专题07 二次函数（反比例函数）与实际问题（压轴题专项训练）数学沪科版九年级上册

专题07 二次函数（反比例函数）与实际问题 目录 1 类型一、二次函数与销售问题 1 类型二、二次函数与行程问题 2 类型三、二次函数与拱桥问题 4 类型四、二次函数与隧道问题 5 类型五、二次函数与投球问题 6 类型六、二次函数与增长率问题 7 类型七、二次函数与图形问题 8 类型八、二次函数与动点问题 9 类型九、二次函数与实物模型问题 11 类型十、反比例函数与其它函数相结合问题 12 类型十一、跨学科的反比例函数问题 14 类型十二、反比例函数新考法问题 15 19 类型一、二次函数与销售问题 利用二次函数解决利润最值的方法：利润问题主要涉及两个等量关系:利润=售价-进价，总利润=单件商品的利润x销售量，在解答此类问题时，应建立二次函数模型，转化为函数的最值问题，然后列出相应的函数解析式，从而解决问题. 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）世界羽毛球团体锦标赛成都2024“汤尤杯”的吉祥物“熊嘟嘟”“羽蓉蓉”于4月14日下午首次公开亮相．某商场销售该吉祥物，如果以单价32元销售，那么每天可以销售280套．根据经验，销售单价每提高1元，销售量相应减少10套．已知每套吉祥物的进价为20元．设每套吉祥物的售价为元． (1)若商家想要每天获取3640元的利润，且尽快清空库存，的值应定为多少？ (2)若物价局规定该商品的利润不超过进价的80%，求此商场每天销售该吉祥物的最大利润，并指出相应的值． 2．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）怀宁贡糕是外地游客来怀宁旅游必带的名特产，临近春节怀宁贡糕大量上市．某糕点食品公司在一景点推出一款成本为88元的贡糕礼盒，当每盒售价为128元时，每天可销售200盒．为扩大景点市场，在保证盈利的情况下，公司采取降价措施，根据景点调查发现，每盒每降低1元，每天销量可增加10盒． (1)求出糕点食品公司每天的利润W元与降价x元之间的函数关系式，并求出当降价多少元时，公司每天的利润最大，最大利润为多少元？ (2)若糕点食品公司要在该景点每天的利润达到8640元，并最大限度让利于游客，则售价应为多少元？ 3．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）超市购进一批某商品，成本为6元/件，根据市场调研发现，这种商品在未来10天的日售价t（元/件）与时间第x天之间满足函数关系式（，x为整数），又通过分析销售情况，发现每天销售量y（件）与时间第x天之间满足一次函数关系，下表是其中的三组对应值． 时间第x天 … 3 5 7 … 销售量y/件 … 32 30 28 … (1)求y与x的函数表达式； (2)在这10天中，哪一天销售这种商品的利润最大，最大销售利润为多少元？ 类型二、二次函数与行程问题 4．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）某汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．研发小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间t 0 1 2 3 刹车后行驶的距离y 0 27 48 63 发现：①开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系； ②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 请根据以上信息，完成下列问题： (1)求y关于t的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)求汽车刹车后，行驶了多远距离； (3)若驾驶员发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 5．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）一个小球在平地上以一定的初始速度（单位：）开始向前滚动，并且均匀减速．已知小球滚动的速度（单位：）与滚动时间（单位：）的函数解析式是． (1)直接写出小球的初始速度：__________． (2)已知在匀变速直线运动中，小球滚动的距离平均速度时间，每个时间段内的平均速度（其中是初始速度，是滚动秒后的速度），求小球向前滚动的运动路程． (3)设小球向前滚动的路程为（单位：），求出关于的函数解析式，并求出的最大值． 6．（24-25九年级上·广东广州·期末）一辆正常速度行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的原因，还要继续向前滑行一段距离才能停住，汽车急刹车时的滑行路程与时间满足二次函数关系，并测得相关数据： 滑行时间 0 0.5 1 1.5 滑行路程 0 7 12 15 (1)根据表中的数据，求出s关于t的函数表达式； (2)一辆正常速度行驶中的汽车突然发现正前方处有一辆抛锚的危险用品运输车，紧急刹车，问该车从刹车到停住，是否会撞到抛锚的运输车？试说明理由． 类型三、二次函数与拱桥问题 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法： 先建立适当的平面直角坐标系，一般选择抛物线形建筑物的底(顶)部所在的水平线为x轴，对称轴为y轴，或直接选取最高(低)点为坐标原点建立直角坐标系来解决问题，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图像信息解决实际问题. 【解读】判断货车能否安全通过隧道的方法: 1）固定货车的宽，看抛物线形的隧道是否足够高(相当于已知x的值，根据函数解析式求y的值，再与限制的高的值比较大小). 2）固定货车的高，看抛物线形的隧道是否足够宽(相当于已知y的值，根据函数解析式求x的值，再与限制的宽的值比较大小). 7．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图是一座拱桥的简易示意图，其形状是抛物线型，拱高6m，跨度10m，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求这条抛物线的函数表达式； (2)拱桥下地平面是双向行车道，正中间有一条宽度为1m的绿化带，问：一辆宽度为2m，高度为3m的货车能否通行？ 8．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）有一座横截面由矩形和抛物线构成的拱桥，抛物线上方是路面，拋物线下方是水面，如图，并建立平面直角坐标系．已知水面宽是；当水面上升时．水面宽减少了． (1)求该抛物线的表达式； (2)一艘横截面为矩形的货船，最宽处为，露出水面的高度为，该货船能否正常通过这座拱桥？请说明理由． 9．（2024·河南南阳·三模）如图，是某景区步行街修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点为顶点，其高为9米，宽为18米，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系．矩形是安装的一个“光带”，且点，在抛物线上，点，在上． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)求所需的三根“光带” ，，的长度之和的最大值，并写出此时的长． 类型四、二次函数与隧道问题 10．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）一辆卡车要通过跨度为8米，拱高为4米的抛物线形隧道，车从隧道正中通过，为保证安全行车，在车顶到隧道顶部的距离至少要米，若卡车宽米，则卡车限高为多少米？ 11．（22-23九年级上·安徽滁州·期中）有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m，跨度为8m，把它放在如图所示的平面直角坐标系中． (1)求这条抛物线所对应的函数关系式； (2)隧道内设双向单车道（中间有一条隔离带，隔离带宽度忽略不计），一辆满载后车身宽，高的卡车能否安全通过？ 12．（2023·安徽合肥·模拟预测）如图，某一抛物线型隧道在墙体处建造，现以地面和墙体分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，已知，且抛物线经过．请根据以上信息，解决下列问题： (1)求此抛物线的函数表达式； (2)有一辆宽，高的货车想要通过隧道，请问该货车能否正常通过？请说明理由； (3)现准备在抛物线上一点E处，安装一直角形钢拱架支护材料对隧道进行维修（点F，G分别在x轴，y轴上，且轴，轴），现有钢拱架支护材料是否够用？请说明理由． 类型五、二次函数与投球问题 13．（24-25九年级下·安徽阜阳·阶段练习）投石车（如图1）是利用杠杆原理抛射石弹的人力远射兵器，结构很简单，一根巨大的杠杆，长端是用皮套或是木筐装载的石块，短端系上几十根绳索，当命令下达时，数十人同时拉动绳索，利用杠杆原理将石块抛出．图2是某数学兴趣小组研制的抛石车，研究发现：竖直向上抛出的石块的高度满足关系式，其中是石块运动的时间，是石块被抛出时的速度． (1)若在调试阶段设定，求石块被抛出的最大高度； (2)①若被抛出的石块能达到的最大高度为，则石块被抛出时的速度应该是多少？ ②按①中的速度抛出石块，若石块被抛出的高度有两次达到，则小辉认为：“两次达到高度为之间的间隔时间为．”请判断他的说法是否正确，并说明理由． 14．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）足球训练中球员从球门正前方9米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行至与球门水平距离3米处时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 15．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）某物理兴趣小组在老师的带领自制一种小球发射器，已知该发射器的小球出口C离地竖直高度米．如图，小球在最大档位和最小档位的力度发射出去的路线可以抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，矩形为移动的接球盒，其中米，米，最小档位发射的抛物线可以看作由最大档位发射的抛物线向左平移得到，最大档位抛物线最高点D离出球口的水平距离为2米，高出出球口米． (1)求最大档位时小球射出的抛物线的函数表达式，并求出小球射出的最大射程OA； (2)求最小档位时小球射出的最大射程； (3)要使接球盒能接住所有档位射出的小球（即射出的小球都能落入水平移动的接球盒中），请求出接球盒距发射器的水平距离的取值范围． 类型六、二次函数与增长率问题 16．（22-23九年级上·河北保定·期中）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 17．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元． (1)求与的关系式； (2)当时，求今年的总产值为多少万元？ 类型七、二次函数与图形问题 利用二次函数解决面积最值的方法：求最大面积类问题可以利用二次函数的图像和性质进行解答，也就是把图形面积的最值问题转化为二次函数的最值问题，依据图形的面积公式列出函数解析式. 【注意】在求解几何图形的最大面积时，应注意自变量的取值范围，一定要注意题目中隐含的每一个几何量的取值范围，一般有以下几种情况: 边长，周长，面积大于0，三角形中任意两边之和大于第三边. 18．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）用总长的木板制作矩形置物架（图中外框和内部三条分割线的长度和为）．已知四边形是正方形，四边形、、是矩形，．为了便于放置物品，的长不小于，设的长为． (1)若矩形的面积为，求x的值． (2)若矩形的面积为，求S最大时，x的值． 19．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）如图，用一段长为的篱笆围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，且花圃的一边可借用一段墙体（墙体的最大可用长度）．设的长是．长方形花圃的面积为． (1)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)求出长方形花圃的最大面积． 设花圃的宽为，则， ， ∵， 20．（24-25九年级下·安徽淮南·开学考试）如图①，有一块三角形余料，它的边，高．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)加工成的正方形零件的边长是___________． (2)如图②，如果要加工的零件是一个矩形，其他条件不变．设，求与之间的关系式． (3)在（2）的条件下，求矩形零件的面积达到最大值时该矩形零件的长和宽． 类型八、二次函数与动点问题 利用二次函数解决动点问题的方法：首先要知晓动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算． 21．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）图1，在中，，．点P以1cm/s的速度从点A出发沿匀速运动到B；同时，点Q以vcm/s（）的速度从点B出发沿匀速运动到C．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为t（s），的面积为S（）．当点Q在上运动时，S与t的函数图象如图2所示． (1)AB＝______cm，v＝______cm/s，补全函数图象； (2)求出当时间t在什么范围内变化时，的面积为S（）的值不小于． 22．（22-23九年级上·安徽滁州·期中）如图，中，，，，动点从点出发，在边上以每秒5cm的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒4cm的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接．    (1)若，求的值； (2)求的面积与之间的函数关系式； (3)当为何值时，四边形的面积最小，最小值是多少？ 23．（21-22九年级上·安徽芜湖·期末）如图，矩形的两边长，，点、分别从A、B同时出发，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动．当到达点时，、停止运动．设运动时间为秒，的面积为 (1)求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (2)求的面积的最大值． 类型九、二次函数与实物模型问题 24．（2025·江西吉安·一模）某单位汽车停车棚如图1所示，棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，其中点 B为棚顶外沿，为斜拉杆．棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系 其图象如图2所示，且点和点在图象上． (1)求二次函数的表达式； (2)某个数学兴趣小组研究一辆校车能否在按如图2所示的停车棚下避雨，他们将校车截面看作长，高的矩形．通过计算，发现校车不能完全停到车棚内，请你帮助兴趣小组通过计算说明理由； (3)小俊提出，若要使（2）中的校车能完全停到车棚内，且为了安全，需要保证点 F与顶棚的竖直距离至少为，现需要将顶棚整体沿支柱（支柱可加长）向上至少提升，求h的值． 25．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）一个水杯竖直放置时的纵向截面如图所示，其左右轮廓线，都是同一条抛物线的一部分，，都与水面桌面平行，已知水杯底部宽为，水杯高度为，当水面高度为时，水面宽度为． (1)在如图所示坐标系中，求、所在抛物线解析式． (2)求出杯口口径的长． (3)如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕点倾斜倒出部分水，如图，当倾斜角时，杯中水面平行水平桌面，则此时水面的值． 26．（2023·安徽安庆·三模）合肥融创乐园是集休闲、娱乐、观光于一体的大型徽文化主题乐园，位于美丽的巢湖之滨．如图1，立环过山车“白龙飞天”是其经典项目之一．过山车的一部分轨道，可以看成一段抛物线，其图像如图2所示，其中米，米（轨道厚度忽略不计）．    (1)求抛物线F→E→G的函数解析式； (2)在轨道距离地面5米处有两个点P和G（点P在点G的左侧），当过山车运动到点G处时，平行于地面向前运动了米至点K，又进入下坡段K→H．已知轨道抛物线K→H→Q的形状与抛物线P→E→G完全相同，求的长； (3)现需要在轨道下坡F→E段进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架，且要求．已知这种材料的价格是8万元/米，如何设计支架，会使造价最低？最低造价为多少万元？ 类型十、反比例函数与其它函数相结合问题 利用反比例函数与一次函数或二次函数相结合解决实际问题是近年中考的热点题型.两种函数图像的交点的实际意义往往是分析问题的切点，要注意自变量的取值范围，特别要考虑实际情况. 27．（24-25九年级下·安徽池州·开学考试）长丰县某草莓种植基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚种植草莓．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度与时间之间的函数关系如图所示，其中段是恒温阶段，段是某反比例函数图象的一部分． (1)求段所对应的反比例函数图象的关系式，并写出自变量的取值范围； (2)大棚里种植的草莓在温度为到的条件下最适合生长，若该天恒温系统开启前的温度是，则草莓一天内最适合生长的时间有多长？ 28．（2023·广西南宁·模拟预测）综合与实践： 【问题情景】某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒毫升后，血液中酒精含量毫克百毫升与时间时的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于毫克百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 【实践探究】（1）求部分双曲线的函数表达式； 【问题解决】（2）参照上述数学模型，假设某人晚上喝完毫升低度白酒，则此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由． 29．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）学校下午放学时校门口的“堵塞”情况已成为社会热点问题，某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一个调查发现：每天放学时间2分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”（）与放学后时间（分钟）的函数关系描述．如图，2～12分钟呈二次函数状态，且在第12分钟达到该函数最大值100，此后变化大致为反比例函数的图象趋势．若“拥挤指数”，校门外呈现“拥挤状态”，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通． (1)求该二次函数的解析式和k的值； (2)“拥挤状态”持续的时间是否超过15分钟？请说明理由． 30．（21-22九年级上·安徽淮北·阶段练习）某疫苗生产企业于2021年1月份开始技术改造，其月生产数量y（万支）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题： (1)该企业4月份的生产数量为多少万支？ (2)该企业有几个月的月生产数量不超过90万支？ 类型十一、跨学科的反比例函数问题 跨学科的反比例函数应用问题一般要利用其他学科相关量之间的等量关系构建反比例函数模型，再利用反比例函数的相关知识解决问题. 31．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即：阻力阻力臂动力动力臂，用代数式表示为．如图，已知石头重量（阻力）为，阻力臂长，小华想用一根撬棍撬起这块石头，但他只有的力量，那么他该选择动力臂为多少米的撬棍才能撬动这块大石头？ 32．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．    (1)求此函数的解析式； (2)当气体体积为时，气压是多少？ (3)当气球内的压强大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？ 33．（2023·浙江台州·中考真题）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，．    (1)求h关于的函数解析式． (2)当密度计悬浮在另一种液体中时，，求该液体的密度． 类型十二、反比例函数新考法问题 34．（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）综合与实践 某校“无穷大”社团利用物理中的杠杆原理研究反比例函数．如图，他们制作了一个特殊的天平，其中是一根质地均匀的木杆，支点为中点，两个托盘可沿木杆左右移动，、分别表示左、右托盘离支点的距离． 该社团成员通过改变托盘内砝码质量和托盘与支点的距离，并将平衡时的数据记录如下： 左托盘砝码质量/ 右托盘砝码质量/ ... ... 任务：根据实验数据：__________，__________． 任务：以左托盘砝码质量为横坐标，左托盘距离支点的距离的值为纵坐标，在方格内描出上表中的数对为坐标的各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点，根据图像回答下列问题： 这条曲线是反比例函数图象的一支吗？如果是，请写出函数解析式（不标注自变量取值范围），如不是，请说明理由； 若左托盘距离支点的距离可变化的范围为：，求左托盘内砝码质量的变化范围． 任务：某成员希望在的情况下称取食盐．他先将砝码放在左托盘，取出一些食盐放在右托盘使天平平衡；然后将砝码放在右托盘，再取出一些食盐放在左边托盘使天平平衡．该成员得出结论：两次称得的食盐的总质量是．该成员的结论是否正确？请判断并说明理由．（参考公式：当，时，，当且仅当时，等号成立） 35．（24-25九年级上·广东深圳·期中）【项目式学习】 项目主题：学科融合—用数学的眼光观察世界 项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 项目素材： 素材一：凸透镜成像规律：（ ）表示凸透镜的焦距，（）表示物体到凸透镜的距离，（ ）表示像到凸透镜的距离，规律如下表 物体到凸透镜距离u 像到凸透镜距离v 像的大小 像的正倒 缩小 倒立 等大 倒立 放大 倒立 与物同侧 放大 正立 素材二：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点． 项目任务： (1)任务一：凸透镜的焦距为，蜡烛的高为，离透镜中心的距离是时，请你利用所学的知识填空：①_________， ②_________，③ _________； (2)任务二：某实验小组取焦距 为的凸透镜，高度是的蜡烛，设置物距时，测量蜡烛的成像的高 ， ①以为自变量，为因变量，写出与的关系式： ； ②当 时，随的增大而 （选填“增大”或“减小”） （提示：可在平面直角坐标系中作出函数的图象，不计分）． 36．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻R的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻R(单位∶)与物体质量m(单位∶)之间的关系如图2所示，电流I(单位∶)与可变电阻 R之间关系为 (1)该小组先探究函数 的图像与性质，并根据I与R之间关系得到如下表格： R(kΩ) 0 1 2 3 4 5 6 7 … I(mA) 2 1.5 1.2 p 0.75 0.6 ①表格中的 ； ②请在图3 中画出 对应的函数图像； (2)该小组综合图2和图3发现，I随着m的增大而 ；(填“增大”或“减小”) (3)若将该款电子秤中的电路电流范围设定为(单位：)，判断该电子托盘秤能否称出质量为 的物体的质量？请说明理由． 1．（24-25九年级下·安徽黄山·阶段练习）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部O处，以点O为原点，水平方向为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与x轴平行，点B与点O的水平距离为28米，垂直距离为6米． (1)若，求发射石块在空中飞行的最大高度． (2)在（1）的条件下判断石块能否飞越防御墙． (3)①若石块恰好落在防御墙顶部的B处，求抛物线的表达式． ②若石块飞跃防御墙后落在斜坡上点的左侧，直接写出a的范围． 2．（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为 ，锅盖纵断面的抛物线记为 ． (1)求和的解析式： (2)如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径（结果保留根号）； (3)如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 3．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，是一个长方形广告牌的示意图，，，设计师在广告牌上设计了三条抛物线（部分）作为构图轮廓，点D，E分别是，的中点，抛物线①经过点O和A，顶点为D，由抛物线②向右平移得抛物线③．以为单位长度，点O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，抛物线②的解析式为． (1)求抛物线①的解析式，并直接写出抛物线③的解析式； (2)设计师在广告牌上三条抛物线围成的区域设计一些竖直的灯条，利用灯条的亮与不亮两种状态产生动感效果．灯条的上端点在抛物线①上，下端点在抛物线②或③上．从某时刻开始，只有两根灯条亮着，分别用和代表它们．从O处开始，以的速度向右移动，到E处停止．从A处开始，以的速度向左移动，到O处停止．在这一过程中，求： 的最大值； 的时长． 4．（21-22九年级上·安徽马鞍山·期末）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件元，根据市场调查发现，该商品每天的销售量（件）与售价（元/件）（为正整数）之间满足一次函数关系为 (1)求每天销售利润与的函数关系式（不求自变量的取值范围）； (2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于元/件．求该商场销售这种商品每天获得的最大利润为多少元？ (3)临近春节，该商场组织这种商品参加“迎新春，大返现”活动，每销售一件商品便向顾客返现元，返现后发现，这种商品每天销售量不少于件，且该商场每天销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．求的取值范围． 5．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）小明同学经常运用数学知识对网球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网高度，球网与y轴的水平距离，，击球点在y轴上．若选择吊球，网球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系：． (1)本次吊球能否过网？并说明理由； (2)若吊球路线的形状、最大高度均保持不变，他应该向正前方移动多少米吊球，才能让网球经过点C正上方． 6．（2023·安徽·一模）某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米． (1)以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为d米，求d的取值范围； (3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点P在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离． 7．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止．以为边作正方形，设点的运动时间为，正方形的面积为，探究与的关系． (1)如图1，在点由点到点的运动过程中，关于的函数解析式为__________； (2)在点由点到点的运动过程中，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求关于的函数解析式及线段的长． (3)若存在3个时刻对应的正方形的面积均相等．若，则此时正方形的面积等于_________． 8．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C、D在抛物线上，，当时，． (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 9．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图是某校楼梯的一段，共有8个台阶，每个台阶的高和宽分别是1个单位长度和2个单位长度，每个台阶凸出的角的顶点记作（m为1~8的整数），函数的图像为曲线L．    (1)若L过点，则k= ； (2)若L过点，则它必定还过另一点，则m= ； (3)若曲线L使得~这八个点都分布在它的两侧，其中一侧有2个点，求出所有满足条件的整数k的个数． 10．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图1，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个装水的容器，容器的质量为5g，在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡，改变托盘B与点C的距离，记录容器中加入的水的质量，得到如表： 托盘B与点C的距离 30 25 20 15 10 容器与水的总质量 20 24 30 40 60 加入的水的质量 15 19 25 35 55 把如表中的x与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图2所示的关于x的函数图象． (1)请在该平面直角坐标系中作出关于x的函数图象； (2)观察函数图象，并结合表中的数据： ①猜测与x之间的函数关系，并求关于x的函数表达式； ②当时，随x的增大而________（填“增大”或“减小”），随x的增大而________（填“增大”或“减小”），关于x的函数表达式为________； (3)若在容器中加入的水的质量满足，求托盘B与点C的距离的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 二次函数（反比例函数）与实际问题 目录 2 类型一、二次函数与销售问题 2 类型二、二次函数与行程问题 5 类型三、二次函数与拱桥问题 9 类型四、二次函数与隧道问题 13 类型五、二次函数与投球问题 16 类型六、二次函数与增长率问题 21 类型七、二次函数与图形问题 22 类型八、二次函数与动点问题 26 类型九、二次函数与实物模型问题 30 类型十、反比例函数与其它函数相结合问题 37 类型十一、跨学科的反比例函数问题 42 类型十二、反比例函数新考法问题 44 52 类型一、二次函数与销售问题 利用二次函数解决利润最值的方法：利润问题主要涉及两个等量关系:利润=售价-进价，总利润=单件商品的利润x销售量，在解答此类问题时，应建立二次函数模型，转化为函数的最值问题，然后列出相应的函数解析式，从而解决问题. 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）世界羽毛球团体锦标赛成都2024“汤尤杯”的吉祥物“熊嘟嘟”“羽蓉蓉”于4月14日下午首次公开亮相．某商场销售该吉祥物，如果以单价32元销售，那么每天可以销售280套．根据经验，销售单价每提高1元，销售量相应减少10套．已知每套吉祥物的进价为20元．设每套吉祥物的售价为元． (1)若商家想要每天获取3640元的利润，且尽快清空库存，的值应定为多少？ (2)若物价局规定该商品的利润不超过进价的80%，求此商场每天销售该吉祥物的最大利润，并指出相应的值． 【答案】(1)的值应定为 (2)此商场每天销售该吉祥物的最大利润为元，相应的值为 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，正确列出方程和函数解析式是解题的关键． （1）根据题意得到，解得，即可得到答案． （2）由题意得，得到，设总利润为元，得到 ，得出当时元． 【详解】（1）解：由题意得， 整理得：， 解得， 要尽快清空库存， ， 答：的值应定为； （2）解：由题意得， 解得：， ， 设总利润为元， 由题意得 ， ， 当时，随的增大而增大， 当时元， 答：此商场每天销售该吉祥物的最大利润为元，相应的值为． 2．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）怀宁贡糕是外地游客来怀宁旅游必带的名特产，临近春节怀宁贡糕大量上市．某糕点食品公司在一景点推出一款成本为88元的贡糕礼盒，当每盒售价为128元时，每天可销售200盒．为扩大景点市场，在保证盈利的情况下，公司采取降价措施，根据景点调查发现，每盒每降低1元，每天销量可增加10盒． (1)求出糕点食品公司每天的利润W元与降价x元之间的函数关系式，并求出当降价多少元时，公司每天的利润最大，最大利润为多少元？ (2)若糕点食品公司要在该景点每天的利润达到8640元，并最大限度让利于游客，则售价应为多少元？ 【答案】(1)，当降价10元时，公司每天的利润最大，最大为9000元 (2)112元 【分析】本题考查二次函数图象及性质，一元二次方程实际应用等． （1）根据题意列二次函数解析式，再整理成顶点式，继而得到本题答案； （2）令，解出，，再根据实际问题含义舍值，继而得到答案． 【详解】（1）解∶由题意得：， ， ∴元时，最大为9000元， 即当降价10元时，公司每天的利润最大，最大为9000元； （2）解：当， 解得：，， ∵最大限度让利于游客， ∴不合题意，舍去， ∴售价应为（元）， 答：售价应为112元． 3．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）超市购进一批某商品，成本为6元/件，根据市场调研发现，这种商品在未来10天的日售价t（元/件）与时间第x天之间满足函数关系式（，x为整数），又通过分析销售情况，发现每天销售量y（件）与时间第x天之间满足一次函数关系，下表是其中的三组对应值． 时间第x天 … 3 5 7 … 销售量y/件 … 32 30 28 … (1)求y与x的函数表达式； (2)在这10天中，哪一天销售这种商品的利润最大，最大销售利润为多少元？ 【答案】(1)（，x为整数） (2)第7天和第8天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为378元 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数在销售问题中的应用，熟练掌握待定系数法求一次逊解析式，二次函数的性质，是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设销售这种水果的日利润为w元，得出，再结合，x为整数，利用二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：设每天销售量y与时间第x天之间满足的一次函数关系式为， 根据题意，得：， 解得， （，x为整数）； （2）设销售这种水果的日利润为w元， 则 ， ，x为整数， 当或时，w取得最大值，最大值为378， 答：在这10天中，第7天和第8天销售这种水果的利润最大，最大销售利润为378元 类型二、二次函数与行程问题 4．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）某汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．研发小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间t 0 1 2 3 刹车后行驶的距离y 0 27 48 63 发现：①开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系； ②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 请根据以上信息，完成下列问题： (1)求y关于t的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)求汽车刹车后，行驶了多远距离； (3)若驾驶员发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 【答案】(1) (2)汽车刹车后，行驶了 (3)该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法求函数表达式、二次函数的性质，正确求得函数表达式是解答的关键． （1）根据表格数据，利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）求当时的函数值即可求解； （3）先求解函数的最大值，即求得刹车后行驶的最远距离，进而比较大小可得答案． 【详解】（1）解：设y关于t的函数表达式为． 将代入，得， 解得， 关于t的函数表达式为． （2）解：当时，． 答：汽车刹车后，行驶了． （3）解：不会．理由： ， ∴当时，，即汽车停下时，行驶了． ， ∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车． 5．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）一个小球在平地上以一定的初始速度（单位：）开始向前滚动，并且均匀减速．已知小球滚动的速度（单位：）与滚动时间（单位：）的函数解析式是． (1)直接写出小球的初始速度：__________． (2)已知在匀变速直线运动中，小球滚动的距离平均速度时间，每个时间段内的平均速度（其中是初始速度，是滚动秒后的速度），求小球向前滚动的运动路程． (3)设小球向前滚动的路程为（单位：），求出关于的函数解析式，并求出的最大值． 【答案】(1) (2) (3)当时，取最大值，最大值为 【分析】（）把代入函数式计算即可求解； （）求出时的速度，即可得小球的平均速度，进而即可求解； （）用表示出平均速度，根据可得函数解析式，再根据二次函数的性质解答即可求解；本题考查了二次函数和一次函数的实际应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， ∴小球的初始速度， 故答案为：； （2）解：当时，， ∴小球的平均速度， ∴小球向前滚动的运动路程为； （3）解：∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为． 6．（24-25九年级上·广东广州·期末）一辆正常速度行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的原因，还要继续向前滑行一段距离才能停住，汽车急刹车时的滑行路程与时间满足二次函数关系，并测得相关数据： 滑行时间 0 0.5 1 1.5 滑行路程 0 7 12 15 (1)根据表中的数据，求出s关于t的函数表达式； (2)一辆正常速度行驶中的汽车突然发现正前方处有一辆抛锚的危险用品运输车，紧急刹车，问该车从刹车到停住，是否会撞到抛锚的运输车？试说明理由． 【答案】(1) (2)该车从刹车到停住，不会撞到抛锚的运输车，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质求最值． （1）根据表格中的数据，可以计算出s关于t的函数表达式； （2）将（1）中的函数关系式化为顶点式，然后求出s的最大值，再与20比较大小即可． 【详解】（1）解：设， 由表格可得：， 解得， 即s关于t的函数表达式是； （2）解：该车从刹车到停住，不会撞到抛锚的运输车， 理由：∵， ∴当时，s取得最大值16， ∵， ∴该车从刹车到停住，不会撞到抛锚的运输车． 类型三、二次函数与拱桥问题 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法： 先建立适当的平面直角坐标系，一般选择抛物线形建筑物的底(顶)部所在的水平线为x轴，对称轴为y轴，或直接选取最高(低)点为坐标原点建立直角坐标系来解决问题，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图像信息解决实际问题. 【解读】判断货车能否安全通过隧道的方法: 1）固定货车的宽，看抛物线形的隧道是否足够高(相当于已知x的值，根据函数解析式求y的值，再与限制的高的值比较大小). 2）固定货车的高，看抛物线形的隧道是否足够宽(相当于已知y的值，根据函数解析式求x的值，再与限制的宽的值比较大小). 7．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图是一座拱桥的简易示意图，其形状是抛物线型，拱高6m，跨度10m，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求这条抛物线的函数表达式； (2)拱桥下地平面是双向行车道，正中间有一条宽度为1m的绿化带，问：一辆宽度为2m，高度为3m的货车能否通行？ 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用知识点，解题的关键是根据已知条件建立合适的平面直角坐标系，求出抛物线的函数表达式，并利用函数表达式解决实际问题． （1）先根据抛物线的顶点坐标和与轴交点坐标设出抛物线表达式，代入点坐标求出表达式； （2）根据货车通行情况确定的值，代入表达式求出对应的值，与货车高度比较判断能否通行． 【详解】（1）因为抛物线顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为． 又因为抛物线过点，把代入得： ，即，解得． 所以这条抛物线的函数表达式为． （2）因为正中间有1m宽的绿化带，货车宽2m，那么货车在一侧车道行驶时，离对称轴的距离最远为， 所以当或时，代入得： 因为，所以一辆宽度为，高度为的货车能通行． 8．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）有一座横截面由矩形和抛物线构成的拱桥，抛物线上方是路面，拋物线下方是水面，如图，并建立平面直角坐标系．已知水面宽是；当水面上升时．水面宽减少了． (1)求该抛物线的表达式； (2)一艘横截面为矩形的货船，最宽处为，露出水面的高度为，该货船能否正常通过这座拱桥？请说明理由． 【答案】(1)； (2)货船能正常通过拱桥，见解析． 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法求二次函数，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）设抛物线的解析式为，当水面上升时，水面宽减少了，则抛物线经过，又因为抛物线经过，，利用待定系数法求得该抛物线的解析式为； （2）船露出水面的高度为，故当水面与拱桥的距离不低于时，船能安全通过．当时，，求得的值，船的最宽处为，且，则该轮船能正常通过这座拱桥． 【详解】（1）解；由图象可知抛物线经过原点，故设抛物线的表达式为， 由是，得点的坐标为， 将代入中， 得， 即， 即抛物线的表达式为， 因为水面上升，即纵坐标为，此时水面宽减少了， 由于抛物线是轴对称图形，意味着对称轴的左右两侧各减少了， 所以抛物线经过点， 将代入中， 得， 解得， 则， 所以该抛物线的表达式为； （2）解：货船能正常通过这座拱桥，理由： 由于货船露出水面的高度为，即， 将代入中， 得， 解得， 所以当时，拱桥宽度为， 因为，所以货船能正常通过拱桥， 答：货船能正常通过拱桥． 9．（2024·河南南阳·三模）如图，是某景区步行街修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点为顶点，其高为9米，宽为18米，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系．矩形是安装的一个“光带”，且点，在抛物线上，点，在上． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)求所需的三根“光带” ，，的长度之和的最大值，并写出此时的长． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2)当米时，三根“光带”长度之和的最大值为米 【分析】本题考查了二次函数的应用， （1）利用待定系数法即可求解； （2）设点的坐标为，用的值表示出，，的长度，得到关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 正确记忆相关知识点是解题关键． 【详解】（1）解：由题意知，顶点，， 可设该抛物线的函数表达式为， 抛物线过原点， ， 解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）设点的坐标为，则，， 根据抛物线的轴对称性质，可得， 故， ， ， 当 米时，三根“光带”长度之和的最大值为 米． 类型四、二次函数与隧道问题 10．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）一辆卡车要通过跨度为8米，拱高为4米的抛物线形隧道，车从隧道正中通过，为保证安全行车，在车顶到隧道顶部的距离至少要米，若卡车宽米，则卡车限高为多少米？ 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，先求出对应的抛物线解析式，进而求出当时，的值即可得到答案， 【详解】解：如图所示，建立坐标系，则可设抛物线解析式为， 把代入中得， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， ， ∴卡车限高为． 11．（22-23九年级上·安徽滁州·期中）有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m，跨度为8m，把它放在如图所示的平面直角坐标系中． (1)求这条抛物线所对应的函数关系式； (2)隧道内设双向单车道（中间有一条隔离带，隔离带宽度忽略不计），一辆满载后车身宽，高的卡车能否安全通过？ 【答案】(1) (2)一辆满载后车身宽，高的卡车能安全通过． 【分析】（1）由抛物线的顶点在原点，设抛物线为，再代入，从而可得答案； （2）先求解当时，，再根据，从而可得答案． 【详解】（1）解：由题意可得：， 设抛物线为， 把代入得：， ∴， ∴抛物线为， （2）∵， 当时，， ∴， ∴一辆满载后车身宽，高的卡车能安全通过． 【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，二次函数的性质，熟练的求解二次函数的解析式并灵活应用解析式解题是关键． 12．（2023·安徽合肥·模拟预测）如图，某一抛物线型隧道在墙体处建造，现以地面和墙体分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，已知，且抛物线经过．请根据以上信息，解决下列问题： (1)求此抛物线的函数表达式； (2)有一辆宽，高的货车想要通过隧道，请问该货车能否正常通过？请说明理由； (3)现准备在抛物线上一点E处，安装一直角形钢拱架支护材料对隧道进行维修（点F，G分别在x轴，y轴上，且轴，轴），现有钢拱架支护材料是否够用？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，见解析 (3)现有钢拱架支护材料够用，见解析 【分析】（1）由待定系数法，即可求出抛物线的解析式方程； （2）先求出抛物线的对称轴，然后取，求出的值，再与货车的高度进行比较，即可得到答案； （3）由题意，设点，则点，然后表示出的值，再利用二次函数的最值问题，即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意，∵， ∴设抛物线的表达式为， 由得， ， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∵货车宽， ∴当货车从门中间进入时，把代入， 得， ∴货车不能正常驶入； （3）解：由题意，设点，则点， 由题意得， ∵点G在点A的下方， ∴， ∴或， ∵令， ∴或， ∴或（舍去）； ∵， ∴当时，有最大值， ∴的最大值为： ， ∴现有钢拱架支护材料够用． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答． 类型五、二次函数与投球问题 13．（24-25九年级下·安徽阜阳·阶段练习）投石车（如图1）是利用杠杆原理抛射石弹的人力远射兵器，结构很简单，一根巨大的杠杆，长端是用皮套或是木筐装载的石块，短端系上几十根绳索，当命令下达时，数十人同时拉动绳索，利用杠杆原理将石块抛出．图2是某数学兴趣小组研制的抛石车，研究发现：竖直向上抛出的石块的高度满足关系式，其中是石块运动的时间，是石块被抛出时的速度． (1)若在调试阶段设定，求石块被抛出的最大高度； (2)①若被抛出的石块能达到的最大高度为，则石块被抛出时的速度应该是多少？ ②按①中的速度抛出石块，若石块被抛出的高度有两次达到，则小辉认为：“两次达到高度为之间的间隔时间为．”请判断他的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1) (2)①，②正确，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练利用二次函数的性质是解题的关键． （1）把代入函数解析式，再利用二次函数的性质，即可解答； （2）①根据二次函数的性质，即可解答； ②将代入抛物线，求解再相减即可． 【详解】（1）解：由题意，知当时，． ∵， ∴抛物线的开口方向向下，有最大值， ∴当时，， 即当时，石块被抛出的高度最大，最大高度是； （2）解：①由知，抛物线的对称轴为直线． 当时，， 整理，得，解得或（不符合题意，舍去）． ∴石块被抛出时的速度应该是． ②小辉的说法正确． 理由：由②得． 当时，，解得，． ∵， ∴小辉的说法正确． 14．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）足球训练中球员从球门正前方9米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行至与球门水平距离3米处时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 【答案】(1) (2)球能射进球门 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决是关键． （1）根据题意可知抛物线的顶点坐标为，故可设抛物线的函数表达式为，把代入函数表达式即可解答； （2）把代入函数表达式即可求出y的值，然后做出判断即可． 【详解】（1）解：由题意得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线， 把点代入得：， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）当时，， 球能射进球门． 15．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）某物理兴趣小组在老师的带领自制一种小球发射器，已知该发射器的小球出口C离地竖直高度米．如图，小球在最大档位和最小档位的力度发射出去的路线可以抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，矩形为移动的接球盒，其中米，米，最小档位发射的抛物线可以看作由最大档位发射的抛物线向左平移得到，最大档位抛物线最高点D离出球口的水平距离为2米，高出出球口米． (1)求最大档位时小球射出的抛物线的函数表达式，并求出小球射出的最大射程OA； (2)求最小档位时小球射出的最大射程； (3)要使接球盒能接住所有档位射出的小球（即射出的小球都能落入水平移动的接球盒中），请求出接球盒距发射器的水平距离的取值范围． 【答案】(1)最大档位时射出小球的抛物线的函数解析式为，小球最大射程为6米 (2)最小档位小球射出射程为2米 (3)接球盒距发射器的水平距离的取值范围为 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的平移，求二次函数解析式，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据题意设顶点式，求出的值，得到函数解析式，再求出时的函数值，即可得到答案； （2）根据最大档位时抛物线的函数解析式得到点的对称点为，进而得出最小档位时射出的抛物线是由最大时的抛物线向左平移4米得到的，从而得出点的坐标，即可得到答案； （3）令，求出的值，从而得到的最大临界值，再根据二次函数平移的性质，求出的最小临界值，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 设抛物线解析式为， 抛物线经过点， ， 解得， 最大档位时射出小球的抛物线的函数解析式为； 当时，则， ，（舍去）， 小球最大射程为6米； （2）解：最大档位时抛物线的函数解析式为， 对称轴为直线， 点的对称点为， 最小档位时射出的抛物线是由最大时的抛物线向左平移4米得到的， 的坐标为， 即最小档位小球射出射程为2米； （3）解：米， 令，则， 解得，（舍）， 要使接球盒能接住小球， 由（2）知，最小档位抛物线是由最大档位抛物线向左平移4米得到的， 又米， ， 即接球盒距发射器的水平距离的取值范围为． 类型六、二次函数与增长率问题 16．（22-23九年级上·河北保定·期中）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用经过两次降价后的价格原价每次降价的百分率，即可找出与之间了函数关系式； （2）根据该芯片经过两次降价后每块芯片单价为元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】（1）∵每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元） ∴依题意得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴每次降价的百分率为20%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数关系式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 17．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元． (1)求与的关系式； (2)当时，求今年的总产值为多少万元？ 【答案】(1) (2)当时，今年的总产值为万元． 【分析】（1）利用增长率公式即可找出y关于x的函数关系式； （2）代入，求出y值即可得出结论． 【详解】（1）依题意得：； （2）当时，， 答：当时，今年的总产值为万元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，掌握增长率问题的公式是解题的关键，若起始值为a，经过n年后值为b，设增长率为x，则有． 类型七、二次函数与图形问题 利用二次函数解决面积最值的方法：求最大面积类问题可以利用二次函数的图像和性质进行解答，也就是把图形面积的最值问题转化为二次函数的最值问题，依据图形的面积公式列出函数解析式. 【注意】在求解几何图形的最大面积时，应注意自变量的取值范围，一定要注意题目中隐含的每一个几何量的取值范围，一般有以下几种情况: 边长，周长，面积大于0，三角形中任意两边之和大于第三边. 18．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）用总长的木板制作矩形置物架（图中外框和内部三条分割线的长度和为）．已知四边形是正方形，四边形、、是矩形，．为了便于放置物品，的长不小于，设的长为． (1)若矩形的面积为，求x的值． (2)若矩形的面积为，求S最大时，x的值． 【答案】(1)x的值为70 (2)x的值为80 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用， （1）根据题意表示出，，然后列方程求出，，然后分别代入求解判断即可； （2）表示出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， ∴，， 由题意，得， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不合题意， ∴x的值为70． （2）解：由（1）知， 由题意，得， ∵的高度不小于， ∴，解得， ∴当时，S最大， ∴x的值为80． 19．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）如图，用一段长为的篱笆围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，且花圃的一边可借用一段墙体（墙体的最大可用长度）．设的长是．长方形花圃的面积为． (1)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)求出长方形花圃的最大面积． 【答案】(1) (2)长方形花圃的最大面积为 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系，列出方程． （1）设花圃的宽为，则，即可得，根据进行计算即可得； （2）将y与x之间的函数关系式转化为顶点式，利用二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：如图所示， 设花圃的宽为，则， ， ∵， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为：； （2）解：∵，且， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，长方形花圃的面积最大， 最大面积为． 20．（24-25九年级下·安徽淮南·开学考试）如图①，有一块三角形余料，它的边，高．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)加工成的正方形零件的边长是___________． (2)如图②，如果要加工的零件是一个矩形，其他条件不变．设，求与之间的关系式． (3)在（2）的条件下，求矩形零件的面积达到最大值时该矩形零件的长和宽． 【答案】(1)48 (2) (3)长和宽分别为， 【分析】（1）设正方形的边长为，则，证明，得到，求出结果即可； （2）根据矩形性质证明，得到，即可得到与之间的关系式； （3）设矩形的零件的面积为S，利用即可得出当时，S的最大值为2400，再代入求出y值即可． 【详解】（1）解：设正方形的边长为，则， ， ， ， ∴， ， 解得：， 加工成的正方形零件的边长是， 故答案为：48； （2）解：四边形为矩形， ， ， ∴， ， 整理得：； （3）解：设矩形的零件的面积为S， ， 当时，S的最大值为2400， ， 矩形零件的面积达到最大值时该矩形零件的长和宽分别为，． 【点睛】本题考查了二次函数的几何应用，相似三角形的应用，矩形的性质，正方形的性质，二次函数的最值问题，熟记相似三角形的对应高的比等于相似比是解题的关键． 类型八、二次函数与动点问题 利用二次函数解决动点问题的方法：首先要知晓动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算． 21．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）图1，在中，，．点P以1cm/s的速度从点A出发沿匀速运动到B；同时，点Q以vcm/s（）的速度从点B出发沿匀速运动到C．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为t（s），的面积为S（）．当点Q在上运动时，S与t的函数图象如图2所示． (1)AB＝______cm，v＝______cm/s，补全函数图象； (2)求出当时间t在什么范围内变化时，的面积为S（）的值不小于． 【答案】(1)3；2；补全图象见解析； (2)当时，的面积为S（）的值不小于． 【分析】本题考查了二次函数与图形运动问题，熟练掌握二次函数的图象和性质，学会图象法解不等式，学会用函数思想解决图形运动问题是解题的关键． （1）根据时，Q从B点正好运动到C点，即可求出点Q运动的速度，根据时，求出的长，然后利用求出的长，最后根据时，，补全图象即可； （2）分2种情况①；②讨论，利用图象法求解t的范围即可解答． 【详解】（1）解：图2是点Q在上运动时，S与t的函数图象， 当时，Q从B点正好运动到C点， ， 点Q运动的速度（cm/s）， 当时，，即， （cm）， （cm）， （cm）， 当时，， 当时，P从A运动到B点，停止， ，补全图象如图所示： 故答案为：3；2；补全图象见解析． （2）①当时，（cm），（cm）， ， ，即， 令，解得，， 由图象可知，解得：， 又， ； ②当时，， ，即， 解得：， ； 综上所述，当时，的面积为S（）的值不小于． 22．（22-23九年级上·安徽滁州·期中）如图，中，，，，动点从点出发，在边上以每秒5cm的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒4cm的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接．    (1)若，求的值； (2)求的面积与之间的函数关系式； (3)当为何值时，四边形的面积最小，最小值是多少？ 【答案】(1) (2) (3)当时，四边形的面积最小，最小面积为． 【分析】（1）先与勾股定理求解，由可得，再建立方程求解即可； （2）如图，过作于，而，证明，可得，可得，则，可得：，再利用三角形的面积公式建立函数关系式即可； （3）由四边形的面积等于的面积减去的面积，建立函数关系式，再利用二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 由题意可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； （2）如图，过作于，而，    ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）∵，， ∴， ∴当时，四边形的面积最小，最小面积为． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，列面积函数关系式，二次函数的性质，熟练的建立二次函数关系式并灵活应用是解本题的关键． 23．（21-22九年级上·安徽芜湖·期末）如图，矩形的两边长，，点、分别从A、B同时出发，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动．当到达点时，、停止运动．设运动时间为秒，的面积为 (1)求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (2)求的面积的最大值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）分别表示出、的长，然后根据三角形的面积公式列式整理即可得解； （2）把函数关系式整理成顶点式解析式，然后根据二次函数的最值问题解答． 【详解】（1）∵，，， ， 即； （2）由知，， ， 当时，随的增大而增大， 而， 当时，， 即的最大面积是． 【点睛】本题考查了矩形的性质，二次函数的最值问题，根据题意表示出、的长度是解题的关键． 类型九、二次函数与实物模型问题 24．（2025·江西吉安·一模）某单位汽车停车棚如图1所示，棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，其中点 B为棚顶外沿，为斜拉杆．棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系 其图象如图2所示，且点和点在图象上． (1)求二次函数的表达式； (2)某个数学兴趣小组研究一辆校车能否在按如图2所示的停车棚下避雨，他们将校车截面看作长，高的矩形．通过计算，发现校车不能完全停到车棚内，请你帮助兴趣小组通过计算说明理由； (3)小俊提出，若要使（2）中的校车能完全停到车棚内，且为了安全，需要保证点 F与顶棚的竖直距离至少为，现需要将顶棚整体沿支柱（支柱可加长）向上至少提升，求h的值． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 (3)米 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到求函数表达式，理解题意，将题目中的数据和函数表达式对应是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）由题意得，点F的横坐标为，当时，，即可求解； （3）设提高h米，则新抛物线的表达式为，由题意得，车最左上端（对应（2）中F）的横坐标为，当时，，则符合要求，即可求解． 【详解】（1）解：把点和点代入得， ， 解得， 则抛物线的表达式为：； （2）解：不能，理由： 由题意得，点F的横坐标为， 当时，， 故校车不能完全停到车棚内； （3）解：根据题意得：新抛物线的表达式为：， 由题意得，车最左上端（对应（2）中F）的横坐标为， 当时，， 则， 故米， 25．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）一个水杯竖直放置时的纵向截面如图所示，其左右轮廓线，都是同一条抛物线的一部分，，都与水面桌面平行，已知水杯底部宽为，水杯高度为，当水面高度为时，水面宽度为． (1)在如图所示坐标系中，求、所在抛物线解析式． (2)求出杯口口径的长． (3)如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕点倾斜倒出部分水，如图，当倾斜角时，杯中水面平行水平桌面，则此时水面的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数的应用，一次函数的应用， （1）利用待定系数法法求解即可； （2）先求出、的坐标，进而即可得解； （3）理解题意求出直线的解析式，即可得到答案． 【详解】（1）解：以的中点为原点，直线为的轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系， 由题意得， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得， ; （2）解：当时，， 解得， ， ∴; （3）解：根据题意知，，设与轴的交点坐标，与轴的交于点， 在中，， ， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入， 得， 解得， 故线的解析式为， 令， 解得或， 点的横坐标为， 当时，， ， ． 26．（2023·安徽安庆·三模）合肥融创乐园是集休闲、娱乐、观光于一体的大型徽文化主题乐园，位于美丽的巢湖之滨．如图1，立环过山车“白龙飞天”是其经典项目之一．过山车的一部分轨道，可以看成一段抛物线，其图像如图2所示，其中米，米（轨道厚度忽略不计）．    (1)求抛物线F→E→G的函数解析式； (2)在轨道距离地面5米处有两个点P和G（点P在点G的左侧），当过山车运动到点G处时，平行于地面向前运动了米至点K，又进入下坡段K→H．已知轨道抛物线K→H→Q的形状与抛物线P→E→G完全相同，求的长； (3)现需要在轨道下坡F→E段进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架，且要求．已知这种材料的价格是8万元/米，如何设计支架，会使造价最低？最低造价为多少万元？ 【答案】(1) (2) (3)使米，造价最低，最低造价为53万元 【分析】（1）由题意知，，，设抛物线F→E→G的函数解析式为，把代入，求解值，进而可得抛物线解析式； （2）由题意知，，当时，，解得，即，，，由抛物线K→H→Q的形状与抛物线P→E→G完全相同，则抛物线K→H→Q可以看作是由抛物线P→E→G向右平移个单位长度得到的，抛物线K→H→Q的函数解析式为，令，则，即米； （3）设米，则 ，，，，则， 根据二次函数的图像与性质求解可得当时，所需这种材料的长度最短，为米，进而可求造价． 【详解】（1）解：由题意知，，， 设抛物线F→E→G的函数解析式为， 把代入，得，解得， 抛物线F→E→G的函数解析式为； （2）由题意知，， 当时，，解得， ，， ， 抛物线K→H→Q的形状与抛物线P→E→G完全相同， 抛物线K→H→Q可以看作是由抛物线P→E→G向右平移个单位长度得到的， 抛物线K→H→Q的函数解析式为， 令，则，即米； （3）设米，则 ，， ，， ， ， 当时，所需这种材料的长度最短，为米， 所需造价为（万元）， 设计支架时，使米，造价最低，最低造价为53万元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的图像与性质，二次函数图像的平移，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 类型十、反比例函数与其它函数相结合问题 利用反比例函数与一次函数或二次函数相结合解决实际问题是近年中考的热点题型.两种函数图像的交点的实际意义往往是分析问题的切点，要注意自变量的取值范围，特别要考虑实际情况. 27．（24-25九年级下·安徽池州·开学考试）长丰县某草莓种植基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚种植草莓．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度与时间之间的函数关系如图所示，其中段是恒温阶段，段是某反比例函数图象的一部分． (1)求段所对应的反比例函数图象的关系式，并写出自变量的取值范围； (2)大棚里种植的草莓在温度为到的条件下最适合生长，若该天恒温系统开启前的温度是，则草莓一天内最适合生长的时间有多长？ 【答案】(1)段所对应的反比例函数关系式为，自变量的取值范围为 (2)草莓一天内最适合生长的时间有15小时 【分析】本题是反比例函数和一次函数的综合，考查了反比例函数和一次函数的性质和应用，解答此题时要先利用待定系数法确定函数的解析式，再观察图象特点，结合反比例函数和一次函数的性质作答． （1）应用待定系数法求函数解析式； （2）先求出段的解析式，代入临界值，分别求出段和段温度为的时间，再相减即可即可． 【详解】（1）解：设段所对应的反比例函数关系式为． 把代入，得， ． 当时，， 解得，即， 段所对应的反比例函数关系式为，自变量的取值范围为． （2）解：设直线的函数关系式为． 把代入， 得 解得， 直线的函数关系式为． 当时，，解得． 当时，，解得， （小时）． 答：草莓一天内最适合生长的时间有15小时． 28．（2023·广西南宁·模拟预测）综合与实践： 【问题情景】某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒毫升后，血液中酒精含量毫克百毫升与时间时的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于毫克百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 【实践探究】（1）求部分双曲线的函数表达式； 【问题解决】（2）参照上述数学模型，假设某人晚上喝完毫升低度白酒，则此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由． 【答案】（1）部分双曲线的函数表达式为；（2）某人晚上喝完毫升低度白酒，则此人第二天早上不能驾车出行，理由见解析． 【分析】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象、待定系数法的应用是解题关键． （1）由待定系数法可以求出的函数表达式，从而得到点坐标，进一步得到点坐标，然后再利用待定系数法可以得到部分双曲线的函数表达式； （2）在部分双曲线的函数表达式中令，可以得到饮用低度白酒100毫升后完全醒酒的时间范围，再把题中某人喝酒后到准备驾车的时间间隔进行比较即可得解． 【详解】解：（1）设的函数表达式为，则： ， ， 的函数表达式为， 当时，， 可设部分双曲线的函数表达式为， 由图象可知，当时，， ， 部分双曲线的函数表达式为； （2）在中，令， 可得：， 解之可得：， 晚上到第二天早上的时间间隔为，， 某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上时体内的酒精含量高于20（毫克百毫升）， 某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上不能驾车出行． 29．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）学校下午放学时校门口的“堵塞”情况已成为社会热点问题，某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一个调查发现：每天放学时间2分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”（）与放学后时间（分钟）的函数关系描述．如图，2～12分钟呈二次函数状态，且在第12分钟达到该函数最大值100，此后变化大致为反比例函数的图象趋势．若“拥挤指数”，校门外呈现“拥挤状态”，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通． (1)求该二次函数的解析式和k的值； (2)“拥挤状态”持续的时间是否超过15分钟？请说明理由． 【答案】(1)； (2)“拥挤状态”持续的时间没有超过15分钟 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数的应用 （1）设该二次函数的解析式为，把点代入，即可求得二次函数的解析式；把点代入，即可求得k的值； （2）由可得，再由，得，进而即可求解． 【详解】（1）解：设该二次函数的解析式为， 把点代入，得，解得： ∴所求二次函数的解析式为 把点代入得：； （2）解：没有超过15分钟， 理由如下： 由解得：，（舍去）， 由，解得：， ， 所以“拥挤状态”持续的时间没有超过15分钟． 30．（21-22九年级上·安徽淮北·阶段练习）某疫苗生产企业于2021年1月份开始技术改造，其月生产数量y（万支）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题： (1)该企业4月份的生产数量为多少万支？ (2)该企业有几个月的月生产数量不超过90万支？ 【答案】(1)该疫苗生产企业4月份的生产数量为45万支 (2)该疫苗生产企业有6个月的月生产数量不超过90万支 【分析】（1）根据题意和图象中的数据，可以计算出技术改造完成前对应的函数解析式，然后将代入求出相应的y的值即可； （2）根据题意和图象中的数据，可以技术改造完成后y与x的函数解析式，然后即可列出相应的不等式组，求解即可，注意x为正整数． 【详解】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为， ∵点在该函数图象上， ∴，得， ∴， 当时，， 即该疫苗生产企业4月份的生产数量为45万支； （2）设技术改造完成后对应的函数解析式为, ∵点在该函数图象上， ∴， 解得， ∴技术改造完成后对应的函数解析式为， ， 解得， 经检验符合题意， ∵x为正整数， ∴， 答：该疫苗生产企业有6个月的月生产数量不超过90万支． 【点睛】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 类型十一、跨学科的反比例函数问题 跨学科的反比例函数应用问题一般要利用其他学科相关量之间的等量关系构建反比例函数模型，再利用反比例函数的相关知识解决问题. 31．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即：阻力阻力臂动力动力臂，用代数式表示为．如图，已知石头重量（阻力）为，阻力臂长，小华想用一根撬棍撬起这块石头，但他只有的力量，那么他该选择动力臂为多少米的撬棍才能撬动这块大石头？ 【答案】小华该选择动力臂为的撬棍才能撬动这块大石头 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，求出反比例函数式是解题的关键．根据阻力阻力臂动力动力臂，可得出F与l的函数关系式；将代入可求出l即可． 【详解】解：依题意，得， ∴． 当时，， 解得． 答：小华该选择动力臂为的撬棍才能撬动这块大石头 32．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．    (1)求此函数的解析式； (2)当气体体积为时，气压是多少？ (3)当气球内的压强大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？ 【答案】(1) (2)气压是 (3)为了安全起见，气体的体积应不小于 【分析】（1）设出反比例函数解析式，把坐标代入可得函数解析式； （2）把代入（1）得到的函数解析式，可得； （3）把代入得到即可． 【详解】（1）解：设，由图象可知， 所以， 故这个函数的解析式为； （2）解：当时，； （3）解：当时，． 所以为了安全起见，气体的体积应不小于． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用；应熟练掌握符合反比例函数解析式的数值的意义是解题的关键． 33．（2023·浙江台州·中考真题）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，．    (1)求h关于的函数解析式． (2)当密度计悬浮在另一种液体中时，，求该液体的密度． 【答案】(1)． (2)该液体的密度为． 【分析】（1）由题意可得，设，把，代入解析式，求解即可； （2）把代入（1）中的解析式，求解即可． 【详解】（1）解：设h关于的函数解析式为， 把，代入解析式，得． ∴h关于的函数解析式为． （2）解：把代入，得． 解得：． 答：该液体的密度为． 【点睛】此题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是理解题意，灵活利用反比例函数的性质进行求解． 类型十二、反比例函数新考法问题 34．（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）综合与实践 某校“无穷大”社团利用物理中的杠杆原理研究反比例函数．如图，他们制作了一个特殊的天平，其中是一根质地均匀的木杆，支点为中点，两个托盘可沿木杆左右移动，、分别表示左、右托盘离支点的距离． 该社团成员通过改变托盘内砝码质量和托盘与支点的距离，并将平衡时的数据记录如下： 左托盘砝码质量/ 右托盘砝码质量/ ... ... 任务：根据实验数据：__________，__________． 任务：以左托盘砝码质量为横坐标，左托盘距离支点的距离的值为纵坐标，在方格内描出上表中的数对为坐标的各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点，根据图像回答下列问题： 这条曲线是反比例函数图象的一支吗？如果是，请写出函数解析式（不标注自变量取值范围），如不是，请说明理由； 若左托盘距离支点的距离可变化的范围为：，求左托盘内砝码质量的变化范围． 任务：某成员希望在的情况下称取食盐．他先将砝码放在左托盘，取出一些食盐放在右托盘使天平平衡；然后将砝码放在右托盘，再取出一些食盐放在左边托盘使天平平衡．该成员得出结论：两次称得的食盐的总质量是．该成员的结论是否正确？请判断并说明理由．（参考公式：当，时，，当且仅当时，等号成立） 【答案】任务一：，  任务二：是，解析式是   任务三：不正确，理由见解析 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，根据杠杆平衡的条件找到相等关系并合理使用是解决本题的关键． 任务：根据杠杆平衡的条件计算即可解答； 任务：画出图象即可判断是反比例函数图象的一支，再根据表格以及杠杆平衡的条件即可求出反比例函数解析式； 分别求出当时和时的值，即可解答； 任务：由于天平的两臂不相等，可设，，，第一次称取的食盐质量为，第二次称取的食盐质量为，根据杠杆平衡原理得：，，解得：，，所以，因为，所以，即可得出结论． 【详解】解：任务：， ， ， ， 故答案为：，； 任务： 这条曲线是反比例函数的一支，解析式为：，即； 当时，，当时，， 可变化的范围为时，左侧砝码质量变化范围是：； 任务：由于天平的两臂不相等，可设，，，第一次称取的食盐质量为，第二次称取的食盐质量为， 根据杠杆平衡原理，有：，， 解得：，， 则， 因为，所以， 所以该成员两次称得的食盐总质量超过了， （利用作差法：当时，进行判断也可给分）． 35．（24-25九年级上·广东深圳·期中）【项目式学习】 项目主题：学科融合—用数学的眼光观察世界 项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 项目素材： 素材一：凸透镜成像规律：（ ）表示凸透镜的焦距，（）表示物体到凸透镜的距离，（ ）表示像到凸透镜的距离，规律如下表 物体到凸透镜距离u 像到凸透镜距离v 像的大小 像的正倒 缩小 倒立 等大 倒立 放大 倒立 与物同侧 放大 正立 素材二：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点． 项目任务： (1)任务一：凸透镜的焦距为，蜡烛的高为，离透镜中心的距离是时，请你利用所学的知识填空：①_________， ②_________，③ _________； (2)任务二：某实验小组取焦距 为的凸透镜，高度是的蜡烛，设置物距时，测量蜡烛的成像的高 ， ①以为自变量，为因变量，写出与的关系式： ； ②当 时，随的增大而 （选填“增大”或“减小”） （提示：可在平面直角坐标系中作出函数的图象，不计分）． 【答案】(1)，，； (2)①；②减小 【分析】本题考查了，相似三角形的性质与判定，画反比例函数，反比例函数的性质 （1）任务一：①由矩形，得到的长，由，得到，即：，设，用含的代数式，表示出、，由，得到，解出，即可求解， （2）任务二：①由，整理得到，根据描点法，画出函数图象， ②根据反比例函数的增减性，即可求解， 【详解】（1）解：任务一：①根据题意得：矩形， ∴， 根据题意得：与平行， 则， ∴，即：， 设，则，， 由题意得， ∴， ∴，即：，解得：， ∴， 故答案为：，，；． （2）任务二：①依题意得：四边形为矩形，， ， 由任务一可知：， ， 即， 解得：； ②用描点法可得该函数的图象，如下图所示： 当当 时，随的增大而减小， 故答案为：减小． 36．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻R的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻R(单位∶)与物体质量m(单位∶)之间的关系如图2所示，电流I(单位∶)与可变电阻 R之间关系为 (1)该小组先探究函数 的图像与性质，并根据I与R之间关系得到如下表格： R(kΩ) 0 1 2 3 4 5 6 7 … I(mA) 2 1.5 1.2 p 0.75 0.6 ①表格中的 ； ②请在图3 中画出 对应的函数图像； (2)该小组综合图2和图3发现，I随着m的增大而 ；(填“增大”或“减小”) (3)若将该款电子秤中的电路电流范围设定为(单位：)，判断该电子托盘秤能否称出质量为 的物体的质量？请说明理由． 【答案】(1)1 (2)见解析，增大 (3)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数关系式及其应用： （1）①选用相应的已知值代入函数解析式求解即可；②描点，连线得出函数图象， （2）观察函数图象解答即可； （3）先求出电子称通过最大电流时的电阻，再求出质量与电阻之间的函数关系式，代入最大电阻即可得出电子体重秤可称的最大质量，进而判断是否能称出质量为 的物体的质量． 【详解】（1）①解：∵， 当时，； ②描点，连线，如图： （2）观察图象可知，电流随可变电阻的增大而减小，可变电阻随物体质量m的增大而减小， 故电流随物体质量m的增大而增大， 故答案为：增大； （3）不能，理由如下： 当电流取最大时，电子秤所称重的质量最大，此时接入电阻值最小， 即，， ∴， 设， 当时，，代入得：； 当，代入得，，解得，； ∴与的关系式为； 当时，， 解得， 即电子体重秤可称的最大质量为千克， 所以该电子托盘秤不能称出质量为的物体的质量． 1．（24-25九年级下·安徽黄山·阶段练习）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部O处，以点O为原点，水平方向为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与x轴平行，点B与点O的水平距离为28米，垂直距离为6米． (1)若，求发射石块在空中飞行的最大高度． (2)在（1）的条件下判断石块能否飞越防御墙． (3)①若石块恰好落在防御墙顶部的B处，求抛物线的表达式． ②若石块飞跃防御墙后落在斜坡上点的左侧，直接写出a的范围． 【答案】(1)石块在空中飞行的最大高度为10米 (2)石块能飞越防御墙，见解析 (3)①；② 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）先求出函数解析式，再求最大值即可； （2）把代入函数解析式，求出值，与垂直距离的高度比较即可； （3）①由待定系数法即可求解；②将和代入中，解得，将和代入中，解得，即可求解取值范围． 【详解】（1）解：当时，抛物线的表达式为， 将代入上式，得， 解得， ∴解析式为：， ∵， 石块在空中飞行的最大高度为10米； （2）解：石块能飞越防御墙，理由如下： 由（1）可知抛物线的表达式为， 把代入上式， 得， ， 石块能飞越防御墙． （3）解：①将和代入中， 得，， 解得． 此时抛物线的表达式为 ②将和代入中， 得， 解得， 将和代入中， 得，解得， ． 2．（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为 ，锅盖纵断面的抛物线记为 ． (1)求和的解析式： (2)如果炒菜时锅的水位高度是，求此时水面的直径（结果保留根号）； (3)如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿竖直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由． 【答案】(1)， (2)此时水面的直径为 (3)锅盖不能正常盖上，理由见解析 【分析】本题主要考查二次函数的性质和应用，涉及待定系数法求解析式和二次函数的性质， 根据已知点设二次函数的解析式，利用待定系数法求解即可； 根据已知的直径所对的圆周角为直角求得对应的y值，代入解析式即可求得水面高度； 将已知的底面直径代入解析式求得各自对应的y，结合已知的高度作判断即可． 【详解】（1）解：抛物线过点， 设和的解析式为：； ∵抛物线经过， ∴，解得， 则， ∵抛物线还经过， ∴，解得， 则； （2）解：当炒菜锅里的水位高度为时，，即，解得， 则此时水面的直径为； （3）解：锅盖不能正常盖上，理由如下， 当时，抛物线，， 则， 那么，锅盖不能正常盖上． 3．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，是一个长方形广告牌的示意图，，，设计师在广告牌上设计了三条抛物线（部分）作为构图轮廓，点D，E分别是，的中点，抛物线①经过点O和A，顶点为D，由抛物线②向右平移得抛物线③．以为单位长度，点O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，抛物线②的解析式为． (1)求抛物线①的解析式，并直接写出抛物线③的解析式； (2)设计师在广告牌上三条抛物线围成的区域设计一些竖直的灯条，利用灯条的亮与不亮两种状态产生动感效果．灯条的上端点在抛物线①上，下端点在抛物线②或③上．从某时刻开始，只有两根灯条亮着，分别用和代表它们．从O处开始，以的速度向右移动，到E处停止．从A处开始，以的速度向左移动，到O处停止．在这一过程中，求： 的最大值； 的时长． 【答案】(1)， (2)； 【分析】本题考查二次函数的实际应用： （1）先求出抛物线①的顶点D坐标，设出顶点式，再将点A坐标代入，即可求出抛物线①的解析式；将抛物线②的解析式转化为顶点式，根据平移方式确定抛物线③的解析式； （2）结合（1）中结论，用含t的式子表示出和，即可求解． 【详解】（1）解：长方形中，，为单位长度，点D，E分别是，的中点， ，，， 设抛物线①的解析式为， 把代入，得， 解得， 故抛物线①的解析式为， 抛物线②的解析式为，抛物线②向右平移得抛物线③， 抛物线③的解析式为； （2）解：设灯条移动了秒，则点M，N的横坐标为，点P，Q的横坐标为， ， 当时，， 当时，， ， 当时，随t的增大而增大，当时，随t的增大而减小， 当，即灯条运动了时，取最大值，最大值为； 当时，，， ， 当时，，， 当时，， 解得， 即运动时间时，， 的时长为． 4．（21-22九年级上·安徽马鞍山·期末）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件元，根据市场调查发现，该商品每天的销售量（件）与售价（元/件）（为正整数）之间满足一次函数关系为 (1)求每天销售利润与的函数关系式（不求自变量的取值范围）； (2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于元/件．求该商场销售这种商品每天获得的最大利润为多少元？ (3)临近春节，该商场组织这种商品参加“迎新春，大返现”活动，每销售一件商品便向顾客返现元，返现后发现，这种商品每天销售量不少于件，且该商场每天销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．求的取值范围． 【答案】(1) (2)元 (3) 【分析】（）根据利润（售价进价）销售量列出函数式即可； （）根据二次函数的性质解答即可求解； （）根据每天销售量不少于件可得，又由题意可得，可得当时，的值随的增大而增大，由二次函数的性质得到，据此即可求解； 本题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出二次函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， 即； （2）解：∵， ∴二次函数的对称轴为直线，当时，的值随着的增大而增大， ∵， ∴当时，的值最大，， 答：该商场销售这种商品每天获得的最大利润为元； （3）解：∵种商品每天销售量不少于件， ∴， ∴， 又由题意得，， ∴对称轴为直线， ∵， ∴当时，的值随的增大而增大， ∵返现后发现，该商场每天销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大， ∴， ∴， ∵， ∴的取值范围为． 5．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）小明同学经常运用数学知识对网球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网高度，球网与y轴的水平距离，，击球点在y轴上．若选择吊球，网球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系：． (1)本次吊球能否过网？并说明理由； (2)若吊球路线的形状、最大高度均保持不变，他应该向正前方移动多少米吊球，才能让网球经过点C正上方． 【答案】(1)本次吊球能过网 (2)他应该向正前方移动1米吊球 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式、函数平移、二次函数性质，解题的关键是熟悉二次函数的平移． （1）根据二次函数解析式和过点解得，令，解得对应函数的垂直距离，再与比较大小即可求解； （2）向正前方移动米吊球，二次函数关系变为，将点代入，即可求得向正前方移动距离． 【详解】（1）解：将点代入二次函数关系， 则，解得：， 则二次函数关系为， 当时，， ∵球网的高度为， ∴本次吊球能过网； （2）解：设向正前方移动米吊球，则二次函数关系为：， 根据题意过点，则， 解得（舍去）， 故他应该向正前方移动1米吊球． 6．（2023·安徽·一模）某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米． (1)以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为d米，求d的取值范围； (3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点P在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离． 【答案】(1) (2) (3)米 【分析】（1）根据题意得到第一象限内的抛物线的顶点坐标，将抛物线设成顶点式，再将点坐标代入即可求出第一象限内的抛物线解析式； （2）直接令，解方程求出的值，再根据函数的图象和性质，求出时的取值范围即可； （3）先作辅助线，作出直线的平行线，使它与抛物线相切于点，然后设出直线的解析式，联立直线与抛物线解析式，利用相切，方程只有一个解，解出直线的解析式，从而得到直线与轴交点，最后利用锐角三角函数求出直线与直线之间的距离． 【详解】（1）解：根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为，， 设第一象限内的抛物线解析式为， 将点代入物线解析式， ， 解得， 第一象限内的抛物线解析式为； （2）解：根据题意，令， 即， 解得，， ，抛物线开口向下， 当时，， 的取值范围为； （3）解：作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点，作，垂足为，如图所示， ， 设直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式， ， 整理得， 直线与抛物线相切， 方程只有一个根， ， 解得， 直线的解析式为， 令，则， ， ， 即， 射灯射出的光线与地面成角， ， ， ， ， 光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解直角三角形，一次函数的平移与性质，直线和抛物线相切等知识，关键是求抛物线解析式． 7．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止．以为边作正方形，设点的运动时间为，正方形的面积为，探究与的关系． (1)如图1，在点由点到点的运动过程中，关于的函数解析式为__________； (2)在点由点到点的运动过程中，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求关于的函数解析式及线段的长． (3)若存在3个时刻对应的正方形的面积均相等．若，则此时正方形的面积等于_________． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）先求出，进而求出，则； （2）先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出当时，，可设S关于t的函数解析式为，利用待定系数法求出，进而求出当时，求得t的值即可得答案； （3）①根据题意可得可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则；②由（3）①可得，再由，得到，继而得答案． 【详解】（1）解：∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：由图2可知当点P运动到B点时，， ∴， 解得， ∴当时，， 由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为， ∴可设S关于t的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴S关于t的函数解析式为， 在中，当时，解得或， ∴； （3）解：①∵点P在上运动时， ，点P在上运动时， ∴可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的， 设是函数上的两点，则，是函数上的两点， ∴， ∴， ∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等． ∴可以看作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． 8．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C、D在抛物线上，，当时，． (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1)抛物线所对应的函数表达式为： (2)时，矩形的周长有最大值，最大值是13 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次根式与特殊四边形的综合、二次函数的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）先确定点C的坐标，然后运用待定系数法求解即可； （2）先确定点，则，然后用t表示出矩形的周长，最后根据二次函数的性质求最值即可解答． 【详解】（1）解：设抛物线所对应的函数表达是为： 当时，，则， 将O、C、E三点坐标代入函数表达式得： ，解得：， 故抛物线所对应的函数表达式为： ． （2）解：由（1）得：抛物线表达式为：， 则，，， ∵， ∴，则， 设矩形的周长为C， ∴，化简得： ∵． ∴当时，矩形的周长有最大值，最大值是13． 9．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图是某校楼梯的一段，共有8个台阶，每个台阶的高和宽分别是1个单位长度和2个单位长度，每个台阶凸出的角的顶点记作（m为1~8的整数），函数的图像为曲线L．    (1)若L过点，则k= ； (2)若L过点，则它必定还过另一点，则m= ； (3)若曲线L使得~这八个点都分布在它的两侧，其中一侧有2个点，求出所有满足条件的整数k的个数． 【答案】(1) (2)6 (3)所有满足条件的整数k的个数为14个 【分析】(1)根据题意，，当时，，代入解析式计算即可． (2)根据题意，，结合，根据反比例函数的性质，列式计算即可． (3)根据题意，计算出所有的k值，根据一侧2两个点，确定满足条件的k值，利用数形结合思想，确定k的取值范围，继而求得整数解，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）根据题意，， 当时，， ∴， 解得， 故答案为：． （2）根据题意，， ∴， 解得， ∴， ∵在图像上， ∴， 解得， 故还过点， 故答案为：6． （3）根据题意，，，，，，，，， ∴或或或， ∵曲线L使得~这八个点都分布在它的两侧，其中一侧有2个点，分别是，或，， ∴或， 当时，整数k的值为，有11个； 当时，整数k的值为，有3个； 一共有14个． 10．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图1，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个装水的容器，容器的质量为5g，在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡，改变托盘B与点C的距离，记录容器中加入的水的质量，得到如表： 托盘B与点C的距离 30 25 20 15 10 容器与水的总质量 20 24 30 40 60 加入的水的质量 15 19 25 35 55 把如表中的x与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图2所示的关于x的函数图象． (1)请在该平面直角坐标系中作出关于x的函数图象； (2)观察函数图象，并结合表中的数据： ①猜测与x之间的函数关系，并求关于x的函数表达式； ②当时，随x的增大而________（填“增大”或“减小”），随x的增大而________（填“增大”或“减小”），关于x的函数表达式为________； (3)若在容器中加入的水的质量满足，求托盘B与点C的距离的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)①；②减小，减小， (3) 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）用光滑的曲线顺次连接各点即可； （2）①由题意可以猜测是反比例函数，利用待定系数法求出关于x的函数表达式即可；②根据题意可知，当时，随x的增大而减小，随x的增大而减小，由表格可知，关于x的函数表达式； （3）由得，，进一步求解即可． 【详解】（1）解：如图即为所求， （2）解：①由题意可以猜测是反比例函数， 设，代入，得， 解得， 故； ②当时，随x的增大而减小，随x的增大而减小，关于x的函数表达式为； 故答案为：减小，减小， （3）解：由得，， 由得， 解得， 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$