26.1.2反比例函数的图形和性质 第2课时 课件 2025-2026学年 人教版九年级下册数学

---第2课时 人教版 九年级下 26.1.2反比例函数的图像和性质 反比例函数 (k≠0) 图象 k 图象的 性质 图象位于第一、三象限 图象位于第二、四象限 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小 在每一个象限内，y 随x 的增大而增大 说一说：反比例函数 (k≠0)的图像和性质分别是什么？完成下面的表格。 关于原点中心对称的双曲线 k > 0 k < 0 回顾旧知 例1、已知反比例函数的图象经过点 A (2，6). (1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？ 解：因为点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、三象限；在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小. 探究一：待定系数求反比例函数的解析式 (2) 点B(3，4)， C( ， )，D(2，5)是否在这个函数的 图象上？ 合作探究 解：设这个反比例函数的解析式为 ，因为点A (2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k =12. 因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上. 所以反比例函数的解析式为 . 知识点拨：判断点是否在反比例函数图象上的两种方法 （1）将点的横坐标作为x的值代入解析式，计算出y的值， 看点的纵坐标是否与所求出的y值相等；（2）看点的横、纵坐标之积是否等于反比例函数 的比例系数k. 合作探究 1、已知反比例函数 的图象经过点 A (2，3)． (1) 求这个函数的表达式； 解：（1）∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2，3)， ∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 ， 　　 解得 k = 6. ∴ 这个函数的表达式为 . 　　 (2) 当 －3< x <－1 时，求 y 的取值范围． 解：∵ 当 x = －3时，y =－2；当 x = －1时，y =－6，且 k > 0， ∴ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 －3 < x < －1 时，－6 < y < －2. 趁热打铁 在反比例函数 的图象上分别取点A，B 向x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写下页表格： 探究二：k的几何含义 合作探究 5 1 2 3 4 -1 5 x y O A S1 S2 A (2，2) B (4，1) S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想 S1，S2 与 k的关系 4 4 S1=S2 S1=S2=k -5 -4 -3 1 4 3 2 -3 -2 -4 -5 -1 B -2 合作探究 S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想S1,S2与 k 的关系 P (－1，4) Q (－2，2) 2. 若在反比例函数 中也 用同样的方法分别取 P，Q两点， 填写表格： 4 4 S1=S2 S1=S2=－k y x O P Q S1 S2 合作探究 由前面的探究过程，可以猜想： 若点P是反比例函数 图象上的任意一点，作 PA 垂直于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴，矩形 AOBP 的面积与k的关系是S矩形 AOBP=|k|. 合作探究 合作探究 y x O P S 设点 P 的坐标为 (a，b) A B ∵点 P (a，b) 在函数 的图象上， ∴ ，即 ab=k. ∴ S矩形 AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k； 若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0， 若点 P 在第四象限，则 a>0，b<0， ∴ S矩形 AOBP=PB·PA=a· (－b)=－ab=－k. B P A 综上，S矩形 AOBP=|k|. 我们就 k < 0 的情况给出证明： 对于反比例函数 ，点 Q 是其图象上的任意一点，作 QA 垂直于 y 轴，作QB 垂直于x 轴，矩形AOBQ 的面积与 k 的关系是S矩形AOBQ= . 推理：△QAO与△QBO的面积和 k 的关系是 S△QAO=S△QBO= . Q A B |k| y x O 归纳总结： 反比例函数的面积不变性！ 合作探究 A. SA >SB>SC B. SA<SB<SC C. SA =SB=SC D. SA<SC<SB 1、如图，在函数 (x＞0)的图象上有三点A，B ，C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、 y轴围成的矩形的面积分别为SA ，SB，SC，则( ) y x O A B C C 趁热打铁 3. 如图，过反比例函数 的图象上的一点 P，作PA⊥x 轴于A. 若△POA 的面积为 4，则 k = . －8 y x O P A 2. 若点 P 是反比例函数图象上的一点，过点 P 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点 M，N，若四边形 PMON 的面积为 5，则这个反比例函数的关系式是 . 或 趁热打铁 4、如图，P，C是函数 (x>0) 图象上的任意两点，PA，CD 垂直于 x 轴. 设 △POA 的面积为 S1，则 S1 = ；梯形CEAD 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小关系是 S1 S2；△POE 的面 积 S3 和 S2 的大小关系是S2 S3. 1.5 S1 S2 ＞ ＝ S3 合作探究 探究三：反比例函数与一次函数的综合应用 在同一坐标系中，函数 和 y= k2 x+b 的图象大致如下，则 k1 、k2、b各应满足什么条件？ k2 >0 b >0 k1 >0 k2 >0 b <0 k1 >0 ① x y O x y O ② 合作探究 k2 <0 b <0 k1 <0 k2 <0 b >0 ③ x y O k1 >0 ④ x y O 合作探究 1、函数 y=kx－k 与 的图象大致是 ( ) D. x y O C. y A. y x B. x y O D O O × × × √ x 趁热打铁 2、如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A、B两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是（ ）． A．x＜－1　 B．x＞2　 C．－1＜x＜0，或x＞2 D．x＜－1，或0＜x＜2 -3 x A B O y 2 1 2 3 -1 -2 1 3 -3 -1 -2 ① ② ③ ④ C 趁热打铁 3、已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P (－3，4).试求出它们的解析式. 由于这两个函数的图象交于点 P (－3，4)，则点 P (－3，4) 是这两个函数图象上的点， 即点 P 的坐标分别满足这两个函数解析式. 解：设正比例函数、反比例函数的解析式分别为y=k1x 和 . 所以 . 解得 ， . 知识点拨：正比例函数与反比例函数都是关于原点对称的图形。 趁热打铁 A. 4 B. 2 C. －2 D.不确定 1. 如图， P 是反比例函数 的图象上一点，过点 P 作 PB ⊥x 轴于点 B，连接O P 在 y 轴上，且△OBP 的面积为 2，则 k 的值为( ) O B P x y A 综合演练 2、如图，函数 y＝-x 与函数 的图象相交于A，B 两点，过点 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为C，D，则四边形ACBD的面积为( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 D y x O C A B D 4 4 知识点拨：解决反比例函数有关的面积问题，可以把原图形通过切割、平移等变换，转化为较容易求面积的图形. 综合演练 3、在同一直角坐标系中，函数 与 y = ax+1(a≠0) 的图象可能是( ) A. y x O B. y x O C. y x O D. y x O B 综合演练 y D B A C x 4、如图，点 A 是反比例函数 (x＞0)的图象上任意一点，AB//x 轴交反比例函数 (x＜0) 的图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上， S ABCD =___. 3 2 5  综合演练 5、如图，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 是AB 上的点，△ AOC 的面积 S1、△ BOD 的面积 S2、 △ POE 的面积 S3 的大小关系为 . S1 = S2 < S3 知识点拨：由反比例函数面积的不变性易知 S1 = S2. PE 与双曲线的一支交于点 F，连接 OF，易知，S△OFE = S1 = S2，而 S3＞S△OFE，所以 S1，S2，S3的大小关系为S1 = S2 < S3 F S1 S2 S3 综合演练 x y O B A 6. 如图，直线 y=ax + b 与双曲线 交于 A(1，2)，B(m，－4)两点，(1) 求直线与双曲线的解析式； 所以一次函数的解析式为 y = 4x－2. 把A，B两点坐标代入一次函数解析式中，得到a =4，b =－2. 解：把 B(1，2)代入双曲线解析式中， 得 k = 2，故其解析式为 . 当y =－4时，m= . 综合演练 (2) 求不等式 ax + b＞ 的解集. x y O B A 解：根据图象可知，若 ax + b＞ ， 则 x＞1或 ＜x＜0. 综合演练 7. 如图，反比例函数 与一次函数 y =－x + 2 的图象交于 A，B 两点.(1) 求 A，B 两点的坐标； A y O B x 解： y=－x + 2 ， 解得 x = 4， y =－2 所以A(－2，4)，B(4，－2). 或 x = －2， y = 4. 提能训练 作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D， 则AC=4，BD=2. (2) 求△AOB的面积. 解：一次函数与x轴的交点为M (2，0)， ∴OM=2. O A y B x M C D ∴S△OMB=OM·BD÷2=2×2÷2=2， ∴S△OMA=OM·AC÷2=2×4÷2=4， ∴S△AOB=S△OMB+S△OMA=2+4=6. 提能训练 课堂总结 说一说 1、求反比例函数的表达式需要几个已知点的坐标？ 2、k的几何含义是是什么？ 3、反比例函数与一次函数的综合应用有哪些方面？ 本节课你有哪些收获？ 谢谢 汇报人：WPS $$