精品解析：甘肃省会宁县第一中学2024-2025学年高二下学期7月期末数学试题

高二年级下学期期末考试模拟卷 数学试卷 （120分钟150分） 考试范围：高考全部内容. 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，得出当时，当时，建立不等式组，即可求出的取值范围. 【详解】因为，，， 所以， ∴，解得：. 故选：D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】本题首先可求解不等式以及，然后通过充要条件的判定即可得出结果. 【详解】，，解得， ，，解得， 则“”是“”的充要条件， 故选：C. 3. 圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆心在，可设圆的一般方程为，然后代点求解即可. 【详解】解析：设所求圆的方程为， 因为该圆过点，， 所以解得， 所以该圆的方程为. 故选：A. 4. 若直线平面，且的方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面的位置关系得出直线方向向量和平面法向量的位置关系，再结合两向量平行的坐标表示，即可求解. 【详解】直线平面， ，又易知，， ， 解得，，则. 故选：A. 5. 已知某容器的高度为20 cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位:cm）与时间t（单位:s）的函数关系式为.当时，液体上升高度的瞬时变化率为cm/s，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为（ ） A. 2 cm/s B. 4 cm/s C. 6 cm/s D. 8 cm/s 【答案】B 【解析】 【分析】由导数的定义先求，由求出，进而得代入即可求解. 【详解】由有，当时，，即，所以，解得或（舍去）， 当时，，即当时，液体上升高度的瞬时变化率为， 故选：B. 6. 设袋中有20个红球，30个白球，若从袋中任取5个球，则其中恰有2个红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据超几何分布概率计算公式求解即可. 【详解】从袋中任取5个球，共有种取法， 其中恰有2个红球的取法为， 所以从袋中任取5个球，则其中恰有2个红球的概率为. 故选：. 7. 若随机变量，且，则的展开式中项的系数是（ ） A. B. 40 C. D. 270 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的性质，求得，化简得到，结合二项展开式的通项，进而求得展开式中对应的系数，得到答案. 【详解】由随机变量，可得， 因为，可得，解得， 所以， 又由的展开式的通项为， 所以多项式展开式中对应项为， 所以多项式展开式中对应的系数为. 故选：B. 8. 记Sn为数列{an}的前n项和，已知，（n为正整数）.若，且，则正整数m=（ ） A. 23 B. 22 C. 11 D. 44 【答案】B 【解析】 【分析】由，得出数列的通项公式，然后求得的通项公式，验证时不成立，当时，确定，代入计算得到，解得答案. 【详解】由，，得， 且当时，，即.    故数列从第2项开始构成以为首项，5为公比的等比数列，， 故数列的通项公式为， 当时，，又. 即， 当时，，不满足题意；     当时， 由， 解得. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 曲线的切线的倾斜角为，则该切点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】求导，设切点，利用导数几何意义得到方程，求出，进而得到答案. 【详解】，设切点坐标为， 则，解得， 当时，，切点的坐标为， 当时，，切点的坐标为. 故选：CD 10. 已知，均为正数，随机变量的分布列如下表： 0 2 3 则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. 当时，取最大值 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据分布列的性质，得到，可判定A错误；求得期望，可判定B正确；结合基本不等式，可判定C正确；由方差的性质得到，结合二次函数的性质，可得判定D错误. 【详解】对于A中，由分布列性质，可得，无法确定与之间的大小关系，所以A错误； 对于B中，因为，所以B正确； 对于C中，因为均为正数，所以，即， 当且仅当时，等号成立，所以C正确； 对于D中，由方差的性质，可得， 因为，可得，所以，所以D错误. 故选：BC. 11. 已知等边的边长为，顶点在平面内，顶点，在平面外的同一侧，点，分别为，在平面内的射影，且，直线与平面所成的角为，，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设出，坐标，用向量数量积的公式和坐标表示分别表示，即可求出；根据勾股定理得出的范围，再根据题意，结合的值，即可求出的范围；根据图形线面、线线的位置关系，可以得出直线与平面所成的角，即可利用直角三角形三角函数值表示，从而求出其最小值. 【详解】如图所示，以点为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，设，， 则，且， 可得，因此，选项A正确； 因为，即，所以， 根据勾股定理，， 所以，又，所以， 综上，，即，选项B正确； 又因为 所以，即的最小值为，选项C正确，选项D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在正六边形中，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形中的三角函数值以及勾股定理求出，再由向量的加法原则求解即可. 【详解】如图所示，过点作的垂线，垂足为， 根据直角三角形的性质： ，， 根据勾股定理，在中，， 因此. 故答案为：. 13. 若正四棱柱的底面边长为，与底面成角，则三棱锥的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求出正四棱柱的高，根据三角形的面积公式依次求出三棱锥每个面的面积，相加即可得三棱锥的表面积. 【详解】由与底面成角，且正四棱柱的底面边长为1，可知棱柱的高为， 三棱锥的表面积为：， 即 故答案为：. 14. 设点A在直线上，点B在函数的图象上，则的最小值为____. 【答案】 【解析】 【分析】设切点为，由切线与平行即可求出切点，最后由点到直线的距离公式即可求解. 【详解】设切点为，则切线与平行， 即有，所以，所以切点， 当点为切点时，点到直线距离最小， 由点到直线的距离公式有， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，，其中A是内角，. （1）求角A的大小； （2）若角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出，由可得，由可得B为钝角，由此可求结论； （2）根据正弦定理证明，，化简可得，根据在上单调递减即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以，由，得B为钝角， 则A为锐角，故，所以，故； 【小问2详解】 因为，由正弦定理得， 所以，， 则， 因为函数，在上单调递减， 所以在上单调递减， 代入值计算得， 故的取值范围为. 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，，. （1）求点到平面的距离； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量法求点到面的距离，根据平面法向量的求解步骤，求出平面的一个法向量，再运用距离公式求解即可； （2）利用空间向量法求二面角，分别求出平面与平面的一个法向量，再根据二面角与平面法向量夹角的求解公式求解即可. 【小问1详解】 以为原点，以，，方向分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，， 设平面的法向量为， 则，不妨取，则， 所以点到平面的距离. 【小问2详解】 由，设平面的法向量为， 则，不妨取，则， 又且为平面的一个法向量， 所以， 因为二面角为钝角，所以其余弦值为. 17. 已知直线与抛物线相切，且切点为. （1）求直线的斜率的值； （2）如图，M，N是轴上两个不同的动点，且满足，直线BM，BN与抛物线的另一个交点分别是P，Q，若直线PQ的斜率为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设直线l的方程，与抛物线联立方程组，消去x整理后，由求的值； （2）由题意知，两直线的斜率互为相反数，设直线BM的方程，与抛物线联立方程组，求点坐标，同理得点坐标，表示出直线PQ的斜率，化简得的值. 【小问1详解】 显然直线的斜率存在且不为0，设直线l的方程为， 与联立，消去x整理得， 令，即， 解得 【小问2详解】 由题意知，两直线的斜率互为相反数， 设直线BM的方程为，与联立，消去x整理得， 所以,得，从而， 将换成，同理可得， 所以. 18. 已知函数. （1）当时，求的单调区间; （2）设函数，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可得解； （2）将不等式转化为，利用导数可求得的单调性和最值，由此可得图象，将问题转化为图象恒在直线上方，采用数形结合的方式可构造不等式求得结果. 【小问1详解】 当时，定义域为， 则， 当时，；当时，； 的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 由恒成立，即恒成立， 即恒成立， 令，则定义域为， 则， 令，恒成立， 在上单调递增，又，， ，使得，即，， 则当时，，即；当时，，即； 在上单调递减，在上单调递增， ， 且当时，，当时，， 由此可得图象如下图所示， 因直线恒过定点，且斜率为， 若恒成立，结合图象可知：必有，解得， 实数的取值范围为. 19. 某地区为贯彻“绿水青山就是金山银山”的理念，鼓励农户利用荒坡种植果树.该地区统计局考察了四户不同人口（含家庭园丁等）的家庭种植情况，统计结果如下表： 家庭 人口人 3 4 5 6 种植果树数棵 10 20 40 50 （1）已知与具有较强的线性相关关系，求关于的经验回归方程. （2）假设该地区政府对种植果树的家庭发放100元每棵的净化环境补贴. （i）若该区家庭为大户人家，人口数为8人，根据（1）的结论估计该区政府要给家庭净化环境补贴的总金额； （ii）若将补贴细化到个人，且种植为个人独立完成，已知家庭中的两个小孩小明、小红至多种植一棵果树，且种植一棵果树的概率分别为，，若该地区政府对小明、小红两人的补贴总金额的期望不超过140元，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）7900元；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由已知求，利用最小二乘法求，，由此可得回归方程， （2）①由（1）所求回归方程，取求对应的预测值可得， ②设小明、小红两人中种植果树的人数为，确定的可能取值，再求取各值的概率，利用期望公式求期望，结合条件列不等式求的取值范围. 【小问1详解】 由题意得，， ，，， 所以，故得关于的经验回归方程为. 【小问2详解】 （i）将代入，得， 所以估计该地区政府要给家庭净化环境补贴的总金额为元. （ii）设小明、小红两人中种植果树的人数为，则的所有可能值为，，， 则， ， . . ，且，，故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级下学期期末考试模拟卷 数学试卷 （120分钟150分） 考试范围：高考全部内容. 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若直线平面，且的方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知某容器的高度为20 cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位:cm）与时间t（单位:s）的函数关系式为.当时，液体上升高度的瞬时变化率为cm/s，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为（ ） A. 2 cm/s B. 4 cm/s C. 6 cm/s D. 8 cm/s 6. 设袋中有20个红球，30个白球，若从袋中任取5个球，则其中恰有2个红球的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 若随机变量，且，则的展开式中项的系数是（ ） A. B. 40 C. D. 270 8. 记Sn为数列{an}的前n项和，已知，（n为正整数）.若，且，则正整数m=（ ） A. 23 B. 22 C. 11 D. 44 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 曲线的切线的倾斜角为，则该切点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，均为正数，随机变量的分布列如下表： 0 2 3 则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. 当时，取最大值 D. 11. 已知等边边长为，顶点在平面内，顶点，在平面外的同一侧，点，分别为，在平面内的射影，且，直线与平面所成的角为，，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在正六边形中，若，则______. 13. 若正四棱柱的底面边长为，与底面成角，则三棱锥的表面积为______. 14. 设点A在直线上，点B在函数的图象上，则的最小值为____. 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，，其中A是的内角，. （1）求角A的大小； （2）若角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，求的取值范围. 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，，. （1）求点到平面的距离； （2）求二面角的余弦值. 17. 已知直线与抛物线相切，且切点. （1）求直线的斜率的值； （2）如图，M，N是轴上两个不同的动点，且满足，直线BM，BN与抛物线的另一个交点分别是P，Q，若直线PQ的斜率为，求的值. 18. 已知函数. （1）当时，求的单调区间; （2）设函数，若恒成立，求实数的取值范围. 19. 某地区为贯彻“绿水青山就是金山银山”的理念，鼓励农户利用荒坡种植果树.该地区统计局考察了四户不同人口（含家庭园丁等）的家庭种植情况，统计结果如下表： 家庭 人口人 3 4 5 6 种植果树数棵 10 20 40 50 （1）已知与具有较强线性相关关系，求关于的经验回归方程. （2）假设该地区政府对种植果树家庭发放100元每棵的净化环境补贴. （i）若该区家庭为大户人家，人口数为8人，根据（1）的结论估计该区政府要给家庭净化环境补贴的总金额； （ii）若将补贴细化到个人，且种植为个人独立完成，已知家庭中的两个小孩小明、小红至多种植一棵果树，且种植一棵果树的概率分别为，，若该地区政府对小明、小红两人的补贴总金额的期望不超过140元，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $