22.3实际问题与二次函数 同步练习2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.3实际问题与二次函数 同步练习2025-2026学年人教版数学九年级上册 学校:___________姓名:___________班级:__________学号:___________ 一、单选题 1．正方形的边长为3，若边长增加，则面积增加，关于的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 2．河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=﹣x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（ ） A．﹣20m B．10m C．20m D．﹣10m 3．某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每周可卖出200件.市场调查发现，每件售价每涨价1元，每周要少卖出5件,则每周售出该商品的利润（单位：元）与每件售价涨价（单位：元）之间的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 4．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门，已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，则能建成的饲养室面积最大为（ ） A. B. C. D. 5．如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方的处发出，把球看成点，其运行的高度（单位：）与运行的水平距离（单位：）满足关系式:.已知球网与点的水平距离为，高度为，球场的边界距点的水平距离为.下列判断正确的是（ ） A. 球运行的最大高度是 B. 球不会过球网 C. 球会过球网但不会出界 D. 球会过球网但会出界 6．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：）与旋钮的旋转角度x（单位：度）(0°＜x≤90°)近似满足函数关系(a≠0)．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（　　） A．18° B．36° C．41° D．58° 7．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度(单位：)与小球运动时间(单位：)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度时，．其中正确的是(    ) A．①④ B．①② C．②③④ D．②③ 8．如图，在 中， ， ， ，动点 从点 出发沿 边以 的速度向点 运动，同时动点 从点 出发沿 边以 的速度向点 运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动，则运动过程中所构成的 的面积 与运动时间 之间的函数图象大致是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 9．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价.若每件商品的售价为元，则可卖出件，销售这批商品所得利润（元）与售价（元/件）之间的函数关系式为________________________________.（无需写出自变量的取值范围） 10．相框边的宽度影响可放入照片的尺寸.如图，某相框长为，宽为，相框边的宽为，相框内的面积（空白部分）是，则关于的函数表达式为________________________.（无需写出自变量的取值范围） 11．飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)关于滑行时间t(单位:s)的函数表达式是y=60t-t2.在飞机着陆滑行中,最后3 s滑行的距离是　　　　m.  12．“直播带货”已经成为一种热门的销售方式,某主播代销某一品牌的电子产品(这里代销指厂家先免费提供货源,待货物销售后再进行结算,未售出的由厂家负责处理).销售中发现每件售价99元时,日销售量为200件,当每件电子产品的售价每下降5元时,日销售量会增加10件.已知每售出1件电子产品,该主播需支付厂家和其他费用共50元,设每件电子产品售价为x(元),主播每天的利润为w(元),则w与x之间的函数关系式为____. 13．九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地，地上两段围墙于点（如图），其中上的段围墙空缺.同学们测得，，，，，班长买来可切断的围栏，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是____. 14．某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量（个）与销售价格（元/个）的关系如图所示，当时，其图象是线段，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为____元（利润总销售额-总成本）. 15．如图，院子里有块直角三角形空地， ，直角边，.现准备修一个如图所示的矩形养鱼池，当矩形面积最大时，的长为____________. 16．［较难］某日6时至10时，某交易平台上一种水果的每千克售价（元）、每千克成本（元）与交易时刻（时）之间的关系分别如图（1）、图（2）所示（图（1）、图（2）中的图像分别是线段和抛物线，其中点是抛物线的顶点）．在这段时间内，出售每千克这种水果收益最大的时刻是____，此时每千克的收益是__________. 三、解答题 17．为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量千克与每平方米种植的株数（，且为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克． （1） 求关于的函数表达式； （2） 每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？ 18．某化工材料经售公司购进了一种化工原料，进货价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元．市场调查发现：单价每千克70元时日均销售；单价每千克降低一元，日均多售．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按一天计算）． （1）如果日均获利1950元，求销售单价； （2）销售单价为多少时，可获得最大利润？最大利润为多少． 19．某农场计划建造一个矩形养殖场,为充分利用现有资源,该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为10 m),另外三面用栅栏围成,中间再用栅栏把它分成两个面积为1∶2的矩形,已知栅栏的总长度为24 m,设较小矩形的宽为x m(如图). (1)若矩形养殖场的总面积为36 m2,求此时x的值; (2)当x为多少时,矩形养殖场的总面积最大?最大值为多少? 20．如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m． （1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离； （2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？ （3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ 参考答案 1．【答案】A 【解析】 原来的正方形 变化后的正方形 增加的面积 边长 面积 边长 面积 3 9 由表可知.故选A. 2．【答案】C 【详解】解：根据题意，把y=﹣4直接代入解析式y=﹣x2 解得x=±10， 所以A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4）， 即可得水面宽度AB为20m， 故此题答案为C. 3．【答案】A 4．【答案】A 【解析】设该饲养室垂直于原有墙的墙面长为,则平行于原有墙的墙面长为, 该饲养室的面积，故能建成的饲养室面积最大为. 5．【答案】D 【解析】， 球运行的最大高度为，A选项说法错误；当时，， 球会过球网，B选项说法错误；当时，， 球会过球网但会出界，C选项说法错误,D选项说法正确. 6．【答案】C 【分析】根据题意将函数图像补全完整，根据图像即可求得． 【详解】解：由题意可知函数图象为开口向上的抛物线，由图表数据描点连线，补全图可得如图， ∴抛物线对称轴在36和54之间，约为41°， ∴旋钮的旋转角度x在36°和54°之间，约为41°时，燃气灶烧开一壶水最节省燃气． 故此题答案为C． 7．【答案】D 【分析】根据函数的图象中的信息判断即可． 【详解】①由图象知小球在空中达到的最大高度是，故①错误； ②小球抛出3秒后，速度越来越快，故②正确； ③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0，故③正确； ④设函数解析式为， 把代入得，解得， ∴函数解析式为， 把代入解析式得， 解得或， ∴小球的高度时，或，故④错误． 8．【答案】C 【详解】由题意得 ， ， ， 的面积 与运动时间 之间的函数关系式为 ，故选C. 9．【答案】 【解析】根据题意得.故答案为. 10．【答案】 【解析】根据题意，得，整理得.故答案为. 11．【答案】13.5　 【解析】当y取得最大值时,飞机停下来.y=60t-t2=-(t-20)2+600,即当t=20时,飞机滑行距离最远,为600 m,然后停下来.当t=17时,y=586.5,600-586.5=13.5(m),故答案为13.5. 【关键点拨】 首先确定飞机最大滑行时间与最远滑行距离,然后确定最后3 s滑行的距离. 12．【答案】w=(x-50)（200+ ×10） 【详解】每件电子产品售价为x元,则每件盈利(x-50)元,每天可销售（200+ ×10）件,故可得w与x之间的函数关系式为w=(x-50)（200+ ×10）. 13．【答案】46.4 【解析】设矩形菜地在射线上的边长为. 当时，，当时，最大，最大面积为.当时，，在的范围内，均小于，所以该菜地的最大面积为.故答案为 14．【答案】121 【解析】当时，设.把，代入可得解得 每天的销售量（个）与销售价格（元/个）之间的函数关系式为.设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为元，则，， 当时，有最大值，为121.故答案为121. 15．【答案】 【解析】如图，过点作，分别交，于， ，，，，，.设，，矩形的面积为，则，.,,，即，整理，得，.， 当时，最大，此时，. 16．【答案】9时； 元 【解析】设交易时刻（时）与每千克售价（元）之间的函数关系式为.将,代入,得解得所以.设每千克成本（元）与交易时刻（时）之间的函数关系式为.将代入，得,解得，所以.设在这段时间内，出售每千克这种水果的收益为元.根据题意，得，则, 当时，，取得最大值．故答案为9时，元． 17．【答案】 （1） 【解】 每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，. 答：关于的函数表达式为（，且为整数）. （2） 设每平方米获得的产量为千克. 根据题意得， 当时，取最大值，最大值为12.5. 答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克． 【关键点拨】 （1）根据每平方米种植的株数每增加1株,单株产量减少0.5千克列式即可.（2）产量=每平方米种植株数单株产量,据此列函数关系式,进而根据二次函数的性质求解. 18．【答案】（1）65；（2）当单价为65时，日获利最大，最大利润为1950元． 【分析】（1）若销售单价为x元，则每千克降低（70-x）元，日均多销售出2（70-x）千克，日均销售量为[60+2（70-x）]千克，每千克获利（x-30）元，根据题意可得等量关系：每千克利润×销售量-500元=总利润，根据等量关系列出方程即可； （2）运用配方法配成顶点式，得顶点坐标，结合x的取值范围即可求得结论． 【详解】解：（1）设销售单价为 x元，由题意得： （x-30）[60+2（70-x）]-500=1950， 解得：x1=x2=65， ∵销售单价不得高于每千克70元，也不得低于每千克30元， ∴x=65符合题意， 答：销售单价为65元时，日均获利为1950元； （2）设销售单价为 x元，可获得利润为y，由题意得： y=（x-30）[60+2（70-x）]-500=-2x2+260x-6500（30≤x≤70）， ∴y=-2x2+260x-6500可化为y=-2（x-65）2+1950的形式， ∴顶点坐标为（65，1950）， ∵30＜65＜70， 当单价定为65元时，日均获利最大，最大利润为1950元． 19．【答案】【解】(1)根据题意知，题图中右边较大矩形的宽为2x m，则长为＝(8－x)m，∴(x＋2x)(8－x)＝36，解得x＝2或x＝6.经检验，当x＝6时，3x＝18＞10，不符合题意，舍去，∴x＝2.答：此时x的值为2. (2)设矩形养殖场的总面积是y m2.∵墙的长度为10 m，∴0＜x≤.根据题意得y＝(x＋2x)×(8－x)＝－3x2＋24x＝－3(x－4)2＋48.∵－3＜0，∴当x＝时，y取最大值，最大值为－3×＋48＝.答：当x＝时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为. 20．【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=x2+2x+4，拱顶D到地面OA的距离为10m；（2）可以通过，理由见解析；（3）两排灯的水平距离最小是 【分析】（1）根据点B和点C在函数图象上，利用待定系数法求出b和c的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标； （2）根据题意得出车最外侧与地面OA的交点为（2，0）（或（10，0）），然后求出当x=2或x=10时y的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过； （3）将y=8代入函数，得出x的值，然后进行做差得出最小值． 【详解】解：（1）由题知点在抛物线上， 所以， 解得， ∴， ∴当时，， ∴抛物线解析式为，拱顶D到地面OA的距离为10米； （2）由题知车最外侧与地面OA的交点为（2，0）（或（10，0））， 当x=2或x=10时，， 所以可以通过； （3）令，即，可得，解得， . 答：两排灯的水平距离最小是. 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$