．（24-25高二上·河南开封·期中）若经过，两点的直线斜率为1，则实数（    ） A．3 B． C．2 D．1 3．（24-25高二上·山东临沂·期中）过，两点的直线的倾斜角为，则等于（      ） A． B． C．， D．1，2 4．（多选）（24-25高二上·重庆黔江·阶段练习）已知点，若在坐标轴上存在一点，使直线的倾斜角为，则点的坐标不能为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·青海海南·期中）过，两个不同点的直线l的斜率为1，则实数m的值为 ． 6．（24-25高二上·全国·课后作业）设坐标平面内三点，，，直线的斜率等于直线的斜率的三倍，则实数的值为 . 7．（2025高二上·江苏·专题练习）设直线的方程为，若直线的倾斜角为，试求的值. 【考点7：斜率公式的应用】 1．（24-25高二上·北京·阶段练习）三名同学相约在暑期进行了社会实践活动，同去某工厂加工同一种产品，他们在一天中的工作情况如图所示，其中的横、纵坐标分别为第名同学上午的工作时间和加工的零件数，点的横、纵坐标分别为第名同学下午的工作时间和加工的零件数，，记为第名同学在这一天平均每小时加工的产品个数，则中最大的（    ） A． B． C． D．不能确定 2．（2025·北京石景山·模拟预测）某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（　　）    A．5 B．7 C．9 D．11 3．（24-25高二上·浙江台州·期末）台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·福建宁德·期末）中国自古就有“桥的国度”之称，福建省宁德市保留着50多座存世几十年甚至数百年的木拱廊桥，堪称木拱廊桥的宝库.如图是某木拱廊桥的剖面图是拱骨，是相等的步，相邻的拱步之比分别为，若是公差为的等差数列，且直线的斜率为，则（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（24-25高三上·山东枣庄·期中）颗粒物过滤效率是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为，其中表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：ind./L），表示经口罩过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量（单位：ind./L）．某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型口罩的颗粒物过滤效率分别进行了4次测试，测试结果如图所示．图中点的横坐标表示第i种口罩第j次测试时的值，纵坐标表示第i种口罩第j次测试时的值（，）． 该研究小组得到以下结论，正确的是（    ） A．在第2种口罩的4次测试中，第3次测试时的颗粒物过滤效率最高 B．在第1种口罩的4次测试中，第4次测试时的颗粒物过滤效率最高 C．在每次测试中，第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率高 D．在第3次和第4次测试中第1种口罩的颗粒物过滤效率都比第2种口罩的颗粒物过滤效率低 6．（2025高二上·全国·专题练习）台球运动中反弹球技法是常见的技巧，其中无旋转反弹球是最简单的技法，主球撞击目标球后，目标球撞击台边之后按照光线反射的方向弹出，想要让目标球沿着理想的方向反弹，就要事先根据需要确认台边的撞击点，同时做到用力适当，方向精确，这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中.如图，现有一目标球从点无旋转射入，经过轴（桌边）上的点反弹后，经过点，则点的坐标为 . 7．（24-25高二上·浙江宁波·期中）如图，为保护河上古桥，规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥与河岸垂直；保护区的边界为圆心在线段上，并与相切的圆，且古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于.经测量，点位于点正北方向处，点位于点正东方向处（为河岸），，则新桥的长度为 .    【考点8：由直线与线段的相交关系求斜率范围】 1．（2025高三·全国·专题练习）已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为 ，其斜率的取值范围为 ． 2．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知点、，若过定点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）已知点.若直线与线段相交，则的范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2025高三·全国·专题练习）若直线与连接两点的线段有公共点，求实数的取值范围. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$