专题01 相似三角形之（双）A字型与（双）8字型模型（几何模型讲义）数学沪教版五四制九年级上册

专题01 相似三角形之（双）A字型与（双）8字型模型 相似三角形是初中阶段最重要的几何知识，同时也是会经常作为压轴题出现；而相似三角形的模型问题则是解决此类问题的重要方法，学会将相似三角形的问题转化为简单的模型问题，这样就可以快速解决相似三角形的题型；相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形考查经常与其他知识点一起，如全等三角形、勾股定理、圆、二次函数和三角函数等，以综合题型为主，而且变化莫测。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8（X）字模型． 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.“A”字模型 6 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 9 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 14 17 “(双)A字型”与“(双)8字型”作为相似三角形的重要模型，并没有明确的起源时间或历史背景。这些模型是数学教育者和研究者为了解决特定几何问题而创造的，主要用于帮助学生理解和应用相似三角形的性质和判定方法。这些模型在数学教育中被广泛使用，特别是在中学几何教学中，帮助学生在解决复杂几何问题时提供直观的思路和工具。 （2025·四川成都·中考真题）如图，在中，点在边上，点关于直线的对称点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点． 【特例感知】 （1）如图1，当时，点在延长线上，求证：； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图2，当时，点在边上，若，求的值．（用含的代数式表示） 【答案】（1）见解析；（2）4；（3） 【分析】（1）由折叠的性质得：，再结合平行四边形的性质可得，然后根据三角形内角和定理可得，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到，可证明，从而得到，再由折叠的性质得：，再根据，可得，即可求解； （3）延长交于点，设，，证明得出，证明得出，证明得出，进而求得，根据得出，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：（1）由折叠的性质得：， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴； （3）解：如图，延长交于点， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴ ∵，即 ∴ ∴即 ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴ 又∵折叠， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴即 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ 又∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （2024·广东深圳·中考真题）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”． (1)如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”，，，则______；______； (2)如图2，若四边形为“垂中平行四边形”，且，猜想与的关系，并说明理由； (3)①如图3所示，在中，，，交于点，请画出以为边的垂中平行四边形，要求：点在垂中平行四边形的一条边上（不限作图工具）； ②若关于直线对称得到，连接，作射线交①中所画平行四边形的边于点，连接，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)①见解析；②或 【分析】（1）由“垂中平行四边形”的定义可得，，，，从而可得，由勾股定理得出，证明，得出，再由勾股定理计算即可得解； （2）由“垂中平行四边形”的定义可得，，，，证明，得出，设，则，，由勾股定理可得，求出，从而可得，即可得解； （3）①根据“垂中平行四边形”的定义画出图形即可；②根据①中画出的图形，分别结合相似三角形的判定与性质以及勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：∵四边形为“垂中平行四边形”， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵四边形为“垂中平行四边形”， ∴，，，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：①第一种情况：如图①，作的平行线，并使得，连接，则四边形为平行四边形， 延长交于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为的中点， ∴四边形即为所求的“垂中平行四边形”； 第二种情况：如图②，作的平分线，并取交的平分线于点，延长交的延长线于点，在射线上取，连接，故点为的中点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形为所求的“垂中平行四边形”； 第三种情况：如图③，作，交的延长线于点，连接，在的延长线上取点，使得，连接，则点为的中点， 同理可得证明，则，则四边形为平行四边形， 故四边形为所求的“垂中平行四边形”；     ②若按照上图①作图， 由题意可得，，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 作于，则， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 若按照上图②作图， 延长、交于点， 同理可得，是等腰三角形， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 若按照上图③作图，则没有交点，不存在，故不符合题意， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． “A”字模型：（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 　图2 　 　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 “X”字模型（“8”字模型）：图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO， 同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO； ∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。 “AX”字模型（“A8”字模型） ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。 ∴。 ②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC； 结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。 证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。 ∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。 两式相加得到：，即，故。 ③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。 证明:同②中的证法，易证：，， ∴，即AF=AG，故。 A字型和8（X）字型的应用难点在于过分割点（将线段分割的点）作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线（倍长中线就可以理解为一种间接作平行线），这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。 模型1.“A”字模型 例1（23-24九年级上·广东梅州·期中）如图，在中，点D、E分别在边上，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线分线段成比例，再准确的得到对应线段的比是解本题的关键． 根据，得到，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 例2（2025·广东深圳·三模）如图，在中，D，E分别是边，上的点，，且相似比为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积的比等于相似比的平方,先根据相似三角形的性质得到，然后根据比例的性质求解． 【详解】解：∵，且相似比为， ∴， ∴． 故选：A． 例3（24-25八年级下·山东淄博·期中）如图，为的边上一点，、分别为、上的点，且，，、、的面积分别记为、、，若，则 ． 【答案】36 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．利用相似三角形的判定和性质求出的面积即可解决问题． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 故答案为：． 例4（2025·云南文山·模拟预测）如图，、分别是的边、上的点，，若，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质．根据，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 例5（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，在上，．    (1)求证：∽； (2)若，则的值为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，适当选择相似三角形的判定定理证明∽及∽是解题的关键． （1）由，，得，，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （2）设，可推出和，进而求得与的关系，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ∽； （2）设， ∵， ∴，， ∴， ∴∽，∽， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为： 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 例1（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，，，是边的中点，是的中点，连接，交于点，则的长为（   ） A． B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，由勾股定理可求的长，由相似三角形的判定和性质可求的长，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【详解】解：，是边的中点， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， 故选：B． 例2（2025九年级下·重庆铜梁·学业考试）如图，在正方形中，，点P，F分别是边，上一点，连接，交于点E，过点F作，交于点G，若，则的长为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质．延长交的延长线于点H，依题意得，，，，证明得，则，，再证明，利用相似三角形的性质即可得出的长． 【详解】解：延长交的延长线于点H，如图所示： ∵四边形是正方形，且， ∴，，，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 例3（2025·云南楚雄·二模）如图，在矩形中，E是边的中点，连接交对角线于点F，则和的周长比为 ． 【答案】 【分析】此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，根据矩形可得，从而有，再根据性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵是边的中点， ∴， ∴， ∴和的周长比为， 故答案为：． 例4（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，点在的延长线上，与交于点． (1)求证：∽； (2)若的面积为，，求的面积． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)25 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、熟记相似三角形的判定与性质是正确解决本题的关键． （1）根据平行四边形的性质求出、，根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得解； （2）根据平行四边形的性质求出，进而推出，再根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”求解即可． 【详解】（1）证明∶四边形是平行四边形， ， ， ， ； （2）解∶ 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ． 例5（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）已知：在中，分别是边的中点， （1）若图1，求证：与互相平分． 【探索应用】 （2）如图2，点为的中点，连接交于点，设与交于点． ①求证：； ②求的值； （3）如图3，在菱形中，，，与交于点，点为边上一点，且为边的三等分点，直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②；（3） 【分析】（1）连接，，由三角形中位线的性质得，，推出四边形是平行四边形，即可证明与互相平分． （2）①先由是的中位线，得出，，再证，即可证明；②由，可得答案； （3）先证，推出．再分和两种情况，由菱形的性质及相似三角形的性质求出和 ，即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接，， 分别是边的中点， 是的中位线， ， 同理可证， 四边形是平行四边形， 与互相平分． （2）①证明：由（1）得与互相平分， ． 分别是边的中点， 是的中位线， ，， ，， 点E是的中点，点为的中点， ， ， 在和中， ， ； ②由①得，， ， ， ； （3）解：菱形中，，，与交于点， ，， ， ， ， 菱形中，， ，， ， ． 分两种情况，当时，如图： 则， ， ， ， ， ； 当时，如图： 则， ， ， ， ， ； 综上可知，的值为． 【点睛】本题考查菱形的性质，三角形中位线的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点，注意分类讨论． 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 例1（2024·安徽·三模）如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：、，，∴，，， ∴，，∴，，∴， ，∴，点是的中点，，，， ∴，，∴，∴，故选：． 例2（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；    小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程． （2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：． （3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【详解】（1）证明：∵，∴，∴．同理可得：， ∴，两边同时除以，得． （2）证明：∵，，，，∴，， ∵，∴，∴，同理，， ∴，∴， 两边同时除以得，，∴； （3）解：由（1）可知，，， ∴，解得，，∴，解得，，∴． 例3（2024·浙江·九年级期中）如图，中，中线，交于点，交于点．（1）求的值．（2）如果，，请找出与相似的三角形，并挑出一个进行证明． 【答案】（1）3；（2），证明见解析 【详解】解：（1）是的中点，是的中点，，， ，，，，， ，，，，，． （2）当，时，由（1）可得，，，，，，， 又，，，，， ，，． 1．（2025·云南昭通·二模）如图，在中，，分别为线段，的中点，若的周长为10，则的周长为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得到，则可证明，再根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：∵，分别为线段，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴的周长：的周长， ∵的周长为10， ∴的周长为20， 故选：D． 2．（2025·青海海东·二模）如图，在中，为边的三等分点，为边的三等分点，连接交于点，若，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定与性质、平行的判定与性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由题意可得、，再证明 先证明可得，易得，再证明，再根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵为边的三等分点，为边的三等分点， ，， ， ，， ， ， ， ， ，即． 故选：A． 3．（2025·云南楚雄·二模）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，点A，B，C，D均在格点上，连接，相交于点E，若小正方形的边长为1，则与的面积之比为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的面积比为相似比的平方，熟练掌握以上性质是解题关键．证明，得，最后根据面积比为相似比的平方可得答案． 【详解】解：由题意可知， ， ， 故而与的面积之比为相似比的平方，即， 故选：C． 4．（2025·陕西·模拟预测）如图，在平行四边形中，点为上的一点，交于点．若，，则的长度为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的性质，由平行四边形的性质可得，，证明得出，再进一步求解即可，熟练掌握平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ， 故选：C． 5．（2025·陕西·模拟预测）如图，在中，点D，E分别在边上，且，过点C作，交的延长线于点F．若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质，由先判断四边形是平行四边形，得出，再证明，即可求出的长度． 【详解】解：∵， ∴，即， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：A． 6．（2025·云南大理·二模）如图，的中线与交于点，连接，若的周长为8，则的周长为（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据题意，是中位线，得到，得到，根据相似三角形的性质，得，解答即可． 本题考查了三角形中位线定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，是中位线， ∴， ∴， ∴， ∵的周长为8， ∴， 故选：B． 7．（2025·云南楚雄·一模）如图，在中，，若，，则 . 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，直接利用相似三角形的判定方法得出，再利用相似三角形的周长比等于相似比，进而得出答案．正确得出相似三角形是解题关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 8．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，点在上，点在上，，，的周长为，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 由得到，可证明，得到，继而得到的周长，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 的周长的周长， 的周长为， 的周长， 故答案为：． 9．（24-25九年级下·全国·期中）如图，在中，，平分，点在上，射线交于点．若，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质．取的中点，连接，由三角形中位线的性质得到，易证，得到，设，则，根据，即可求解． 【详解】解：取的中点，连接， 在中，，平分， 点为中点， 点为中点， 是的中位线， ，， ， ， ， ， 设，则， ， 点为中点， ， ， ， 即， 解得， ， 故答案为：． 10．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在菱形中，点是边上一点，连接并延长，交对角线于点，交边的延长线于点，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 由菱形的性质得，，则，，所以，则，由，可得，即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴, ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴． 故答案为． 11．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在矩形中，，点E，F分别在边，上，交于点G，若G是的中点，下列四个结论中：①；②；③；④，正确的是 （填序号即可） 【答案】①②③④ 【分析】连接，根据勾股定理即可证明①；根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可证明②；根据平行线的性质和等边对等角即可判断③；作交于点H，则，所以，由，则，再证明，得，证明，根据平行线分线段成比例即可证明④. 【详解】连接 ∵矩形 ∴ ∵， ∴，故①正确； ∵G是的中点， ∴，故②正确； ∴， ∴ ∵ ∴ ∴，故③正确； 作交于点H，则， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵G是的中点， ∴， ∴， ∴， 即 ∵ ∴ ∴ ∴，故④正确； 故答案为：①②③④. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，平行线分线段成比例，熟练掌握各知识点是解题的关键. 12．（2025·贵州铜仁·三模）如图，在矩形中，对角线、相交于点，过点作的垂线与、的延长线相交于点、． (1)求证：； (2)若，，求及的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． （1）利用矩形的性质得出，，得出，再利用，得出，即可证明； （2）利用四边形是矩形，，，得出，，， ，，利用勾股定理即可求，则可求出，再证明，利用相似性质即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， ，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 又∵ ， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴， ∴． 13．（2025·安徽淮北·三模）四边形是矩形． (1)如图，点E，F分别在边，上，且于点H． ①当时，求证：； ②若，时，求的值． (2)如图，若点E在边上，且，，，点F是上一动点，连接，，．当的周长最小时，在上取一点G，连接，求的最小值． 【答案】(1)①证明见解析；② (2) 【分析】（1）① 利用矩形推出是正方形，根据直角互余得，再明，由全等性质得．② 通过矩形直角和，证明，根据相似三角形对应边成比例列方程求出，再用勾股定理计算． （2）利用轴对称性质，作点关于的对称点 ，将转化为，根据三点共线时线段和最小确定周长最小时的位置；再通过作辅助线求长度，利用三角形面积不同表示方法求出最小值． 【详解】（1）①证明：当时， ∴矩形ABCD是正方形． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：在矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得或（舍去）， ∴． （2）如图，延长到点，使得，连接，过点作交的延长线于点H，在上取一点G，连接， 则D为的中点， ∵，为的垂直平分线， ∴， ∵为定值， ∴的周长为， 当点B，F，三点共线时，有最小值，即有最小值，则的周长有最小值，此时，， ∴． ∵， ∴， ∴， 同理，得． 在中，由勾股定理，得． 当时，有最小值， ∴， ∴． 【点睛】本题考查矩形、正方形性质，全等三角形、相似三角形判定与性质，勾股定理及轴对称 - 最短路径问题等；解题关键是利用图形性质找出角与边的关系，通过证明三角形全等、相似及运用轴对称性质转化线段来求解． 14．（2025·安徽滁州·二模）如图，E是正方形的边的延长线上一点，连接，过点A作，垂足为F，分别与，相交于点G，H，连接． (1)求证：． (2)求证：． (3)若，求的值． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）证明，由相似三角形的性质即可得证； （2）在上取一点M，使得，连接．证明，得出，．求出即可得出．即可得证； （3）设，则，．由勾股定理可得．由相似三角形的性质求出．再证明，由相似三角形的性质即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图，在上取一点M，使得，连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）解：设，则，． ∵， ∴． ∵， ∴，即， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 15．（2025·山东淄博·二模）如图，在平行四边形中，点是上一点，，连接交于点，延长交的延长线于点，求则的值． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，求出，再证明，进行求解即可． 【详解】解：四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 16．（2025·安徽蚌埠·三模）在四边形中， ，，对角线交于点O，E是边上一点，连接交于点F，． (1)求证：①四边形是矩形； (2)若，求的值． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质、一元二次方程的求解等知识，熟练掌握矩形的性质和判定、证明三角形相似是解题的关键； （1）①根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可； ②根据矩形的性质和平行线分线段成比例定理可得，，进而可得，于是可得结论； （2）根据题意可得，根据矩形的性质可得，设，证明，利用相似三角形的性质列方程求出x，进一步计算即可求出结果． 【详解】（1）证明：①∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形为矩形． ②∵， ∴ ∵四边形为矩形， ∴， ， ∴ ， 即 （2）解：∴， ∴． ∵四边形为矩形， ∴． 设． ∵， ∴ ∴ 即 解得 (不合题意，舍去)， 17．（2025·上海奉贤·三模）已知：如图，在梯形中，，，点E是腰上的点，，点F是线段上的点，联结交于点O． (1)求证：； (2)当时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练运用相似三角形的性质是解答的关键． （1）证明，利用相似三角形的对应角相等求解即可； （2）先证明得到，结合等腰三角形的性质得到，进而证明得到，再由得到，进而可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 18．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在正方形中，对角线，相交于点，是上一点，连接交于点，且． (1)求证：平分； (2)若，求的长及的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，的面积是 【分析】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握正方形的性质、证明三角形相似是解题的关键； （1）根据正方形的性质和直角三角形的性质可得，根据可得，结合对顶角相等和角的代换即可得出结论； （2）设，则，表示出，证明，根据相似三角形的性质可得关于x的方程，解方程即可求出x，即可得出的长，进一步即可求出的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即平分； （2）解：设，则由勾股定理可得， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴； ∴， ∵， ∴的面积． 19．（24-25九年级下·上海·阶段练习）已知：如图，在菱形中，，点E、F分别在边、上，且，与相交于点G． (1)求证：； (2)延长与的延长线交于点H，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先证明，得到，结合，求得，解答即可． （2）先证明，得到即，再根据菱形和已知得到，等量代换即可得证． 【详解】（1）证明：∵菱形中，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵菱形中，， ∴，， ∴为等边三角形，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴． ∵菱形， ∴． ∴． ∴， ∴， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角形外角性质，等量代换，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 20．（24-25九年级下·内蒙古乌海·阶段练习）如图1，的对角线与交于点O，点M，N分别在边上，且．点E，F分别是与的交点． (1)求证：； (2)连接交于点H，连接． ①如图2，若，求证：； ②如图3，若为菱形，且，求． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出，再证明是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得出，再利用证明，利用全等三角形的性质可得出． （2）①由平行线截线段成比例可得出，结合已知条件等量代换，进一步证明，由相似三角形的性质可得出，即可得出． ②由菱形的性质得出，进一步得出，，进一步可得出，进一步得出，同理可求出，再根据即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 在与中， ∴． ∴． （2）解：①证明：∵ ∴， 又．， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ②∵是菱形， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵．， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即， ∴ ∴， 故． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，全等三角形判定以及性质，相似三角形的判定以及性质，平行线截线段成比例以及菱形的性质，掌握这些判定方法以及性质是解题的关键． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 相似三角形之（双）A字型与（双）8字型模型 相似三角形是初中阶段最重要的几何知识，同时也是会经常作为压轴题出现；而相似三角形的模型问题则是解决此类问题的重要方法，学会将相似三角形的问题转化为简单的模型问题，这样就可以快速解决相似三角形的题型；相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形考查经常与其他知识点一起，如全等三角形、勾股定理、圆、二次函数和三角函数等，以综合题型为主，而且变化莫测。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8（X）字模型． 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.“A”字模型 6 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 9 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 14 17 “(双)A字型”与“(双)8字型”作为相似三角形的重要模型，并没有明确的起源时间或历史背景。这些模型是数学教育者和研究者为了解决特定几何问题而创造的，主要用于帮助学生理解和应用相似三角形的性质和判定方法。这些模型在数学教育中被广泛使用，特别是在中学几何教学中，帮助学生在解决复杂几何问题时提供直观的思路和工具。 （2025·四川成都·中考真题）如图，在中，点在边上，点关于直线的对称点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点． 【特例感知】 （1）如图1，当时，点在延长线上，求证：； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图2，当时，点在边上，若，求的值．（用含的代数式表示） （2024·广东深圳·中考真题）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”． (1)如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”，，，则______；______； (2)如图2，若四边形为“垂中平行四边形”，且，猜想与的关系，并说明理由； (3)①如图3所示，在中，，，交于点，请画出以为边的垂中平行四边形，要求：点在垂中平行四边形的一条边上（不限作图工具）； ②若关于直线对称得到，连接，作射线交①中所画平行四边形的边于点，连接，请直接写出的值． “A”字模型：（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 　图2 　 　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 “X”字模型（“8”字模型）：图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO， 同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO； ∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。 “AX”字模型（“A8”字模型） ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。 ∴。 ②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC； 结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。 证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。 ∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。 两式相加得到：，即，故。 ③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。 证明:同②中的证法，易证：，， ∴，即AF=AG，故。 A字型和8（X）字型的应用难点在于过分割点（将线段分割的点）作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线（倍长中线就可以理解为一种间接作平行线），这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。 模型1.“A”字模型 例1（23-24九年级上·广东梅州·期中）如图，在中，点D、E分别在边上，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 例2（2025·广东深圳·三模）如图，在中，D，E分别是边，上的点，，且相似比为，则（    ） A． B． C． D． 例3（24-25八年级下·山东淄博·期中）如图，为的边上一点，、分别为、上的点，且，，、、的面积分别记为、、，若，则 ． 例4（2025·云南文山·模拟预测）如图，、分别是的边、上的点，，若，则 ． 例5（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，在上，．    (1)求证：∽； (2)若，则的值为 ． 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 例1（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，，，是边的中点，是的中点，连接，交于点，则的长为（   ） A． B．4 C．5 D．6 例2（2025九年级下·重庆铜梁·学业考试）如图，在正方形中，，点P，F分别是边，上一点，连接，交于点E，过点F作，交于点G，若，则的长为（   ） A．3 B． C． D． 例3（2025·云南楚雄·二模）如图，在矩形中，E是边的中点，连接交对角线于点F，则和的周长比为 ． 例4（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，点在的延长线上，与交于点． (1)求证：∽； (2)若的面积为，，求的面积． 例5（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）已知：在中，分别是边的中点， （1）若图1，求证：与互相平分． 【探索应用】 （2）如图2，点为的中点，连接交于点，设与交于点． ①求证：； ②求的值； （3）如图3，在菱形中，，，与交于点，点为边上一点，且为边的三等分点，直接写出的值． 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 例1（2024·安徽·三模）如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（    ）    A． B． C． D． 例2（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；    小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程． （2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：． （3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长． 例3（2024·浙江·九年级期中）如图，中，中线，交于点，交于点．（1）求的值．（2）如果，，请找出与相似的三角形，并挑出一个进行证明． 1．（2025·云南昭通·二模）如图，在中，，分别为线段，的中点，若的周长为10，则的周长为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 2．（2025·青海海东·二模）如图，在中，为边的三等分点，为边的三等分点，连接交于点，若，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D． 3．（2025·云南楚雄·二模）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，点A，B，C，D均在格点上，连接，相交于点E，若小正方形的边长为1，则与的面积之比为（ ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西·模拟预测）如图，在平行四边形中，点为上的一点，交于点．若，，则的长度为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 5．（2025·陕西·模拟预测）如图，在中，点D，E分别在边上，且，过点C作，交的延长线于点F．若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（2025·云南大理·二模）如图，的中线与交于点，连接，若的周长为8，则的周长为（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 7．（2025·云南楚雄·一模）如图，在中，，若，，则 . 8．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，点在上，点在上，，，的周长为，则的周长为 ． 9．（24-25九年级下·全国·期中）如图，在中，，平分，点在上，射线交于点．若，，则的长是 ． 10．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在菱形中，点是边上一点，连接并延长，交对角线于点，交边的延长线于点，若，则的值为 ． 11．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在矩形中，，点E，F分别在边，上，交于点G，若G是的中点，下列四个结论中：①；②；③；④，正确的是 （填序号即可） 12．（2025·贵州铜仁·三模）如图，在矩形中，对角线、相交于点，过点作的垂线与、的延长线相交于点、． (1)求证：； (2)若，，求及的长． 13．（2025·安徽淮北·三模）四边形是矩形． (1)如图，点E，F分别在边，上，且于点H． ①当时，求证：； ②若，时，求的值． (2)如图，若点E在边上，且，，，点F是上一动点，连接，，．当的周长最小时，在上取一点G，连接，求的最小值． 14．（2025·安徽滁州·二模）如图，E是正方形的边的延长线上一点，连接，过点A作，垂足为F，分别与，相交于点G，H，连接． (1)求证：． (2)求证：． (3)若，求的值． 15．（2025·山东淄博·二模）如图，在平行四边形中，点是上一点，，连接交于点，延长交的延长线于点，求则的值． 16．（2025·安徽蚌埠·三模）在四边形中， ，，对角线交于点O，E是边上一点，连接交于点F，． (1)求证：①四边形是矩形； (2)若，求的值． 17．（2025·上海奉贤·三模）已知：如图，在梯形中，，，点E是腰上的点，，点F是线段上的点，联结交于点O． (1)求证：； (2)当时，求证：． 18．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在正方形中，对角线，相交于点，是上一点，连接交于点，且． (1)求证：平分； (2)若，求的长及的面积． 19．（24-25九年级下·上海·阶段练习）已知：如图，在菱形中，，点E、F分别在边、上，且，与相交于点G． (1)求证：； (2)延长与的延长线交于点H，求证：． 20．（24-25九年级下·内蒙古乌海·阶段练习）如图1，的对角线与交于点O，点M，N分别在边上，且．点E，F分别是与的交点． (1)求证：； (2)连接交于点H，连接． ①如图2，若，求证：； ②如图3，若为菱形，且，求． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$