15 第二章 2.1.1 倾斜角与斜率-【名师导航】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册同步课件(人教A版2019)

第二章　直线和圆的方程 2.1　直线的倾斜角与斜率 2.1.1　倾斜角与斜率 [学习目标]　1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素．(数学抽象、直观想象) 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程．(数学抽象) 3．掌握过两点的直线斜率的计算公式．(数学运算) 整体感知 2.1.1　倾斜角与斜率 (教师用书) 由初中的平面几何知识，我们知道两点确定一条直线；由必修教材中的平面向量知识，我们知道一个点与一个方向也可以确定一条直线．那么，怎样用代数方法刻画直线呢？ 整体感知 探究建构 应用迁移 2.1.1　倾斜角与斜率 [讨论交流]　 问题1．直线的倾斜角是如何定义的？它的取值范围如何？ 问题2．直线的斜率是如何定义的？直线的斜率一定存在吗？ 问题3．若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？所有的直线都有倾斜角吗？ 整体感知 探究建构 应用迁移 2.1.1　倾斜角与斜率 [自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.1.1　倾斜角与斜率 探究1　直线的倾斜角 探究问题1　在平面中，怎样才能确定一条直线？ 探究建构 [提示]　两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线． 探究问题2　在平面直角坐标系中，经过原点、与x轴正方向的夹角为60°的直线有几条？ [提示]　有且仅有一条． 2.1.1　倾斜角与斜率 [新知生成] 1．当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴____与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为____． 2．直线的倾斜角α的取值范围为_____________． 正向 0° 0°≤α＜180° 整体感知 探究建构 应用迁移 2.1.1　倾斜角与斜率 【教用·微提醒】　(1)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴绕一定点按逆时针方向旋转到与直线重合时所得到的最小正角(未作旋转时倾斜角为0°)． (2)倾斜角从“形”的方面体现了直线对x轴的倾斜程度，倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等． (3)一条直线的倾斜角存在且唯一． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.1.1　倾斜角与斜率 [典例讲评]　1．(1)若直线l向上的方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为(　　) A．30°　 B．60°　　 C．30°或150°　　D．60°或120° (2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为(　　) A．α＋45°　B．α－135°　C．135°－α 　 　D．α－45° √ √ √ 整体感知 探究建构 应用迁移 2.1.1　倾斜角与斜率 (1)D　(2)AB　[(1)如图，直线l有两种情况，故直线l的倾斜角为60°或120°． (2)根据题意，画出图形，如图所示． 通过图象可知： 当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°； 当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°．] 反思领悟　求直线的倾斜角的方法及两点注意 1．方法：结合图形，利用定义求角． 2．两点注意：(1)当直线与x轴平行或重合时，直线的倾斜角为0°；当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°． (2)注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°．有时要根据题意把倾斜角α分为以下四种情况讨论：α＝0°，0°＜α＜90°，α＝90°，90°＜α＜180°． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.1.1　倾斜角与斜率 [学以致用]　1．(多选)下列命题中，正确的是(　　) A．任意一条直线都有唯一的倾斜角 B．一条直线的倾斜角可以为－30° C．倾斜角为0°的直线有无数条 D．若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0，1) AC　[任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此A正确，B错误，C正确．D中，当α＝0°时，sin α＝0；当α＝90°时，sin α＝1，故D错误．] √ √ 整体感知 探究建构 应用迁移 2.1.1　倾斜角与斜率 2．已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角α2＝_____． 135°　[设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°．] 135° 整体感知 探究建构 应用迁移 2.1.1　倾斜角与斜率 探究2　直线的斜率 探究问题3　在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α． (1)已知直线l经过O(0，0)，P(，1)，α与O，P的坐标有什么关系？ (2)类似地，如果直线l经过P1(－1，1)，P2(，0)，α与P1，P2的坐标有什么关系？ (3)一般地，如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α与P1，P2的坐标有什么关系？ [提示]　(1)tan α＝＝．(2)tan α＝＝1－．(3)tan α＝． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.1.1　倾斜角与斜率 [新知生成] 1．斜率的定义：一条直线的倾斜角α的______叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝______． 2．斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝ ．当x1＝x2时，直线P1P2的斜率不存在． 3．直线的斜率与方向向量的关系 (1)若直线l的斜率为k，则直线l的一个方向向量的坐标为________． (2)若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，则直线l的斜率k＝____． 正切值 tan α (1，k) 整体感知 探究建构 应用迁移 2.1.1　倾斜角与斜率 【教用·微提醒】　(1)当x1＝x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°． (2)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关． (3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换． (4)若直线与x轴平行或重合，则k＝0． c 整体感知 探究建构 应用迁移 2.1.1　倾斜角与斜率 【链接·教材例题】 例1　如图2.1-6，已知A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角． [解]　直线AB的斜率kAB＝＝； 直线BC的斜率kBC＝＝＝－； 直线CA的斜率kCA＝＝＝1． 由kAB＞0及kCA＞0可知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角；由kBC＜0可知，直线BC的倾斜角为钝角． c 整体感知 探究建构 应用迁移 2.1.1　倾斜角与斜率 [典例讲评]　2．(1)求经过两点A(2m，1)，B(m，2)(m∈R)的直线l的斜率； (2)过原点且斜率为1的直线l绕原点逆时针旋转90°，求所得直线的斜率； (3)若三点A(2，－3)，B(4，3)，C(5，k)在同一条直线上，求k的值； (4)已知点A(－1，－3)，B(0，－1)，C(4，7)，试判断这三点是否共线． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.1.1　倾斜角与斜率 [解]　(1)当直线l垂直于x轴，即2m＝m，m＝0时，其斜率不存在； 当2m≠m，即m≠0时，直线l的斜率k＝＝－． (2)∵直线l过原点且斜率为1， ∴直线l的倾斜角为45°． 直线l绕原点逆时针旋转90°后所得直线的倾斜角为135°， 故所求直线的斜率k＝tan 135°＝－1． (3)∵点A，B，C在同一条直线上，且三点的横坐标均不相等，kAB＝＝3存在， ∴kAB＝kBC，即3＝，解得k＝6． (4)∵A，B，C三点的横坐标均不相等， ∴kAB＝＝2，kAC＝＝2， ∴kAB＝kAC．又A为公共点， ∴直线AB与AC重合，∴A，B，C三点共线． 反思领悟　1．直线斜率的基本求法 (1)利用两点坐标求直线的斜率，即k＝(x1≠x2)，用此法时要注意两点的横坐标不能相等，同时要注意横、纵坐标必须对应． (2)利用倾斜角求斜率，即k＝tan α，用此法时一定注意倾斜角为90°时，直线的斜率不存在． 2．利用斜率公式求直线的斜率时，如果点的坐标中含有参数，需要先对直线斜率是否存在作出判断，即对参数进行分类讨论． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.1.1　倾斜角与斜率 3．判断三点共线的方法 对于给定坐标的三点，要判断三点是否共线，先判断任意两点连线的斜率是否存在． (1)若斜率都不存在，则三点共线． (2)若斜率存在，则任意两点连线的斜率相等时，三点才共线． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.1.1　倾斜角与斜率 [学以致用]　3．(源自人教B版教材)已知A(－2，－1)，B(0，－3)，C(1，－4)，D(2，－6)，则A，B，C共线吗？A，B，D呢？ [解]　因为kAB＝＝－1，kAC＝＝－1，kAD＝＝－， 所以kAB＝kAC≠kAD，因此A，B，C共线，而A，B，D不共线． 4．求经过两点A(a，2)，B(3，6)的直线的斜率． [解]　当a＝3时，斜率不存在；当a≠3时，直线的斜率k＝． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.1.1　倾斜角与斜率 探究3　倾斜角和斜率的综合应用 探究问题4　当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°，其斜率如何 变化？ [提示]　当倾斜角为锐角时，斜率为正，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，而且斜率随着倾斜角的增大而增大． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.1.1　倾斜角与斜率 [新知生成] 1．设直线的倾斜角为α，斜率为k． α的大小 0° 0°＜α＜90° 90° 90°＜α＜180° k的范围 k＝0 k＞0 不存在 k＜0 k的增减性   随α的增大而____   随α的增大而____ 增大 增大 整体感知 探究建构 应用迁移 2.1.1　倾斜角与斜率 2．下面特殊角的正切值要熟记： 倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率k 0 1 ______ －1 _____ 【教用·微提醒】　(1)根据正切函数在[0，π)上的图象可知，倾斜角与斜率之间是一一对应的，即可以用k的值判定倾斜角的情况． (2)正确分析斜率随倾斜角的变化规律，注意90°倾斜角没有斜率． － － c 整体感知 探究建构 应用迁移 2.1.1　倾斜角与斜率 [典例讲评]　3．(1)设点A(3，－3)，B(－2，－2)，直线l过点P(1，1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是(　　) A．k≥1或k≤－4 B．k≥1或k≤－2 C．－4≤k≤1 D．－2≤k≤1 (2)(源自北师大版教材)根据下列条件，求直线l的倾斜角： ①斜率为－； ②经过A(－2，0)，B(－5，3)两点； ③一个方向向量为＝． √ 整体感知 探究建构 应用迁移 2.1.1　倾斜角与斜率 (1)B　[如图，直线PB的斜率为kPB＝＝1，直线PA的斜率为kPA＝＝－2，当直线l与线段AB相交时，则l的斜率k的取值范围是k≥1或k≤－2． 故选B．] (2)[解]　设直线l的倾斜角为α． ①因为直线l的斜率为－，所以tan α＝－． 又因为0≤α<π，所以α＝． ②由经过两点的直线斜率的计算公式，可得直线l的斜率k＝＝－1， 又因为0≤α<π，所以α＝． ③由直线l的一个方向向量为＝，可得斜率k＝＝，又因为0≤α<π，所以α＝． [母题探究]　若将本例(1)中“B(－2，－2)”改为“B(2，2)”，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围． [解]　∵P(1，1)，A(3，－3)，B(2，2)， ∴kAP＝－2，kBP＝1， 由图可知，直线l的斜率的取值范围为[－2，1]． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.1.1　倾斜角与斜率 反思领悟　倾斜角和斜率的应用 (1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者要相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.1.1　倾斜角与斜率 [学以致用]　5．若直线l的倾斜角为α，且45°≤α≤135°，则直线l斜率的取值范围为(　　) A．[1，＋∞) B．(－∞，－1] C．[－1，1] D．[1，＋∞)∪(－∞，－1] √ 整体感知 探究建构 应用迁移 2.1.1　倾斜角与斜率 D　[直线倾斜角为45°时，斜率为1，直线倾斜角为135°时，斜率为－1， 当倾斜角为90°时，斜率不存在，因为k＝tan α在上单调递增，在上单调递增，所以当45°≤α≤135°时，k的取值范围是[1，＋∞)∪(－∞，－1]．故选D．] 【教用·备选题】　已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，试求的最大值和最小值． [解]　的几何意义是过点(－2，－3)和曲线y＝x2－2x＋2(－1≤x ≤1)上任意一点(x，y)的直线的斜率． 对于y＝x2－2x＋2，当x＝－1时，y＝5；当x＝1时，y＝1． c 整体感知 探究建构 应用迁移 2.1.1　倾斜角与斜率 设点(－1，5)为B，点(1，1)为A，点(－2，－3)为P，如图所示． 由图可知，当直线经过点P(－2，－3)和B(－1，5)时，斜率最大；当直线经过点P(－2，－3)和A(1，1)时，斜率最小． 又kPA＝＝，kPB＝＝8， 所以的最大值为8，最小值为． c 1．(多选)设直线l与x轴交于点A，其倾斜角为α，直线l绕点A顺时针旋转60°后得直线l1，则直线l1的倾斜角可能为(　　) A．α＋60°　　　 B．α＋120° C．α－60° D．120°－α 2 4 3 题号 1 应用迁移 √ √ BC　[直线l绕点A顺时针旋转60°后得直线l1，当α≥60°时，直线l1的倾斜角为α－60°，当0°≤α<60°时，直线l1的倾斜角为α－60°＋180°＝120°＋α．] 2.1.1　倾斜角与斜率 2．(多选)下列说法正确的有(　　) A．每一条直线都有且仅有一个倾斜角与之对应 B．倾斜角为135°的直线的斜率为1 C．一条直线的倾斜角为α，则其斜率为k＝tan α D．直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞) 2 3 题号 1 4 √ √ 整体感知 探究建构 应用迁移 2.1.1　倾斜角与斜率 AD　[对于A，每一条直线都有且仅有一个倾斜角与之对应，故A正确； 对于B，倾斜角为135°的直线的斜率为－1，故B错误； 对于C，一条直线的倾斜角为α，则其斜率为k＝tan α，故C错误； 对于D，直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)，故D正确．故选AD．] 2 3 题号 1 4 3．已知点A(－1，4)，B(2，7)在直线l上，则直线l的倾斜角的大小为(　　) A． B． C． D． 2 3 题号 4 1 √ C　[直线l的斜率为k＝＝1，设直线l的倾斜角为α，则tan α＝1，因为α∈[0，π)，所以α＝．故选C．] 整体感知 探究建构 应用迁移 2.1.1　倾斜角与斜率 4．已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m，1)，当m＝______时，直线l的斜率是1． 2 4 3 题号 1 　[kMN＝＝1，解得m＝．] 　 整体感知 探究建构 应用迁移 2.1.1　倾斜角与斜率 1．知识链：(1)直线的倾斜角． (2)直线的斜率． (3)直线的方向向量与斜率的关系． (4)直线的倾斜角与斜率的综合应用． 2．方法链：数形结合、分类讨论． 3．警示牌：(1)对直线的斜率与倾斜角理解不透彻，忽略直线的斜率不存在致错． (2)对直线的方向向量与斜率的关系搞不清楚． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.1.1　倾斜角与斜率 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．直线的倾斜角是如何定义的？其取值范围是什么？ [提示]　当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°，因此，直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.1.1　倾斜角与斜率 2．直线的斜率是如何定义的？直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2)的斜率公式是什么？ [提示]　把一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率，倾斜角是90°的直线没有斜率． 直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的斜率公式是k＝． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.1.1　倾斜角与斜率 3．直线的斜率k和直线的方向向量有怎样的关系？ [提示]　若直线的斜率为k，则n＝(1，k)是其方向向量． 反之若直线的方向向量n＝(x，y)，则斜率k＝(x≠0)． 整体感知 探究建构 应用迁移 2.1.1　倾斜角与斜率 $$